高中數學擴充套件

引言

孩子剛開始學習數字時，就會對大數字感興趣，一百萬、十億、一兆。他們甚至會編造自己的數字，比如一兆等等。孩子提出的第一個數學問題往往是“最大的數字是什麼？”這通常會導致一個簡短的解釋，即有無窮多個數字。

但無窮大有很多不同的 *型別* - 實際上，無窮大的型別是無限的！本章將試圖解釋這些型別中的一些型別以及它們之間的區別。

有限集和無限集

曾經有一位名叫格奧爾格·康托爾的數學家，他在 19 世紀後期建立了一個名為 **集合論** 的新的數學分支。集合論涉及數字或物件的集合。這裡有一個集合

\{1,2,3,4,5\}

這個集合包含五個元素，即前五個自然數。現在考慮集合

\{6,7,8,9,10\}

這兩個集合的大小相同嗎？是的，它們是相同的。這是因為它們都包含五個元素。正如我們稍後將看到的，這種比較大小的方法並不適用於所有集合。比較集合大小的另一種方法是將集合中的元素一一匹配。

想象一個想要將自己擁有的彈珠數量與哥哥的彈珠數量進行比較的小孩子。假設她不會數到十以外的數字。她仍然可以透過將他們的彈珠排成兩條平行線來比較他們的彈珠集合的大小。左側的線包含她的彈珠，而右側的線包含她哥哥的彈珠。如果左側的每個彈珠都與右側的恰好一個彈珠對齊，那麼他們倆的彈珠數量就一樣多。

我們可以使用相同的想法來比較無限集。如果我們可以找到一種方法將集合 A 的一個成員與集合 B 的一個成員配對，並且如果集合 A 中沒有成員在集合 B 中沒有對應，反之亦然，那麼我們可以說集合 A 和集合 B 具有相同數量的成員。形式上，如果存在一個函式 $f$ ，使得對於 $A$ 中的每一個 $a$ ，都有 $f(a)$ 在 $B$ 中，而且，對於 $B$ 中的每一個 $b$ ，都存在一個 $a$ 在 $A$ 中，使得 $f(a)=b$ 。

例子

考慮我們之前的例子。我們想知道集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 和 $\{6,7,8,9,10\}$ 是否具有相同的大小。我們可以建立以下匹配。

1	6
2	7
3	8
4	9
5	10

例子

設集合 N 為所有自然數。N 被稱為自然數集。1,2,3,4,5,6,... 等等。設集合 B 為負數 -1,-2,-3, ... 等等。N 和 B 的成員可以配對嗎？正式的說法是“A 和 B 可以一一對應嗎”？

答案顯然是肯定的。集合 N 中的 1 對應於集合 B 中的 -1。同樣地

N B

1 -1

2 -2

3 -3

等等。這裡，從 A 到 B 的一一對映函式是 $f(x)=-x$ 。

自然數集非常有用，以至於任何可以與它一一對應的集合都被稱為 可數無限。

例子

整數集包含集合 N、集合 B 和元素 0 中的所有元素。也就是說

{... -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}

整數集通常用 Z 表示。注意，N 是自然數集，是 Z 的子集。N 中的所有成員都在 Z 中，但 Z 中並非所有成員都在 N 中。

整數集是可數無限的嗎？ 換句話說，整數集可以與所有自然數集一一對應嗎？

由於 N 集包含在 Z 集中，我們可能會認為這兩個集合的大小不同。然而，我們可以

Z N

0 1

-1 2

1 3

-2 4

等等。我們可以將這種一一對應關係寫成一個函式

$f(x)=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {x-1}{2}}&x{\text{ is odd}}\\{\frac {-x}{2}}&x{\text{ is even}}\end{array}}\right.$

我們可以驗證這個函式從自然數集 N 中生成所有整數集 Z 中的整數。

確實很奇怪！Z 的一個子集（即自然數）與 Z 本身具有相同的大小！無限集不像普通的有限集。事實上，這有時被用作無限集的定義。**一個無限集是指任何可以與它的至少一個子集建立一一對應關係的集合**。人們有時不用“集合的成員數量”，而是使用**基數**或**基數值**。Z 和 N 被認為具有相同的基數。

練習

偶數的數量與自然數的數量相同嗎？
平方數的數量呢？
小於 100 的正偶數的基數等於小於 100 的自然數的基數嗎？哪個集合更大？你怎麼知道？有限集在哪些方面與無限集不同？

