高中數學擴充套件/矩陣/完整版

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數與模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論與無限過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 擴充套件模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

HSME
內容
矩陣
遞推關係
問題與專案
習題集
專案
解答
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習題集解答
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完整版

引言

"矩陣"可能更廣為人知的是大型計算機模擬，但在數學中，它完全是另一回事。更準確地說，矩陣（複數形式為 matrices）是由數字組成的矩形陣列。例如，下面是寫矩陣的典型方式，數字排列成行和列，並在數字周圍加上圓括號

${\begin{pmatrix}1&5&10&20\\1&-3&-5&9\\3&-1&-1&-1\\3&2&4&-5\end{pmatrix}}$

上述矩陣有4行4列，因此我們稱之為4 × 4（4乘4）矩陣。此外，我們還可以有許多不同形狀的矩陣。矩陣的形狀是指矩陣的維度（m乘n，其中m是行數，n是列數）。以下是一些矩陣的示例

這是一個3 × 3矩陣的示例

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

這是一個5 × 4矩陣的示例

${\begin{pmatrix}a&b&c&d\\h&g&f&e\\i&j&k&l\\p&o&n&m\\q&r&s&t\\\end{pmatrix}}$

這是一個1 × 6矩陣的示例

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\\end{pmatrix}}$

矩陣理論與（線性）聯立方程的理論密切相關。古代中國人已經建立了解決聯立方程的系統方法。聯立方程理論在東方由日本數學家關孝和進一步發展，稍後由萊布尼茨（牛頓最偉大的競爭對手）發展。後來，現代數學三大巨匠之一的高斯（1777-1855）推廣了高斯消元法的使用，這是一種解決任意數量線性聯立方程的簡單逐步演算法。到那時，用矩陣來表示紙上的聯立方程（如上所述）已經變得相當普遍¹。

考慮以下聯立方程

$x+y=10$

$x-y=4$

它的解是x = 7 和 y = 3，通常的解法是將兩個方程相加以消去y。矩陣理論為我們提供了另一種透過矩陣乘法（如下所述）來解決上述聯立方程的方法。我們將研究廣泛接受的乘法兩個矩陣的方法。理論上，透過矩陣乘法，我們可以解決任意數量的聯立方程，但我們將主要關注2 × 2矩陣。但即使有這種限制，我們也為聯立方程無法提供的主題打開了大門。兩個這樣的例子是

1. 使用矩陣解決線性遞推關係，可用於模擬人口增長，以及
2. 使用矩陣加密訊息。

我們將從學習一些更基本的矩陣概念開始我們的研究。一旦我們牢牢掌握了基礎知識，我們將繼續學習本章的重點內容，即矩陣乘法。

元素

矩陣的元素是矩陣內部的特定數字，它由一對數字唯一地定位。例如，讓以下矩陣用A表示，或用符號表示

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

A的第(2,2)個元素是5；A的第(1,1)個元素是1，A的第(3,3)個元素是9，A的第(2,3)個元素是8。A的第(i , j)個元素通常表示為a_i,j，矩陣B的第(i , j)個元素通常表示為b_i,j，依此類推。

總結

• 矩陣是數字的陣列
• m×n矩陣有m行和n列
• 矩陣的形狀由其行數和列數決定
• 矩陣的第(i,j)個元素位於第i行和第j列

矩陣加法和標量乘法

矩陣可以相加。但只有相同形狀的矩陣才能相加。這是非常自然的。例如

$A={\begin{pmatrix}1&x&2x\\1&3x&5x\\1&3&4\\\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&6&7\\\end{pmatrix}}$

那麼

$A+B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&6&7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+2&2+9&3+8\\4+0&5+(-1)&6+8\\7+4&8+6&9+7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&11&11\\4&4&14\\11&14&16\\\end{pmatrix}}$

類似地，矩陣可以乘以一個數。我們將這個數稱為標量，以區別於矩陣。讀者不必擔心這裡的定義，只需記住標量只是一個數字。

$5A=A+A+A+A+A=5{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10&15\\20&25&30\\35&40&45\\\end{pmatrix}}$

