高中數學擴充套件/矩陣

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數和模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無限過程 — 計數和生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進階模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

HSME
內容
矩陣
遞推關係
問題和專案
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專案
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簡介

"矩陣"這個詞可能更廣為人知的是一個巨大的計算機模擬，但在數學中它是一個完全不同的東西。更準確地說，矩陣（複數形式為矩陣）是一個數字的矩形陣列。例如，下面是編寫矩陣的一種典型方式，數字以行和列排列，數字周圍用圓括號括起來

${\begin{pmatrix}1&5&10&20\\1&-3&-5&9\\3&-1&-1&-1\\3&2&4&-5\end{pmatrix}}$

上述矩陣有 4 行 4 列，因此我們稱它為 4 × 4（4 行 4 列）矩陣。此外，我們可以有各種形狀的矩陣。矩陣的 *形狀* 是指矩陣維度的名稱（*m* 行 *n* 列，其中 *m* 是行數，*n* 是列數）。以下是矩陣的更多示例

這是一個 3 × 3 矩陣的示例

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

這是一個 5 × 4 矩陣的示例

${\begin{pmatrix}a&b&c&d\\h&g&f&e\\i&j&k&l\\p&o&n&m\\q&r&s&t\\\end{pmatrix}}$

這是一個 1 × 6 矩陣的示例

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\\end{pmatrix}}$

矩陣理論與（線性）聯立方程理論密切相關。古代中國人已經建立了解決聯立方程的系統方法。聯立方程理論在東方得到了進一步發展，由日本數學家關孝和以及稍後的萊布尼茨（牛頓最大的競爭對手）發展。後來，高斯（1777-1855 年）是現代數學三大巨匠之一，他推廣了高斯消元法，這是一種簡單的逐步演算法，可以用來求解任何數量的線性聯立方程。到那時，用矩陣來表示紙上的聯立方程（如上所述）已經變得相當普遍¹。

考慮聯立方程

$x+y=10$

$x-y=4$

它的解是 *x* = 7 和 *y* = 3，通常的解法是將兩個方程加在一起以消去 *y*。矩陣理論為我們提供了另一種方法，可以透過矩陣 *乘法*（在下面討論）來求解上述聯立方程。我們將研究一種廣泛接受的 *乘法* 兩個矩陣的方法。理論上，使用 *矩陣乘法* 可以求解任意數量的聯立方程，但我們將主要把注意力集中在 2 × 2 矩陣上。即使這樣限制，我們也打開了聯立方程無法提供給我們的課題的大門。以下兩個例子是

1. 使用矩陣求解線性遞推關係，該關係可用於模擬人口增長，以及
2. 使用矩陣加密訊息。

我們將透過學習一些矩陣更基礎的概念來開始我們的研究。一旦我們牢固地掌握了基礎知識，我們將繼續研究本章的重點內容，即矩陣乘法。

元素

矩陣的元素是矩陣中特定的數字，它用一對數字唯一地定位。例如，假設以下矩陣由 *A* 表示，或符號表示

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

*A* 的（2,2）項是 5；*A* 的（1,1）項是 1，*A* 的（3,3）項是 9，*A* 的（2,3）項是 8。*A* 的（*i*，*j*）項通常表示為 *a*_i,j，矩陣 *B* 的（*i*，*j*）項通常表示為 *b*_i,j，依此類推。

總結

• 矩陣是數字的陣列
• *m*×*n* 矩陣有 *m* 行 *n* 列
• 矩陣的 *形狀* 由其行數和列數決定
• 矩陣的（*i*，*j*）元素位於第 *i* 行和第 *j* 列

矩陣加法和數乘

矩陣可以加在一起。但只有相同 *形狀* 的矩陣才能相加。這是非常自然的。例如

$A={\begin{pmatrix}1&x&2x\\1&3x&5x\\1&3&4\\\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&6&7\\\end{pmatrix}}$

那麼

$A+B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&6&7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+2&2+9&3+8\\4+0&5+(-1)&6+8\\7+4&8+6&9+7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&11&11\\4&4&14\\11&14&16\\\end{pmatrix}}$

類似地，矩陣可以乘以一個數。我們稱這個數為標量，以區別於矩陣。讀者不必擔心這裡的定義，只需記住標量只是一個數字。

$5A=A+A+A+A+A=5{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10&15\\20&25&30\\35&40&45\\\end{pmatrix}}$