有理數集比 N 大嗎？

在本節中，我們將看看是否能找到一個比我們迄今為止看到的可數無限大的集合還要大的集合。為了說明這個想法，我們可以想象一個故事。

曾經有一個罪犯被關進了監獄。監獄不是一個好地方，所以這個可憐的罪犯找到了監獄長，懇求她被釋放。她回答道

"好吧——我正在想一個數字，你每天都可以嘗試猜它。如果你猜對了，你就可以離開。"

現在問題是——罪犯能讓自己逃出監獄嗎？（在你繼續閱讀之前，先考慮一下這個問題）

很明顯，這取決於這個數字。如果監獄長選擇一個自然數，那麼罪犯在第一天猜 1，第二天猜 2，以此類推，直到他猜到正確的數字。同樣地，對於整數，第一天猜 0，第二天猜 -1，第三天猜 1，以此類推。如果這個數字非常大，那麼可能需要很長時間才能出獄，但他最終會出獄。

監獄長需要做的是選擇一個不可數的集合。想象一下一條數軸。整數之間間隔很大。例如，在整數 0 和 1 之間有許多數字。因此，我們需要關注更密集的集合。第一個大多數人想到的集合是分數。在 0 和 1 之間有無限多個分數，因此分數一定比整數多？是否可以計算分數？讓我們思考一下這個可能性。如果我們嘗試用計算 0 到 1 之間的所有分數然後繼續計算 1 到 2 之間的所有分數，以此類推，我們會失敗，因為我們永遠無法完成計算到 1 的分數（有無限多個）。但這是否意味著它們不可數？想想整數的情況。按順序排列……-2，-1，0，1，2……使得它們無法計數，但將它們重新排列為 0，-1，1，-2，2……允許它們被計數。

事實上，有一種方法可以對分數進行排序以允許它們被計數。在我們繼續之前，讓我們回到正常的數學語言。數學家使用術語*有理數*來定義我們一直在稱之為分數的東西。有理數是指任何可以寫成 p/q 形式的數，其中 p 和 q 是整數。因此 3/4 是有理數，-1/2 也是有理數。所有有理數的集合通常稱為 Q。注意，Z 是 Q 的一個子集，因為任何整數都可以除以 1 以將其變為有理數。例如，數字 3 可以寫成 p/q 形式，即 3/1。

現在，由於 Q 中的所有數字都由兩個數字 p 和 q 定義，因此將 Q 寫成表格形式是有意義的。

${\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {2}{1}}&{\frac {2}{2}}&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{3}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

注意，這個表格不是 Q 的精確表示。它只包含 Q 的正成員，並且有許多重複項。（例如，1/1 和 2/2 是同一個數字）我們將這個集合稱為 Q'。很容易看出，如果 Q' 是可數的，那麼 Q 也是可數的。

那麼我們如何計算 Q'？如果我們嘗試計算第一行然後是第二行，以此類推，我們會失敗，因為行是無限長的。同樣，如果我們嘗試計算列。但是看看對角線。在一個方向上，它們是無限的（例如 1/1，2/2，3/3，…），但在另一個方向上，它們是有限的。因此，這個集合是可數的。我們沿著有限的對角線計算它們，1/1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1……。

練習

調整計算集合 Q' 的方法以顯示集合 Q 也是可數的。你將如何包含 0 和負有理數？你將如何解決表示同一個數字的重複項問題？
證明 $\infty \times \infty =\infty$ （只要兩個無限大都是可數的）

我們能找到任何比 N 大的集合嗎？

到目前為止，我們已經研究了 N、Z 和 Q，發現它們的大小都相同，即使 N 是 Z 的一個子集，而 Z 是 Q 的一個子集。你可能開始思考“就這樣了嗎？所有無限大都相同大小嗎？”在本節中，我們將研究一個比 N 更大的集合。一個*不能*與 N 建立一一對應關係的集合，無論它如何排列。

所討論的集合是 R：實數。實數是數軸上的任意數字。請記住，集合 Q 包含所有可以寫成 p/q 的形式的數字，其中 p 和 q 是整數，q 不等於 0。大多數實數永遠無法寫成這種形式，它們被稱為“無理數”。無理數的例子包括 $\pi$ ， $e,$ 和 ${\sqrt {2}}$ 。

集合 R 非常大！比 Q 大得多。為了感受這兩個無限集的不同大小，請考慮實數和小數的十進位制展開。有理數總是要麼終止

1/8 = 0.125

要麼重複

1/9 = 0.1111111......