在這種情況下，標量值為 5。通常，當我們進行s × A時，其中s是標量，A是矩陣，我們將A的每個元素乘以s。

矩陣乘法

將兩個矩陣相乘的普遍接受方法絕對不直觀。如上所述，乘法可以幫助求解聯立方程。我們現在將簡要概述如何做到這一點。首先，任何線性聯立方程組都可以寫成係數矩陣乘以未知數矩陣等於結果矩陣的形式。這個描述可能聽起來有點複雜，但在符號形式下它非常清楚。前面的陳述只是說，如果A、x和b是矩陣，那麼Ax = b可以用來表示某個聯立方程組。矩陣乘法的妙處在於，某些矩陣可以具有乘法逆元，也就是說，我們可以將方程兩邊都乘以A^-1得到x = A^-1b，這有效地解決了聯立方程。

隨著本章的進行，讀者一定會更好地理解矩陣乘法。現在，我們應該考慮矩陣乘法最簡單的情況，即乘以向量。我們將看到一些例子，然後我們將解釋乘法的過程。

${\begin{matrix}A_{2\times 1}={\begin{pmatrix}2\\9\\\end{pmatrix}}&,&B_{1\times 2}={\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

那麼

$B_{1\times 2}\times A_{2\times 1}={\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(3\times 2)+(5\times 9)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}51\end{pmatrix}}$

類似地，如果

${\begin{matrix}A_{3\times 1}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}&,&B_{1\times 3}={\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

那麼

$B_{1\times 3}\times A_{3\times 1}={\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(4\times 1)+(5\times 2)+(6\times 3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}32\end{pmatrix}}$

僅有一行的矩陣稱為行向量，類似地，僅有一列的矩陣稱為列向量。當我們將行向量A乘以列向量B時，我們將A的第一列中的元素乘以B的第一行中的元素，並將A的第二列和B的第二行的乘積加到該結果上，以此類推。更一般地，我們將a_1,i乘以b_i,1（其中i的範圍從1到n，即行/列的數量），並將所有乘積加起來。符號表示為

$A_{1\times n}\times B_{n\times 1}=(\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}\times b_{i,1})$（有關$\sum$符號的資訊，請參見求和符號）

其中n是行/列的數量。

換句話說：列向量和行向量的乘積是行向量中第1,i個元素與列向量中第i,1個元素的乘積之和，其中i的範圍從1到這些向量的寬度/高度。

注意：矩陣的乘積也是一個矩陣。行向量和列向量的乘積是一個1×1的矩陣，而不是一個標量。

練習

計算

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}6+6b&3-b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}$

非向量矩陣的乘法

假設$A_{m\times n}B_{n\times p}=C_{m\times p}$，其中A、B和C是矩陣。我們將A的第i行與B的第j列相乘，就像它們是向量矩陣一樣。所得數字是C的第(i,j)個元素。符號表示為

$c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}\times b_{k,j}$

示例1

計算AB = C和BA= D，其中

$A={\begin{pmatrix}3&2\\5&6\\\end{pmatrix}}$

以及

$B={\begin{pmatrix}2&6\\8&7\\\end{pmatrix}}$

解答

$c_{1,1}={\begin{pmatrix}3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}=(3\times 2+2\times 8)=22$

$c_{1,2}={\begin{pmatrix}3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}}=(3\times 6+2\times 7)=32$

$c_{2,1}={\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}=(5\times 2+6\times 8)=58$

$c_{2,2}={\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}}=(5\times 6+6\times 7)=72$

即

$C={\begin{pmatrix}22&32\\58&72\end{pmatrix}}$

$d_{1,1}={\begin{pmatrix}2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}=(2\times 3+6\times 5)=36$

$d_{1,2}={\begin{pmatrix}2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}=(2\times 2+6\times 6)=40$

$d_{2,1}={\begin{pmatrix}8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}=(8\times 3+7\times 5)=59$

$d_{2,2}={\begin{pmatrix}8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}=(8\times 2+7\times 6)=58$

即

$D={\begin{pmatrix}36&40\\59&58\end{pmatrix}}$

例2 計算AB 和 BA，其中

$A={\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}$

解答

${\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

示例 3 計算AB 和 BA，其中

$A={\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}$

解答

${\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}}$

示例 4 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}$

解答

注意

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

是一個 2 行 1 列的矩陣，並且

${\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}$

是一個 1 行 2 列的矩陣。因此，乘法是有意義的，乘積應該是一個 2 行 2 列的矩陣。

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\\\end{pmatrix}}$

示例 5 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\\end{pmatrix}}$

解答

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 3&1\times 4\\2\times 3&2\times 4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\\6&8\\\end{pmatrix}}$