在這種情況下，標量值為 5。一般來說，當我們做s × A時，其中s是標量，A是矩陣，我們將A的每個元素乘以s。

矩陣乘法

廣泛接受的將兩個矩陣相乘的方法絕對不直觀。如上所述，乘法可以幫助解決聯立方程。我們現在將簡要概述如何完成此操作。首先，任何線性聯立方程組都可以寫成係數矩陣乘以未知矩陣，等於結果矩陣。這個描述可能聽起來有點複雜，但用符號形式表達就非常清楚了。前面的陳述簡單地說，如果A，x和b是矩陣，那麼Ax = b，可以用來表示一些聯立方程組。矩陣乘法的奇妙之處在於，一些矩陣可以具有乘法逆，也就是說，我們可以將等式兩邊乘以A^-1得到x = A^-1b，這實際上解決了聯立方程。

隨著本章的深入，讀者肯定會更好地理解矩陣乘法。現在，我們應該考慮矩陣乘法的最簡單情況，即乘以向量。我們將看到一些例子，然後我們將解釋乘法過程。

${\begin{matrix}A_{2\times 1}={\begin{pmatrix}2\\9\\\end{pmatrix}}&,&B_{1\times 2}={\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

那麼

$B_{1\times 2}\times A_{2\times 1}={\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(3\times 2)+(5\times 9)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}51\end{pmatrix}}$

類似地，如果

${\begin{matrix}A_{3\times 1}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}&,&B_{1\times 3}={\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

那麼

$B_{1\times 3}\times A_{3\times 1}={\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(4\times 1)+(5\times 2)+(6\times 3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}32\end{pmatrix}}$

只有一個行的矩陣被稱為行向量，類似地，只有一個列的矩陣被稱為列向量。 當我們將行向量A乘以列向量B時，我們將A的第一列中的元素乘以B的第一行中的元素，並將該乘積與A的第二列和B的第二行元素的乘積相加，依此類推。 更一般地說，我們將a_1,i乘以b_i,1（其中i從1到n，n為行/列數），並將所有乘積加起來。 符號上

$A_{1\times n}\times B_{n\times 1}=(\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}\times b_{i,1})$ （有關$\sum$符號的資訊，請參閱 Summation_Sign)

其中n是行/列數。

換句話說：列向量和行向量的乘積是行向量中第1,i項和列向量中第i,1項的乘積的和，其中i從1到這些向量的寬度/高度。

注意：矩陣的乘積也是一個矩陣。 行向量和列向量的乘積是一個1x1的矩陣，而不是一個標量。

練習

乘

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}6+6b&3-b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}$

非向量矩陣的乘法

假設 $A_{m\times n}B_{n\times p}=C_{m\times p}$ 其中 *A*、*B* 和 *C* 是矩陣。我們將 *A* 的第 *i* 行與 *B* 的第 *j* 列相乘，就好像它們是向量矩陣一樣。結果數字是 *C* 的第 (*i*, *j*) 個元素。符號表示：

$c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}\times b_{k,j}$

示例 1

計算 *AB* = *C* 和 *BA* = *D*，其中

$A={\begin{pmatrix}3&2\\5&6\\\end{pmatrix}}$

以及

$B={\begin{pmatrix}2&6\\8&7\\\end{pmatrix}}$

解決方案

$c_{1,1}={\begin{pmatrix}3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}=(3\times 2+2\times 8)=22$

$c_{1,2}={\begin{pmatrix}3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}}=(3\times 6+2\times 7)=32$

$c_{2,1}={\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}=(5\times 2+6\times 8)=58$

$c_{2,2}={\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}}=(5\times 6+6\times 7)=72$

也就是說

$C={\begin{pmatrix}22&32\\58&72\end{pmatrix}}$

$d_{1,1}={\begin{pmatrix}2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}=(2\times 3+6\times 5)=36$

$d_{1,2}={\begin{pmatrix}2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}=(2\times 2+6\times 6)=40$

$d_{2,1}={\begin{pmatrix}8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}=(8\times 3+7\times 5)=59$

$d_{2,2}={\begin{pmatrix}8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}=(8\times 2+7\times 6)=58$