想象一下測量一個物體，比如一本書。如果你使用尺子，你可能會得到 10 釐米。如果你稍微仔細一點，讀出毫米，你可能會得到 10.2 釐米。然後你必須使用更精確的測量裝置，例如遊標卡尺，你會發現你得到 10.235 釐米。然後使用測量顯微鏡，你可能會發現是 10.235823 釐米，等等。一般來說，任何真實測量的十進位制展開將是一系列看起來完全隨機的數字。

現在想象一下你測量了一本書，發現它是 10.101010101010 釐米。你會很驚訝，不是嗎？但這正是如果書的長度是有理數的話，你所需要得到的結果。有理數很密集（你可以在數軸上找到它們），是無限的，但遠不像實數那樣常見。

如何證明 R 比 Q 大

瞭解無限的大小，就像上一節中一樣，是很有幫助的。但為了真正確定，我們必須提出某種形式的證明。為了證明 R 比 Q 大，我們使用一種經典的方法。我們假設 R 的大小與 Q 相同，並由此得出矛盾。為了清楚起見，我們將證明限制在 0 到 1 之間的實數。我們將這個集合稱為 R'。顯然，如果我們能證明 R' 比 Q 大，那麼 R 也一定比 Q 大。

如果 R' 的大小與 Q 相同，則意味著它是可數的。這意味著我們可以寫出一個包含 R' 中所有成員的列表（這就是可數的含義，到目前為止，我們已經設法以無限長列表的形式寫出了所有無限集）。讓我們考慮一下這個列表。

R₁

R₂

R₃

R₄

.

其中 R₁ 是列表中的第一個數字，R₂ 是第二個，依此類推。請注意，我們沒有說列表的順序是什麼。對於這個證明，我們不需要說列表的順序是什麼，只需要說 R 的成員是可列出的（因此是可數的）。

現在讓我們寫出列表中每個數字的小數展開。

0.r₁₁r₁₂r₁₃r₁₄...

0.r₂₁r₂₂r₂₃r₂₄...

0.r₃₁r₃₂r₃₃r₄₄...

0.r₄₁r₄₂r₄₃r₄₄...

.

這裡 r₁₁ 表示列表中第一個數字小數點後的第一個數字。因此，如果我們的第一個數字恰好是 0.36921...，則 r₁₁ 將是 3，r₁₂ 將是 6，依此類推。請記住，這個列表應該是完整的。這意味著它包含 R' 中所有成員。為了證明 R 不可數，我們要做的是構造一個不在列表中的 R' 中的數字。由於該列表應該包含 R' 中所有成員，因此這將導致矛盾，因此表明 R' 是不可列出的。

為了構造這個未列出的數字，我們選擇一個十進位制表示

0.a₁a₂a₃a₄...

其中 a₁ 是小數點後的第一個數字，依此類推。

我們讓 a₁ 取 0 到 9（包括 0 和 9）之間的任何值，除了數字 r₁₁。因此，如果 r₁₁ = 3，那麼 a₁ 可以是 0、1、2、4、5、6、7、8 或 9。然後我們讓 a₂ 是除 r₂₂ 之外的任何數字（列表中第二個數字的第二個數字）。然後 a₃ 是除 r₃₃ 之外的任何數字，依此類推。

現在，如果我們剛剛構造的這個數字確實在列表中的某個地方，那麼它就必須等於 R_something。讓我們看看它可能等於哪個 R_something。它不可能等於 R₁，因為它第一個數字不同（r₁₁ 和 a₁。它也不可能等於 R₂，因為它第二個數字不同，依此類推。事實上，它不可能等於列表中的任何數字，因為它與列表中所有數字至少有一個數字不同。

我們已經做到了我們想做的事情。我們構造了一個 R' 中的數字，但不在 R' 中所有成員的列表中。這種矛盾意味著 R' 比任何列表都大。它不可列出。它不可數。它是一個比 Q 更大的無窮大。

還有更大的無窮大嗎？

有，但很難描述。所有可能的任何數量的實數組合的集合是一個比 R 更大的無窮大。然而，試圖想象這樣的集合令人難以置信。讓我們看看一個看起來應該比 R 大，但事實並非如此的集合。

