高中數學拓展/矩陣/專案/初等矩陣

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專案 -- 初等矩陣

始終，$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

1. 下面的矩陣稱為初等矩陣。下面的矩陣與單位矩陣I有什麼不同，分別描述每個矩陣。

• ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
• ${\begin{pmatrix}1&f\\0&1\end{pmatrix}}$ 其中f為標量
• ${\begin{pmatrix}1&0\\f&1\end{pmatrix}}$ 其中f為標量
• ${\begin{pmatrix}f&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 其中f為標量
• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&f\end{pmatrix}}$ 其中f為標量

2. 在每種情況下，計算B，然後描述B與A有何不同

• $B={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}A$
• $B={\begin{pmatrix}1&f\\0&1\end{pmatrix}}A$ 其中f為標量
• 其中f為標量，$B={\begin{pmatrix}1&0\\f&1\end{pmatrix}}A$
• 其中f為標量，$B={\begin{pmatrix}f&0\\0&1\end{pmatrix}}A$
• 其中f為標量，$B={\begin{pmatrix}1&0\\0&f\end{pmatrix}}A$

3. 矩陣${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$的行列式不等於零。我們可以將該矩陣分解成若干個初等矩陣左乘單位矩陣的乘積。

${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

現在假設det(A) ≠ 0，A可以表示為初等矩陣與單位矩陣的乘積嗎？

4. a) 證明每個初等矩陣都有逆矩陣。提示：使用行列式。

b) 證明每個可逆矩陣（具有逆矩陣的矩陣）都是一些初等矩陣左乘單位矩陣的乘積。

5. 矩陣C的轉置是矩陣C^T，其中C的第i行是C^T的第i列。使用初等矩陣證明

$(DE)^{T}=E^{T}D^{T}$

對於任意矩陣D和E。

6. 證明每個可逆矩陣也是一些初等矩陣右乘單位矩陣的乘積。

7. 不可逆矩陣呢？你能說些什麼？