群論/對稱群

定義（對稱群）:

設 $X$ 為一個集合。那麼 $X$ 的 **對稱群** 定義為

\operatorname {Sym} (X):=\operatorname {Aut} _{\textbf {Set}}(X)

;

也就是說，它是所有從 $X$ 到自身的雙射函式的集合，以合成作為運算。

定義（置換）:

根據定義，**置換** 是 $\operatorname {Sym} (X)$ 的一個元素。

命題（對稱群本質上只取決於基礎集的基數）:

設 $X,Y$ 為具有相同基數的集合。那麼存在一個群同構

\operatorname {Sym} (X)\cong \operatorname {Sym} (Y)

.

**證明：** 假設 $\phi :X\to Y$ 是一個雙射函式。那麼群同構由以下給出

\operatorname {Sym} (X)\ni f\mapsto \phi \circ f\circ \phi ^{-1}

;

事實上，逆由以下給出

\operatorname {Sym} (Y)\ni g\mapsto \phi ^{-1}\circ g\circ \phi

.

\Box

定義（有限對稱群）:

設 $n\in \mathbb {N}$ . 那麼 ** $n$ 階對稱群**，記為 $S_{n}$ ，定義為

S_{n}:=\operatorname {Sym} (\{1,\ldots ,n\})

.

定理（凱萊定理）:

設 $G$ 為一個有限群，並設 $n:=|G|\in \mathbb {N}$ . 那麼 $S_{n}$ 中存在一個子群同構於 $G$ .

證明： $G$ 在集合範疇中透過左乘自身傳遞。這意味著我們有一個群同態 $\rho :G\to \operatorname {Aut} _{\textbf {Set}}(G)\cong S_{n}$ 。此外，這個同態是單射的；實際上，只有 $G$ 中的單位元才能誘匯出 $S_{n}$ 中的單位元。因此，結論由第一個 Noether 同構定理得出。 $\Box$

定義（排列的矩陣表示）:

在域 $\mathbb {F}$ 上的向量空間範疇中， $S_{n}$ 的表示為

\rho :S_{n}\to \operatorname {Aut} (\mathbb {F} ^{n}),\sigma \mapsto [(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})]

被稱為包含在 $S_{n}$ 中的排列的矩陣表示。

定義（符號）:

令 $\sigma \in S_{n}$ 是一個排列。那麼 $\sigma$ 的符號，記為 $\operatorname {sgn}(\sigma )$ ，定義為 $(-1)^{k}$ ，其中存在 $k$ 個對換 $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ 使得 $\sigma =\tau _{1}\tau _{2}\cdots \tau _{k}$ 。

以下命題表明這個概念是定義良好的

命題（排列符號的等價刻畫）:

定義（交錯群）:

令 $n\in \mathbb {N}$ 。那麼交錯群， $S_{n}$ 的一個子群，定義為

A_{n}:=\ker \operatorname {sgn} =\{g\in S_{n}|\operatorname {sgn}(g)=1\}

.

命題（交錯群在對稱群中是極大且正規的）:

令 $n\in \mathbb {N}$ 。那麼 $A_{n}\triangleleft S_{n}$ ，並且 $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的一個極大子群。

特別地， $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 中的一個極大正規子群（即在所有正規子群中是極大的）。

證明： 首先注意到 $A_{n}$ 作為群同態的核是正規的。然後我們有 $\operatorname {sgn}$ 是從 $S_{n}$ 到 $\mathbb {Z} _{2}$ 的群同態，根據第一個 Noether 同構定理， $Z_{2}\cong S_{n}/A_{n}$ 。特別地，只有 $A_{n}$ 的兩個陪集。假設存在一個子群 $A_{n}\lneq H\lneq S_{n}$ 。然後根據度數公式，我們將有 $[S_{n}:H][H:A_{n}]=2$ ，因此要麼 $[S_{n}:H]=1$ 或者 $[H:A_{n}]=1$ 。在這兩種情況下，其中一個包含關係不是嚴格的，這與我們的假設相矛盾。 $\Box$