高中數學擴充套件/皮亞諾公理

皮亞諾公理，也稱為皮亞諾公理、戴德金-皮亞諾公理或皮亞諾公設，是一系列試圖透過簡單、直觀的公理來形式化自然數（$\mathbb {N}$）的公理。

簡介

在皮亞諾的時代，數學符號整體——尤其是數學邏輯——是一個新領域，而對二階邏輯的常見概念並不存在。 皮亞諾自己對邏輯的符號並不流行，但他確實推廣了類似於表示集合元素（$A\in B$）的常見方式，使用$\epsilon$。 雖然我們不會使用皮亞諾的舊符號，但我們將使用您應該從本書的集合論章節 中熟悉的通用符號來表達這些公理。

皮亞諾公理描述了自然集合的性質，通常表示為 N 或黑板粗體，$\mathbb {N}$。 第一個公理指出 0 是一個自然數。

1. $0\in \mathbb {N}$。 ("零是一個自然數")

接下來的四個公理描述了自然集合最重要的性質，等價關係。

2. $\forall x\in \mathbb {N} :x=x$。 ("所有自然數都等於自身")

3. $\forall x,y,z\in \mathbb {N} :x=y,y=z\implies x=z$。 ("等式是傳遞的")

4. $\forall x,y\in \mathbb {N} :x=y\implies y=x$。 ("等式是對稱的")

5. $\forall x\in \mathbb {N} :x=y\implies y\in \mathbb {N}$。 ("如果 x 是自然數，且 x 等於 y，則 y 是自然數")

在此之後，皮亞諾引入了後繼函式的概念，通常用 $\mathbf {S}$、${\widehat {S}}$ 或 $\mathrm {succ}$ 表示。

6. $\forall x\in \mathbb {N} :\mathrm {succ} (x)\in \mathbb {N}$ 。（“任何自然數的後繼都是一個自然數”）

7. $\forall x,y\in \mathbb {N} :\mathrm {succ} (x)=\mathrm {succ} (y)\iff x=y$ 。（“後繼函式是一個單射”）

8. $\mathrm {succ} (x)=0\implies \bot$ 。（“不存在這樣的 x，使得 x 的後繼是 0”）

直觀的理解是，我們可以透過不斷應用後繼函式來構建整個自然數集，但公理中並沒有真正呈現這一點。因此，我們有動機新增 歸納公理，這個公理通常被誤認為是皮亞諾公理的一部分，但它並沒有出現在皮亞諾最初的構造中。

我們也可以簡單地說，自然數集可以透過不斷應用後繼函式來構建。

9. 自然數集 $\mathbb {N}$ 可以透過不斷應用後繼函式來構建。