也就是說

$D={\begin{pmatrix}36&40\\59&58\end{pmatrix}}$

示例 2 計算 AB 和 BA，其中

$A={\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}$

解決方案

${\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

示例 3 計算 AB 和 BA，其中

$A={\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}$

解決方案

${\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}}$

示例 4 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}$

解決方案

請注意

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

是一個 2 行 1 列的矩陣，而

${\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}$

是一個 1 行 2 列的矩陣。因此它們的乘法是合理的，且乘積應該是 2 行 2 列的矩陣。

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\\\end{pmatrix}}$

例 5 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\\end{pmatrix}}$

解決方案

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 3&1\times 4\\2\times 3&2\times 4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\\6&8\\\end{pmatrix}}$

例 6 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}$

解 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&0\\0&bd\end{pmatrix}}$

例 7 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

解 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

注意 矩陣的乘法通常不滿足交換律，即一般情況下 AB ≠ BA.

對角矩陣

對角矩陣是指除了對角線上的元素外，其他所有元素都為零的矩陣。對角矩陣的乘法非常方便，只需要將對角線上的元素相乘即可。

例子

以下都是對角矩陣 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&c&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

例子 1 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&0\\0&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h&0\\0&i\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aeh&0\\0&bfi\\\end{pmatrix}}$

例子 2 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{3}&0\\0&b^{3}\end{pmatrix}}$

上面的例子表明，如果 D 是一個對角矩陣，那麼 D^k 很容易計算，我們只需要將對角元素取 k 次方即可。這在後面學習如何用矩陣計算第 n 個斐波那契數時將是一個非常有用的事實。

練習

1. 說明 C 的維數

a) C = A_n×pB_p×m

b) $C={\begin{pmatrix}10^{10}&20\\5000&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&5&6&6\end{pmatrix}}$

2. 計算。請注意，在矩陣乘法中 (AB)C = A(BC)，即你進行乘法的順序並不重要（稍後證明）。

a)

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}$

3. 進行以下乘法

$C={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

你發現了什麼？

單位矩陣和乘法定律

上面的練習向我們展示了矩陣

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

非常特殊。它被稱為2×2單位矩陣。單位矩陣是一個方陣，其對角元素為1，所有其他元素為零。單位矩陣I具有以下非常特殊的性質

1. $A\times I=A$
2. $I\times A=A$

對於所有矩陣A。我們通常不會指定單位矩陣的形狀，因為它在上下文中是顯而易見的，在本節中，我們只處理2×2單位矩陣。在實數系統中，數字1滿足：r × 1 = r = 1 × r，因此很明顯單位矩陣類似於“1”。

結合律、分配律和（非）交換律

矩陣乘法與我們從實數乘法中知道的乘法大不相同。因此，令人欣慰的是，實數滿足的許多定律也適用於矩陣世界。但有一個重大例外，一般情況下AB ≠ BA。

令A、B和C為矩陣。結合律意味著

(AB)C = A(BC)

即，您乘以矩陣的順序無關緊要，因為無論您執行乘法的順序如何，您得到的結果都是相同的。

另一方面，分配律意味著

A(B + C) = AB + AC

以及

(A + B)C = AC + BC

注意：實數的交換律（即 ab = ba）不適用於矩陣世界。

說服自己

對於所有2×2矩陣A、B和C。以及I單位矩陣。

1. 說服自己，在2×2情況下

A(B + C) = AB + AC

以及

(A + B)C = AC + BC

2. 說服自己，在2×2情況下

A(BC) = (AB)C

3. 說服自己

$AB\neq BA$

一般來說。什麼時候AB = BA？至少列舉一種情況。

請注意，以上所有內容都適用於所有矩陣（任何維度/形狀）。

行列式和逆矩陣

我們將考慮聯立方程

ax + by = α (1)

cx + dy = β (2)

其中a、b、c、d、α和β為常數。我們想要確定（1）和（2）對x和y具有唯一解的必要條件。我們繼續

令（1'）=（1）× c

令（2'）=（2）× a

也就是說

acx + bcy = cα (1')

acx + ady = aβ (2')

現在

令（3）=（2'） - （1'）

(ad - bc)y = aβ - cα (3)

現在，當且僅當 (ad - bc) ≠ 0 時，y 可以唯一確定。因此，（1）和（2）具有唯一解的必要條件取決於x 和 y 的所有四個係數。我們稱這個數字 (ad - bc) 為行列式，因為它告訴我們兩個具有兩個變數的聯立方程是否具有唯一解。總結一下