例 6 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}$

解答 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&0\\0&bd\end{pmatrix}}$

例 7 計算以下乘法

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

解答 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

注意 矩陣的乘法通常不滿足交換律，即通常AB ≠ BA。

對角矩陣

對角矩陣是指除了主對角線上的元素外，其他所有元素都為零的矩陣。對角矩陣的乘法非常方便，只需要將對角線上的元素相乘即可。

示例

以下是所有對角矩陣 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&c&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

例 1 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&0\\0&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h&0\\0&i\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aeh&0\\0&bfi\\\end{pmatrix}}$

例2 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{3}&0\\0&b^{3}\end{pmatrix}}$

以上例子表明，如果D是一個對角矩陣，那麼D^k非常容易計算，我們只需要將對角線上的元素取k次冪即可。這在後面學習如何使用矩陣計算第n個斐波那契數時將是一個非常有用的事實。

練習

1. 指出C的維度

a) C = A_n×pB_p×m

b) $C={\begin{pmatrix}10^{10}&20\\5000&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&5&6&6\end{pmatrix}}$

2. 計算結果。請注意，在矩陣乘法中(AB)C = A(BC)，即乘法的順序並不重要（稍後證明）。

a)

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}$

3. 執行以下乘法

$C={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

你發現了什麼？

單位矩陣與乘法法則

上面的練習向我們展示了矩陣

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

非常特殊。它被稱為2×2單位矩陣。單位矩陣是一個方陣，其對角線上的元素為1，其他所有元素都為零。單位矩陣I具有以下非常特殊的性質

1. $A\times I=A$
2. $I\times A=A$

對於所有矩陣A都成立。我們通常不會指定單位矩陣的形狀，因為這從上下文中很明顯，並且在本章中我們只處理 2×2 的單位矩陣。在實數系統中，數字 1 滿足：r × 1 = r = 1 × r，因此很清楚，單位矩陣類似於“1”。

結合律、分配律和（非）交換律

矩陣乘法與我們從實數乘法中知道的乘法有很大不同。因此，令人欣慰的是，實數滿足的許多定律也適用於矩陣世界。但是有一個重要的例外，一般情況下AB ≠ BA。

設A、B和C為矩陣。結合律意味著

(AB)C = A(BC)

也就是說，你乘以矩陣的順序並不重要，因為無論你進行乘法的順序如何，你得到的最終結果都是相同的。

另一方面，分配律意味著

A(B + C) = AB + AC

以及

(A + B)C = AC + BC

注意：實數的交換律（即 ab = ba）不適用於矩陣世界。

說服你自己

對於所有 2×2 矩陣A、B和C。以及單位矩陣I。

1. 說服自己在 2×2 的情況下

A(B + C) = AB + AC

以及

(A + B)C = AC + BC

2. 說服自己在 2×2 的情況下

A(BC) = (AB)C

3. 說服你自己

$AB\neq BA$

一般情況下。AB = BA 在什麼時候成立？至少舉出一個例子。

請注意，以上所有內容對所有矩陣（任何維度/形狀）都適用。

行列式和逆矩陣

我們將考慮聯立方程

ax + by = α (1)

cx + dy = β (2)

其中a、b、c、d、α和β是常數。我們想要確定 (1) 和 (2) 對x和y具有唯一解的必要條件。我們繼續

令 (1') = (1) × c

令 (2') = (2) × a

即

acx + bcy = cα (1')

acx + ady = aβ (2')

現在

令 (3) = (2') - (1')

(ad - bc)y = aβ - cα (3)

現在，當且僅當 (ad - bc) ≠ 0 時，y可以唯一確定。因此，(1) 和 (2) 具有唯一解的必要條件取決於x和y的所有四個係數。我們將此數 (ad - bc) 稱為行列式，因為它告訴我們兩個二元聯立方程是否存在唯一解。總之

