高中數學擴充套件/矩陣/習題集

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數與模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論與無限過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 更多模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

HSME
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習題集

1. 卓決定使用矩陣加密給珍妮寫一條訊息。他用一個數字替換英文字母表中的每個字母

A 為 0

B 為 1

C 為 2

...

Z 為 25,

然後，他將自己的資訊以 2 行 4 列的矩陣形式寫下，如下所示：

$X={\begin{pmatrix}?&?&?&?\\?&?&?&?\end{pmatrix}}$,

現在，他用一個矩陣左乘他的秘密資訊X，得到結果

${\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}?&?&?&?\\?&?&?&?\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}28&94&70&102\\44&153&112&163\end{pmatrix}}$.

卓給珍妮的訊息是什麼？

2. 一個 2 行 2 列的矩陣A具有以下性質

$A{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

以及 $A{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

A的逆矩陣是什麼？

3. 令

$J={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$,

並令 K = I + J。證明 Kⁿ = nK。

4. 假設

$A^{k}=0$

並且

$B^{l}=0$

證明或反駁，你總能找到一個正整數m，使得

$(A+B)^{m}=0$

5. 令p和q是兩個實數，使得p + q = 1。證明存在一個 2 × 2 矩陣A ≠ I（即不等於單位矩陣），使得

$A{\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

6. 求解 A，使得： $A^{3}={\begin{pmatrix}-10&18\\-9&17\end{pmatrix}}$

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