如果 (ad - bc) = 0，則沒有唯一解

如果 (ad - bc) ≠ 0，則存在一個唯一解。

注意：唯一，我們不能過分強調這個詞。如果行列式為零，並不一定意味著聯立方程沒有解！考慮

x + y = 2

7x + 7y = 14

上述方程組的行列式為零，但顯然有一個解，即x = y = 1。實際上，有無限多個解！另一方面，也考慮

x + y = 1

x + y = 2

上述方程組的行列式為零，而且根本沒有解。因此，如果行列式為零，則要麼沒有解，要麼有無限多個解。

矩陣的行列式

我們定義2 × 2矩陣的行列式

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

為

$\det(A)=ad-bc\!$

逆矩陣

也許在現階段，det(A) 的用途還不十分清楚。但它與逆矩陣的概念密切相關。考慮實數系統中的一個數字b，它具有（乘法）逆矩陣 1/b，即 b(1/b) = (1/b)b = 1。我們知道當 b = 0 時，1/b 不存在。

在矩陣的世界中，一個矩陣A可能具有也可能不具有逆矩陣，這取決於行列式 det(A) 的值！這是怎麼回事？假設A（已知）確實具有一個逆矩陣B（即 AB = I = BA）。因此，我們的目標是找到B。進一步假設

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

以及

$B={\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}}$

我們需要求解四個聯立方程，以根據 a、b、c、d 和 det(A) 來求得 w、x、y 和 z 的值。

aw + by = 1

cw + dy = 0

ax + bz = 0

cx + dz = 1

讀者可以嘗試自行求解上述方程組。 答案為

$B={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

這裡我們假設了A有逆矩陣，但如果det(A) = 0，這是沒有意義的，因為我們不能除以零。 所以A^-1（A的逆矩陣）存在當且僅當det(A) ≠ 0。

總結

如果AB = BA = I，那麼我們說B是A的逆矩陣。 我們用A^-1表示A的逆矩陣。 一個2 × 2矩陣的逆矩陣

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

是

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

前提是A的行列式不為零。

求解聯立方程組

假設我們要求解

ax + by = α

cx + dy = β

我們令

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$w={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

$\gamma ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

我們可以將其轉換為矩陣形式

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

即

$Aw=\gamma$

如果A的行列式不為零，那麼我們可以用A^-1（A的逆矩陣）左乘等式兩邊

${\begin{matrix}A^{-1}Aw&=&A^{-1}\gamma \\Iw&=&A^{-1}\gamma \\w&=&A^{-1}\gamma \\\end{matrix}}$

也就是說

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

這意味著x和y是唯一的。

例子

如果存在，求A的逆矩陣

a) $A={\begin{pmatrix}1&5\\2&3\end{pmatrix}}$

b) $A={\begin{pmatrix}10&2\\2&7\end{pmatrix}}$

c) $A={\begin{pmatrix}a&b\\3a&3b\end{pmatrix}}$

d) $A={\begin{pmatrix}3&5\\5&3\end{pmatrix}}$

解答

a) $A^{-1}={\frac {1}{-7}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-2&1\end{pmatrix}}$

b) $A^{-1}={\frac {1}{66}}{\begin{pmatrix}7&-2\\-2&10\end{pmatrix}}$

c) 無解，因為 det(A) = 3ab - 3ab = 0

d) $A^{-1}={\frac {1}{-16}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-5&3\end{pmatrix}}$

練習

1. 求

$A={\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}$的行列式。利用 A 的行列式，判斷以下聯立方程是否有唯一解

${\begin{matrix}{\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{3}}y=0\\{\frac {3}{2}}x+{\frac {5}{2}}y=0\end{matrix}}$

2. 假設

C = AB

證明

det(C) = det(A)det(B)

對於 2 × 2 的情況。注意：對於所有情況都成立。

3. 證明，如果你交換 A 的行得到 A' ，那麼 det(A) = -det(A' )

4. 利用結果 2

a) 證明，如果

$A=P^{-1}BP$

那麼 det(A) = det(B)

b) 證明，如果

A^k = 0

對於某個正整數 k，那麼 det(A) = 0。

5. a) 計算 A⁵，即用 A 自身相乘 5 次，其中

$A={\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

b) 求 P 的逆矩陣，其中

$P={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}$

c) 驗證

$A=P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P$

d) 利用 (b) 和 (c) 部分計算 A⁵。

e) 計算 A¹⁰⁰

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其他章節

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