如果 (ad - bc) = 0，則不存在唯一解

如果 (ad - bc) ≠ 0，則存在唯一解。

注意：唯一，我們再怎麼強調這個詞都不為過。如果行列式為零，並不一定意味著聯立方程沒有解！考慮

x + y = 2

7x + 7y = 14

上述方程組的行列式為零，但顯然存在解，即x = y = 1。事實上，存在無限多個解！另一方面，也考慮

x + y = 1

x + y = 2

這組方程的行列式為零，並且根本沒有解。因此，如果行列式為零，則要麼沒有解，要麼有無限多個解。

矩陣的行列式

我們定義 2×2 矩陣的行列式

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

為

$\det(A)=ad-bc\!$

逆矩陣

也許在這個階段，det(A) 的用途還不十分清楚。但它與逆矩陣的概念密切相關。考慮實數系統中的一個數b，它具有（乘法）逆元 1/b，即b(1/b) = (1/b)b = 1。我們知道當b = 0 時，1/b不存在。

在矩陣世界中，矩陣A是否具有逆矩陣取決於行列式 det(A) 的值！這是怎麼回事？假設A（已知）確實有逆矩陣B（即AB = I = BA）。所以我們的目標是找到B。進一步假設

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

以及

$B={\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}}$

我們需要解四個聯立方程，以根據a、b、c、d和 det(A) 得到w、x、y和z的值。

aw + by = 1

cw + dy = 0

ax + bz = 0

cx + dz = 1

讀者可以自己嘗試解以上方程。所需的答案是

$B={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

在這裡，我們假設A有逆矩陣，但如果 det(A) = 0，則沒有意義，因為我們不能除以零。因此，A^-1（A的逆矩陣）存在當且僅當 det(A) ≠ 0。

總結

如果AB = BA = I，則我們說B是A的逆矩陣。我們用A^-1表示A的逆矩陣。2×2 矩陣的逆矩陣

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

是

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

前提是A的行列式不為零。

解聯立方程

假設我們要解

ax + by = α

cx + dy = β

我們令

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$w={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

$\gamma ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

我們可以將其轉換為矩陣形式

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

即

$Aw=\gamma$

如果A的行列式不為零，則我們可以用A^-1（A的逆矩陣）左乘等式兩邊

${\begin{matrix}A^{-1}Aw&=&A^{-1}\gamma \\Iw&=&A^{-1}\gamma \\w&=&A^{-1}\gamma \\\end{matrix}}$

即

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

這意味著x和y是唯一的。

示例

求A的逆矩陣（如果存在）

a) $A={\begin{pmatrix}1&5\\2&3\end{pmatrix}}$

b) $A={\begin{pmatrix}10&2\\2&7\end{pmatrix}}$

c) $A={\begin{pmatrix}a&b\\3a&3b\end{pmatrix}}$

d) $A={\begin{pmatrix}3&5\\5&3\end{pmatrix}}$

解答

a) $A^{-1}={\frac {1}{-7}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-2&1\end{pmatrix}}$

b) $A^{-1}={\frac {1}{66}}{\begin{pmatrix}7&-2\\-2&10\end{pmatrix}}$

c) 無解，因為det(A) = 3ab - 3ab = 0

d) $A^{-1}={\frac {1}{-16}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-5&3\end{pmatrix}}$

練習

1. 求以下矩陣的行列式

$A={\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}$。利用A的行列式，判斷以下聯立方程是否有唯一解

${\begin{matrix}{\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{3}}y=0\\{\frac {3}{2}}x+{\frac {5}{2}}y=0\end{matrix}}$

2. 假設

C = AB

證明

det(C) = det(A)det(B)

對於 2 × 2 的情況。注意：這對於所有情況都成立。

3. 證明如果交換A的行得到A' ，則 det(A) = -det(A' )

4. 利用結果 2

a) 證明如果

$A=P^{-1}BP$

則 det(A) = det(B)

b) 證明如果

A^k = 0

對於某個正整數k，則 det(A) = 0。

5. a) 計算A⁵，即把A自身乘以5次，其中

$A={\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

b) 求P的逆矩陣，其中

$P={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}$

c) 驗證

$A=P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P$

d) 利用(b)和(c)部分的結果計算A⁵。

e) 計算A¹⁰⁰

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其他部分

下一部分 > High_School_Mathematics_Extensions/Matrices/Linear_Recurrence_Relations_Revisited

習題集 > High_School_Mathematics_Extensions/Matrices/Problem Set

專案 > High_School_Mathematics_Extensions/Matrices/Project/Elementary_Matrices

*線性遞推關係再探*

我們已經在計數與生成函式章節中討論過線性遞推關係。我們將使用矩陣再次研究它。考慮斐波那契數列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

