高中數學擴充套件/集合論與無窮過程/解答

高中數學擴充套件

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數學證明 — 集合論與無窮過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

集合論與無窮過程

目前，主要精力集中在編寫每個章節的主要內容。因此，本練習解答部分可能已過時，並顯得雜亂無章。

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這些解答並非由本書的作者編寫。它們只是我在做練習時認為正確的答案。我希望這些答案對某些人有用，也希望人們能糾正我的工作，如果我犯了什麼錯誤。

無窮有多大？練習

偶數的個數與自然數的個數相同，因為它們都是可數無窮大。您可以清楚地看到一對一的對應關係。（E 代表偶數，不是像 N 這樣的正式集合）

E N

2 1

4 2

6 3

8 4

2. 平方數的個數也等於自然數的個數。它們都是可數無窮大，可以建立一對一的對應關係。（S 代表平方數，不是像 N 這樣的正式集合）

S N

1 1

4 2

9 3

16 4

3. 小於 100 的偶數的基數不等於小於 100 的自然數的基數。您可以簡單地列出它們並計算數字。然後您將看到，小於 100 的偶數的基數是 49，而小於 100 的自然數的基數是 99。因此，小於 100 的自然數集大於小於 100 的偶數集。無窮集與有限集之間最大的區別在於，有限集不能與任何子集建立一對一的對應關係，而無窮集至少可以與一個子集建立一對一的對應關係。
4. 每個部分的和都在下面給出

無窮大 + 1 = 無窮大

您可以透過取一個基數為 1 的集合來證明這一點，例如只包含數字 0 的集合。您只需將此集合新增到可數無窮大的集合前面，即可將無窮大的集合與無窮大+1 的集合建立一對一的對應關係。

N N+1

1 0

2 1

3 2

4 3

無窮大 + A = 無窮大（其中 A 是一個有限集）

你只需將有限集放在無限集的前面，就像上面那樣，只是有限集不再需要有 1 的基數了。

無窮大 + C = 無窮大（其中 C 是一個可數無限集）

你依次從每個集合（無窮大或 C）中取一個元素，這樣就會使新的列表也成為可數無限集。

有理數集合比 N 大嗎？練習

1. 要將矩陣從 Q' 更改為 Q，您需要採取的第一步是刪除相同數字的多個條目。您可以透過在 gcd(topnr,bottomnr)≠1 時在表格中留出空格來做到這一點，因為當 gcd 不為 1 時，分數可以透過將分子和分母除以 gcd 來簡化。這將為您留下以下表格。

{\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}

現在我們只需要在矩陣中新增零，我們就完成了。所以我們在零的位置加一列，只在其中寫最上面的元素（0/1）（在這裡取 gcd 不起作用，因為 gcd(0,a)=a）。這將留下以下表格，我們需要計算所有對角線上的分數才能看到 Q 是可數無限集。

{\begin{matrix}{\frac {0}{1}}&{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}

2. 要證明 $\infty \times \infty =\infty$ ，您必須建立一個表格，將一個無窮大放在水平行中，另一個無窮大放在垂直行中。現在您可以像計算 Q' 一樣，以對角線方式開始計算表格中的位置數量。這是有效的，因為大小為 AxB 的表格包含 A*B 個位置。

還有更大的無窮大嗎？練習

您必須使用一種方法將平面中的座標對映到直線上的一個點，反之亦然，就像文字中描述的那樣。這種方法向您展示了，對於直線上每個數字，在平面上都有一個位置，並且對於平面上每個位置，在直線上都有一個位置。因此，直線上的點數和平面上的點數是一樣的。