記住 R'，我們之前將它定義為數軸上 0 到 1 之間的數字集合。現在讓我們考慮平面中從 [0,0] 到 [1,1] 的所有數字集合。乍一看，很明顯，整個平面上一定比一條線上有更多的點。但在超限數學中，“顯而易見”並不總是正確的，證明是唯一的出路。康托爾花了三年時間試圖證明它是正確的，但失敗了。他失敗的原因是最好的可能。這是錯誤的。

這個平面中的每個點都由兩個數字指定，即 x 座標和 y 座標；x 和 y 都屬於 R。讓我們考慮線上的一個點。0.a₁a₂a₃a₄.... 你能想到一種方法使用這個數字來指定平面中的一個點嗎？同樣，你能想到一種方法將兩個數字 x= 0.x₁x₂x₃x₄.... 和 y= 0.y₁y₂y₃y₄.... 組合起來以指定線上的一點嗎？（在繼續閱讀之前考慮一下）

一種方法是

a₁ = x₁

a₂ = y₁

a₃ = x₂

a₄ = y₂

.

這定義了平面上的點和線上的點之間的一一對應關係。（實際上，對於你們中那些敏銳的人來說，並非完全是一一對應的。你能發現問題和解決方法嗎？）

練習

證明立方體中點的數量與其中一個側面上的點的數量相同。

連續統假設

我們將在關於無限集的這一部分結束時，介紹連續統假設。這個假設指出，自然數和實數之間不存在無窮大。康托爾為超限數想出了一個數字系統。他稱最小的無窮大為 $\aleph _{0}$ ，下一個最大的為 $\aleph _{1}$ ，依此類推。很容易證明 N 的基數是 $\aleph _{0}$ （將任何較小的無窮大寫成列表。要麼列表終止，在這種情況下它是有限的，要麼它永遠持續下去，在這種情況下它與 N 的大小相同），但實數的基數是否等於 $\aleph _{1}$ ？

換句話說，這個假設指出

不存在比自然數集更大但比實數集更小的無限集。

這個假設很有趣，因為它已被證明“無法使用集合論的常規公理來證明該假設是真還是假”。

進一步閱讀

如果你想了解更多關於集合論或無限集的資訊，可以嘗試我們姊妹專案 en:wikipedia 上的眾多有趣頁面。

極限無窮被消除了

在 21 世紀，我們看來無限集理論很奇怪，但在康托爾的時代，這對大多數數學家來說是完全不能接受的。在那個時代，無窮的概念太麻煩了，他們儘可能地避免它。

不幸的是，被稱為**分析**的數學主題在數學、物理學、工程學中被發現非常有用。這是一個太有用的領域，不能輕易放棄，而分析依賴於無窮或至少依賴於無限過程。為了解決這個問題，發明了*極限*的概念。

考慮這個級數

{\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\cdots ,{\frac {1}{n}}\cdots

這個級數被稱為調和級數。

請注意，隨著你沿著級數越來越遠，級數的項越來越小。如果我們讓 n 變成無窮大，會發生什麼？該項將變成 ${\frac {1}{\infty }}$

但這沒有意義。（數學家認為用無窮大除法很粗心。無窮大不是一個實數，你不能用它來除法。）更好的思考方式（如果你曾經考慮過這個問題，你可能已經是這樣想的）是採取這種方法：無窮大非常大，比你能想到的任何數字都要大。所以，讓我們讓 *n* 變得越來越大，看看 1/*n* 是否接近某個固定數。在這種情況下，隨著 *n* 越來越大，1/*n* 越來越小。因此，有理由說*極限*是 0。

在數學中，我們寫成

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0

它讀作

當 *n* 趨近於無窮大時，1/*n* 的極限為零

請注意，我們不是用無窮大除以 1 並得到答案 0。我們讓數字 *n* 變得越來越大，因此倒數越來越接近零。18 世紀的數學家喜歡這個想法，因為它消除了令人討厭的*用無窮大除法*的概念。在任何時候，*n* 都保持有限。當然，無論 *n* 多大，1/*n* 都不可能完全等於零，總會有一個微小的差異。這個差異（或誤差）通常用 ε（epsilon）表示。

資訊 - 無限小

當我們談論無窮大時，我們把它看作一個很大的東西。但也有無限小，用 ε（epsilon）表示。這種事物比任何其他數字都更接近零。數學家也用字元 ε 來表示任何很小的東西。例如，著名的匈牙利數學家保羅·埃爾德什過去常常把小孩子稱為 epsilon。

例子

讓我們看看這個函式

{\frac {x^{2}+x}{x^{2}}}

當 x 趨近於無窮大時，極限是多少？

這就是極限的概念真正發揮作用的地方。直接用無窮大替換 *x* 並不能給我們帶來太多

\ {\frac {\infty ^{2}+\infty }{\infty ^{2}}}=?