其中每個數都是前兩個數的和。令x_n為第(n + 1)個斐波那契數，我們可以寫成

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}x_{n-1}+x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}\\\\&=&{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{pmatrix}}\\\\&=&{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}x_{n-2}\\x_{n-3}\end{pmatrix}}\\\\&...\\\\&=&{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{0}\end{pmatrix}}\\\\&=&{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

事實上，許多線性遞推關係可以用矩陣形式表示，例如

$x_{n}=2x_{n-1}+x_{n-2};\ {\mbox{if n}}\geq 2$

$x_{1}=1$

$x_{0}=1$

可以表示為

${\begin{pmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{pmatrix}}$

因此

${\begin{pmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

所以，如果我們知道如何快速計算矩陣的冪，那麼我們就可以很快算出第 (n + 1) 個斐波那契數！

快速計算冪

注意，從現在開始，如果一個矩陣是向量，我們會在其上方寫一個箭頭來強調。

考慮

$A={\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

當你用 A 乘以 ${\overrightarrow {x}}$ 或 ${\overrightarrow {y}}$ 時，會發生一些有趣的事情（試試看）。事實上

$A{\overrightarrow {x}}=2{\overrightarrow {x}}$

以及

$A{\overrightarrow {y}}=3{\overrightarrow {y}}$.

通常對於矩陣 B，如果向量 w ≠ 0（所有元素都為零的矩陣），使得

$B{\overrightarrow {w}}=\lambda {\overrightarrow {w}}$

對於某個標量 λ，則 ${\overrightarrow {w}}$ 稱為 B 的特徵向量，λ 為 B 的特徵值（對應於 w）。

這是矩陣的一個特性，可以用來輕鬆計算冪。以下是使用上面提到的 A、x 和 y 將這兩條資訊組合成矩陣形式的方法

$A{\begin{pmatrix}{\overrightarrow {x}}&{\overrightarrow {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {x}}&{\overrightarrow {y}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}$

或者完全用數字形式表示

${\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}$

鼓勵您檢查以上結果是否正確。我們所做的是將${\overrightarrow {x}}$ 和 ${\overrightarrow {y}}$ 合併成一個矩陣，每個向量作為一列，然後將其乘以對角矩陣，該矩陣的元素分別對應每個特徵向量的特徵值。

如何利用這種矩陣形式快速計算A的冪？我們需要一個簡單而巧妙的步驟——在等式的兩邊右乘（即從右邊乘）${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}$

的逆矩陣。

我們得到

${\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^{-1}$

現在要計算Aⁿ，我們只需要做

$A^{n}={\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}^{n}=$

${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^{-1}...{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^{-1}$

但是逆矩陣相乘得到I，所以我們剩下

$A^{n}={\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^{-1}$

這很容易計算，因為對角矩陣的冪很容易計算（只需將每個元素取冪）。

示例1

計算A⁵，其中A如上所示。

解 我們進行以下計算

$A^{5}={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}^{5}{\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^{-1}$

$A^{5}={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2^{5}&0\\0&3^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$

$A^{5}={\begin{pmatrix}2^{6}-3^{5}&2^{6}-2\times 3^{5}\\-2^{5}+3^{5}&-2^{5}+2\times 3^{5}\end{pmatrix}}$

例2

令

$B={\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}$

並且它的特徵向量是

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}$

直接計算B⁵（可選），並使用上述方法再次計算。

解 我們首先需要確定它的特徵值。我們進行以下計算

${\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

所以對應於

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

的特徵值為1。

類似地，

${\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}}=3{\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}$

所以另一個特徵值為3。

現在我們用以下形式寫出它們

${\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&7\\1&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&7\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}$

現在使B成為主語

${\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&7\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-7\\-1&2\end{pmatrix}}$

現在

${\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}^{5}={\begin{pmatrix}2&7\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{5}&0\\0&3^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-7\\-1&2\end{pmatrix}}$

所以將右側展開，我們得到

${\begin{pmatrix}-13&28\\-8&17\end{pmatrix}}^{5}={\begin{pmatrix}8-7\times 3^{5}&14(3^{5}-1)\\4(3^{5}-1)&-7+8\times 3^{5}\end{pmatrix}}$

