群論/群物件和扭子

定義（群物件）:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有終物件的範疇，我們將其記為 $I$。 ${\mathcal {C}}$ 的**群物件**由以下部分組成：

1. 一個 ${\mathcal {C}}$ 中的物件 $G$，使得範疇乘積 $G\times G$，$G\times (G\times G)$ 和 $(G\times G)\times G$ 存在
2. 一個態射 $\mu :G\times G\to G$，看作乘法態射，
3. 一個態射 $\eta :T\to G$，看作恆等對映（即使 $G$ 可能甚至不是一個集合）
4. 以及一個態射 $\iota :G\to G$，看作反演態射

它們滿足以下方程

1. $\mu \circ (\iota ,\operatorname {Id} _{G})=\mu \circ (\operatorname {Id} _{G},\iota )=\operatorname {Id} _{G}$（單位律）
2. $\mu \circ (\operatorname {Id} _{G},\iota )\circ \Delta =\mu \circ (\iota ,\operatorname {Id} _{G})\circ \Delta =\eta \circ t$，其中 $\Delta$ 表示 $G$ 的對角線，而 $t:G\to T$ 是由終物件定義（逆律）給出的唯一態射。
3. $\eta \circ (\eta ,\operatorname {Id} _{G})=\eta \circ (\operatorname {Id} _{G},\eta )\circ \alpha$，其中 $\alpha :(G\times G)\times G\to G\times (G\times G)$ 是規範的同構（結合律）。

這裡，我們用 $(f,g):A\times B\to C\times D$ 表示由兩個對映 $f:A\to C$ 和 $g:B\to D$ 誘導的態射，並由乘積的泛性質確定，從 $A\times B$ 到 $C$ 的對映由 $f\circ \pi _{A}$ 給出，而從 $A\times B$ 到 $D$ 的對映由 $g\circ \pi _{B}$ 給出。

定義（群物件的作用）:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有終物件的範疇，設 $G$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的一個群物件。設 $X$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的另一個物件。一個 $G$ 的 **作用**