但透過使用極限，我們可以解決它

\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+x}{x^{2}}}=1+\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=1

對於我們的第二個例子，考慮這個極限，當 x 趨近於無窮大時， $x^{3}-x^{2}$

再次讓我們看看錯誤的做法。將 $x=\infty$ 代入表示式，得到 $\infty ^{3}-\infty ^{2}$ 。請注意，你不能說這兩個無窮大互相抵消，得到答案為零。

現在讓我們看看用*正確*的方法，使用極限來做

\lim _{x\to \infty }x^{3}-x^{2}=\lim _{x\to \infty }x^{2}(x-1)=\infty

最後一個表示式是兩個函式相乘。當 *x* 趨近於無窮大時，這兩個函式都趨近於無窮大，因此它們的積也是無窮大。這意味著*極限*不存在，即當 *x* 越來越大時，函式沒有趨近於任何有限數。

再做一次，讓你真正熟悉它的工作原理。計算

\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}

為了更加清晰，我們將它改寫為

\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}(\sin x)

現在要計算這個極限，我們需要觀察 sin(x) 的性質。Sin(x) 是一個你應該已經熟悉的函式（或者你很快就會熟悉），它的值根據 x 在 1 和 -1 之間振盪。這意味著 sin(x) 的絕對值（不考慮正負號的值）始終小於或等於 1

|\sin x|\leq 1

所以我們有 1/x，我們已經知道它在 x 趨於無窮大時趨於零，乘以 sin(x)，它始終保持有限，無論 x 多大。這給我們

\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}(\sin x)=0

練習

評估以下極限；

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}-4}{2x^{2}+x}}$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-1}{2x^{3}+3}}$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {cosx}{x^{2}}}$
$\lim _{x\to \infty }(2x^{2}-x^{4})$

無窮級數

考慮無窮和 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... 你認為當所有項都被加起來後，這個和會等於無窮大嗎？讓我們把前幾項加起來。

${\begin{matrix}S_{1}&=&{\frac {1}{1}}&=&1\\S_{2}&=&{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}&=&1.5\\S_{3}&=&{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}&=&1.75\\S_{4}&=&{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}&=&1.8750\\\end{matrix}}$

你能猜到 $S_{\infty }$ 是多少嗎？

這裡還有另一種看待它的方式。想象一下，一條數軸上的點隨著求和的進行而移動。在第一項中，這個點跳到位置 1。這是從 0 到 2 的中間位置。在第二階段，這個點跳到位置 1.5 - 從 1 到 2 的中間位置。在過程的每個階段（圖中以不同的顏色顯示），到 2 的距離都減半。這個點可以無限接近點 2。你只需要進行適當數量的跳躍，但這個點在有限數量的步驟內永遠不會真正到達 2。我們說，當 n 趨於無窮大時，S_n 趨於 2。

芝諾悖論

古希臘人對求解無窮級數有很大的問題。哲學家芝諾的著名悖論如下

在阿基里斯和烏龜的悖論中，我們想象希臘英雄阿基里斯與行動緩慢的爬行動物進行賽跑。因為他是如此快的跑步者，所以阿基里斯慷慨地允許烏龜領先一百英尺。如果我們假設每個賽跑者都以某種恆定速度開始跑步（一個非常快，一個非常慢），那麼在經過一段有限的時間後，阿基里斯將跑完一百英尺，到達烏龜的起點。

在這段時間裡，烏龜“跑”了一段（短得多）的距離，比如一英尺。然後阿基里斯需要再花一段時間來跑完這段距離，在此期間，烏龜將進一步前進；然後又是另一段時間才能到達第三個點，而烏龜會繼續向前移動。因此，無論阿基里斯到達過烏龜曾經到過的地方，他仍然有更遠的路要走。因此，芝諾說，速度飛快的阿基里斯永遠無法超越烏龜。

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