總結 -- 快速計算冪

給定矩陣A的特徵向量

1. 計算特徵值（如果未給出）
2. 寫成A = PDP^-1的形式，其中D是特徵值的對角矩陣，P是特徵向量作為列
3. 使用右側等價物計算Aⁿ

練習

1. 的特徵向量

$B={\begin{pmatrix}-8&6\\-15&11\end{pmatrix}}$

是

${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}$

計算B⁵

2. 的特徵向量

$B={\begin{pmatrix}-8&6\\-9&7\end{pmatrix}}$

是

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$

計算B⁵

3. 的特徵向量

$B={\begin{pmatrix}177&-140\\225&-178\end{pmatrix}}$

是

${\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}7\\9\end{pmatrix}}$

計算B⁵

特徵向量和特徵值

我們從上一節知道，對於一個矩陣，如果給定它的特徵向量，我們可以找到對應的特徵值，然後可以快速計算它的冪。所以最後一個障礙變成了找到特徵向量。

矩陣 *A* 的特徵向量 ${\overrightarrow {x}}$ 及其對應的特徵值 λ 由以下表達式相關聯

$A{\overrightarrow {x}}=\lambda {\overrightarrow {x}}$

其中 x ≠ *0*，其中 *0* 是零矩陣（所有元素都為零）。我們可以安全地假設 *A* 是給定的，所以有兩個未知數——${\overrightarrow {x}}$ 和 λ。我們現在有足夠的資訊來計算特徵值（以及由此計算特徵向量）

$A{\overrightarrow {x}}-\lambda {\overrightarrow {x}}=0$

$A{\overrightarrow {x}}-\lambda I{\overrightarrow {x}}=0$

$(A-\lambda I){\overrightarrow {x}}=0$

矩陣 (*A* - λ*I*) 必須 *沒有* 逆矩陣，因為如果它有逆矩陣，那麼 ${\overrightarrow {x}}$ = *0*。因此 det(*A* - λ*I*) = 0。假設

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

那麼

$A-\lambda I={\begin{pmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{pmatrix}}$

$0=\det(A-\lambda I)=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc$

現在我們看到 det(A-λI) 是 λ 的多項式，並且 det(*A*-λ*I*) = 0。我們已經很好地訓練了解二次方程，所以很容易計算出 λ 的值。一旦我們計算出 λ 的值，我們就可以計算出 ${\overrightarrow {x}}$（參見示例）。

示例1

求以下矩陣的特徵值和特徵向量

$A={\begin{pmatrix}-4&15\\-2&7\end{pmatrix}}$

然後找到 *D* 和 *P*，使得 *A* = *P*^-1*DP*。

解答

我們的目標是找到 ${\overrightarrow {x}}$ 和 λ，使得

x${\overrightarrow {}}$ = λx${\overrightarrow {}}$

我們繼續進行

${\begin{pmatrix}-4&15\\-2&7\end{pmatrix}}{\overrightarrow {x}}=\lambda {\overrightarrow {x}}$

${\begin{pmatrix}-4-\lambda &15\\-2&7-\lambda \end{pmatrix}}{\overrightarrow {x}}=0$ (**)

det(A - λI) =

0 = (-4 - λ)(7 - λ) + 30

0 = -28 - 3λ + λ² + 30

0 = λ² - 3λ + 2

0 = (λ - 1)(λ - 2)

λ = 1, 2

現在對於每個特徵值，我們將得到一個不同的對應特徵向量。因此我們分別考慮λ = 1和λ = 2的情況。

首先考慮λ = 1，從(**)我們得到

${\begin{pmatrix}-4-1&15\\-2&7-1\end{pmatrix}}x=0$

即

${\begin{pmatrix}-5&15\\-2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=0$

其中x$={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$由於det(A - λI) = 0，我們知道上述方程沒有唯一的解。但我們注意到

$x={\begin{pmatrix}3t\\1t\end{pmatrix}}$

對於任何實數t都是一個解，我們選擇t = 1作為我們的解，因為它最簡單。因此

$x={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

是對應於λ = 1的特徵向量。(***)

類似地，如果λ = 2，從(**)我們得到

${\begin{pmatrix}-4-2&15\\-2&7-2\end{pmatrix}}x=0$

即

${\begin{pmatrix}-6&15\\-2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=0$

其中x$={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$我們注意到

$x={\begin{pmatrix}5t\\2t\end{pmatrix}}$

對於任意實數t 都是一個解，如同之前我們選擇t = 1作為我們的解。因此

$x={\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ 是對應於λ = 2的特徵向量。(****)

