群論/群、子群和構造

定義（群）:

一個群是一個集合 $G$，以及三個 運算，即

1. 一個零元運算 $e$，稱為單位元，
2. 一個一元運算 $~^{-1}$，稱為求逆運算，
3. 以及一個二元運算 $*$，稱為群運算（也常被稱為群的“運算”）

使得以下公理對 $G$ 的所有元素 $x,y,z$ 成立

1. $e*x=x$ (單位元 公理)
2. $x*x^{-1}=e$ (求逆 公理)
3. $(x*y)*z=x*(y*z)$ (結合律 公理)

定義（阿貝爾群）:

一個阿貝爾群是一個群 $G$，其運算（通常用 $+$ 表示）是 交換的。

命題（在群中計算的基本規則）:

設 $G$ 是一個群，群運算為 $*$，設 $x,y,z\in G$。那麼我們有以下計算規則

1. $x*y=x*z\Rightarrow y=z$ 和 $y*x=z*x\Rightarrow y=z$（“消去律”）
2. $x^{-1}*x=e$
3. $x*e=x$

證明：首先要注意，當 $x*y=x*z$，我們可以在左側使用 $*$ 乘以 $x^{-1}$，從而得到 $y=z$，利用單位公理和 $x^{-1}*x=e$得到左消去律，而右消去律的證明類似。然後，我們注意到，透過在左側用 $x^{-1}$ 乘以逆公理 $x*x^{-1}=e$ 並使用單位公理，我們得到 $x^{-1}*x*x^{-1}=x^{-1}$，因此，由於單位公理表明 $e*x^{-1}=x^{-1}$，我們可以應用消去律得出 $x^{-1}*x=e$，證明了 2. 最後，$x*e=x*(x^{-1}*x)=(x*x^{-1})*x=e*x=x$。 $\Box$

今後，我們將有時將群的群運算簡稱為“運算”。

定義（相反群）:

設 $(G,*)$ 為一個群，其中 $*$ 表示 $G$ 的運算。 那麼 $G$ 的 **對偶群** $G^{o}$ 被定義為與 $G$ 具有相同底集的群，但其群運算 $*'$ 由 $a*'b=b*a$ 給出，對於 $a,b\in G$ （反元素和單位元從 $G$ 中繼承而來）。

命題（對偶群是群）:

只要 $G$ 是一個群，$G^{o}$ 也是一個群。

**證明：** 我們需要檢查給定運算的公理是否滿足。 首先注意到 $x*'x^{-1}=x^{-1}*x=e$ 以及 $e*'x=x*e=x$，根據 上面推匯出的規則。 最後，$(x*'y)*'z=z*(y*x)=(z*y)*x=x*'(y*'z)$。 $\Box$

定義（子群）:

設 $G$ 為一個群。一個子集 $H\subseteq G$ 被稱為 $G$ 的 **子群** 當且僅當它與 $G$ 的群運算一起本身是一個群（特別地，對於所有的 $h,h'\in H$ 我們必須有 $h*h'\in H$）。

注意：通常，群運算的顯式符號被省略，兩個元素的乘積僅用並置表示。

具有包含對映 $\iota :H\to G$ 的子群表示群的 子物件。

命題（子群判別法）:

設 $G$ 為一個群，$H\subseteq G$ 為一個子集。則 $H$ 為 $G$ 的子群當且僅當 $a\in H\wedge b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H$。

證明：首先假設 $H$ 是一個子群。那麼該條件直接由 $H$ 對求逆運算和群運算封閉得到。另一方面，如果滿足該條件，令 $a=1$，則表明 $H$ 對求逆運算封閉，令 $b=c^{-1}$，則表明它對群運算封閉。最後，令 $b=a$，則表明 $H$ 包含單位元。結合律和單位元必須滿足的定律是從 $G$ 的群運算中自動繼承的。 $\Box$

練習

1. 明確右消去律的證明（“右消去律”意味著 $y*x=z*x\Rightarrow y=z$）。
2. 令 $G$ 是一個群，令 $H,J\leq G$ 是子群，使得既不滿足 $H\subseteq J$ 也不滿足 $J\subseteq H$。證明 $H\cup J$ 不是 $G$ 的子群。
3. 令 $G=\{1,-1\}$ 以及運算 $1*1=1=-1*-1$，$1*-1=-1*1=-1$。
   1. 詳細證明 $G$ 與運算 $*$ 構成一個群。
   2. 證明在 $G\times G$ 中，存在一個子群，它不等於 $H\times L$，其中 $H,L\leq G$ 是 G 的子群。