我們總結(***)和(****)的結果，得到

$A{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$A{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$

我們將這些結果合併成一個

$A{\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$

因此

$A={\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}}^{-1}$

---

例2

a) 對角化A，即找到P（可逆）和B（對角）使得AP = PB

b) 計算A⁵

$A={\begin{pmatrix}1&2\\-1&4\end{pmatrix}}$

解答 a) 我們正在求解Ax = λx，其中λ是一個常數，x′是一個列向量。首先

$Ax-\lambda Ix=0$

$(A-\lambda I)x=0$

由於'x′ ≠ 0，我們有

$det(A-\lambda I)=0$

即

$\det {\begin{pmatrix}1-\lambda &2\\-1&4-\lambda \end{pmatrix}}=0$

${\begin{matrix}(1-\lambda )(4-\lambda )+2&=&0\\\lambda ^{2}-5\lambda +6&=&0\end{matrix}}$

$\lambda =3,\ 2$

對於λ = 3，

$(A-3I)x=0$

${\begin{pmatrix}-2&2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0$

顯然

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

是一個解。注意我們不接受x = 0作為解，因為我們假設x ≠ 0。還要注意

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}$

對於某個常數t 也是一個解。實際上，我們可以使用x = y = 2、3 或 4 作為解，但為了方便起見，我們選擇最簡單的，即x = y = 1。

對於 λ = 2，

$(A-2I)x=0$

${\begin{pmatrix}-1&2\\-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0$

顯然

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

是一個解。

因此

$A{\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}}$

是一個解，並且

$A{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}$

也是一個解。

b)

$A^{5}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}\end{pmatrix}}^{5}$

$A^{5}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}^{5}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}$

$A^{5}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2^{5}&0\\0&3^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$

$A^{5}={\begin{pmatrix}2^{6}-3^{5}&2^{6}-2\times 3^{5}\\2^{5}-3^{5}&-2^{5}+2\times 3^{5}\end{pmatrix}}$

---

示例 3

解線性遞推關係

${\begin{matrix}x_{n}&=&5x_{n-1}&-&6x_{n-2};\ {\mbox{if n}}\geq 2\\x_{1}&=&1\\x_{0}&=&0\\\end{matrix}}$

解答

${\begin{pmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

我們需要對角化

$A={\begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}}$

我們繼續進行

$\det {(A-\lambda I)}=0\!$

我們得到

λ = 2, 3

對於 λ = 2

$(A-2I)x=0\!$

$x={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

對於 λ = 3

$(A-3I)x=0\!$

$x={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

因此

$A={\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}$

現在

$A^{n-1}={\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}-1&3\\1&-2\end{pmatrix}}$

$A^{n-1}={\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2^{n-1}&0\\0&3^{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&3\\1&-2\end{pmatrix}}$

$A^{n-1}={\begin{pmatrix}-2^{n}+3^{n}&3\times 2^{n}-2\times 3^{n}\\-2^{n-1}+3^{n-1}&3\times 2^{n-1}-2\times 3^{n-1}\end{pmatrix}}$

因此

${\begin{pmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2^{n}+3^{n}&3\times 2^{n}-2\times 3^{n}\\-2^{n-1}+3^{n-1}&3\times 2^{n-1}-2\times 3^{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2^{n}+3^{n}\\-2^{n-1}+3^{n-1}\end{pmatrix}}$

即

$x_{n}=-2^{n}+3^{n}\!$

練習

1. 計算A⁵，其中

$A={\begin{pmatrix}-12&10\\-21&17\end{pmatrix}}$

2. 計算A⁵，其中

$A={\begin{pmatrix}-6&28\\-2&9\end{pmatrix}}$

3. 求解以下遞推關係

$x_{n}=3x_{n-1}-x_{n-2}\!$

$x_{1}=1\!$

$x_{0}=0\!$

解答

1.

$A^{5}={\begin{pmatrix}-2922&2110\\-4431&3197\end{pmatrix}}$

2.

$A^{5}={\begin{pmatrix}-216&868\\-62&249\end{pmatrix}}$

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習題集 > High_School_Mathematics_Extensions/Matrices/Problem Set

專案 > High_School_Mathematics_Extensions/Matrices/Project/Elementary_Matrices

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