高中三角學/定義三角函式

假設你正在建造一個坡道，以便輪椅使用者能夠進入一棟建築。如果坡道必須高 8 英尺，並且坡道的角度必須約為 5 度，那麼坡道必須有多長？

解決這類問題需要三角學。回顧第一課，你瞭解到三角學這個詞來自兩個意思為“三角形”和“測量”的詞。在本課中，我們將定義六個三角函式。對於這些函式中的每一個，域的元素都是角度。我們將透過兩種方式定義這些函式：首先，使用直角三角形，其次，使用旋轉角度。一旦我們定義了這些函式，我們就可以解決像上面提到的那樣的問題。

學習目標

• 找到直角三角形中角度的六個三角函式的值。
• 找到旋轉角度的六個三角函式的值。
• 使用單位圓中的角度。

正弦、餘弦和正切函式

我們將處理的第一個三個三角函式是正弦、餘弦和正切函式。如上所述，這些函式的域的元素是角度。我們可以用直角三角形來定義這些函式：函式的範圍的元素是三角形邊長的特定比率。

我們定義正弦函式如下：對於直角三角形中的一個銳角 *x*，sin *x* 是該角對邊與三角形斜邊的比率。例如，在上面顯示的三角形中，我們有

$\sin(A)={\frac {a}{c}}$

$\sin(B)={\frac {b}{c}}$

由於所有具有相同銳角的直角三角形都是相似的，因此無論使用哪個三角形，該函式都會產生相同的比率。因此，它是一個定義良好的函式。

類似地，一個角的餘弦定義為該角的鄰邊（靠近）與三角形斜邊的比率。在上面的三角形中，我們有

$\cos(A)={\frac {b}{c}}$

$\cos(B)={\frac {a}{c}}$

最後，一個角的正切定義為該角的對邊與鄰邊的比率。在上面的三角形中，我們有

$\tan(A)={\frac {a}{b}}$

$\tan(B)={\frac {b}{a}}$

關於我們編寫這些函式的方式，有一些重要事項需要注意。首先，請記住，縮寫 sin( *x* )、cos( *x* ) 和 tan( *x* ) 與 *f* ( *x* ) 類似。它們簡化了對特定型別函式的表示。其次，請注意你如何發音函式的名稱。當我們寫 sin *x* 時，它仍然發音為“正弦”，長音“i”。當我們寫 cos *x* 時，我們仍然說“餘弦”。當我們寫 tan *x* 時，我們仍然說“正切”。（有時人們會非正式地說“cos”和“tan”，但是，毫不奇怪，“sin”總是發音為“正弦”！）

我們可以使用這些定義來找到直角三角形中角度的正弦、餘弦和正切值。

示例 1 找到角 A 的正弦、餘弦和正切。 解決方案: $\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {4}{5}}$ $\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {3}{5}}$ $\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {4}{3}}$

這些函式能夠幫助我們解決問題的原因之一是，只要角度相同，這些比率始終相同。例如，考慮一個與三角形 *ABC* 相似的三角形。

如果 *CP* 的長度為 3，那麼三角形 *NAP* 的邊 *AP* 為 6。因為 *NAP* 與 *ABC* 相似，所以邊 *NP* 的長度為 8。這意味著斜邊 *AN* 的長度為 10。（我們可以用相似三角形的比例或用勾股定理來證明這一點。）

如果我們使用三角形 *NAP* 來找到角 *A* 的正弦、餘弦和正切，我們將得到

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {8}{10}}={\frac {4}{5}}$

$\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {6}{10}}={\frac {3}{5}}$

$\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {8}{6}}={\frac {4}{3}}$

示例 2 使用三角形ABC和三角形NAP求sin(B). 解決方案: 使用三角形ABC：sin B = ${\tfrac {3}{5}}$ 使用三角形NAP：sin B = ${\tfrac {6}{10}}$ = ${\tfrac {3}{5}}$

正割、餘割和餘切函式

我們還可以根據直角三角形定義另外三個函式。

表 1.9

函式名稱	定義	示例
正割	${\tfrac {\text{hypotenuse}}{\text{adjacent side}}}$	在三角形ABC中，sec A = ${\tfrac {c}{b}}$
餘割	${\tfrac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite side}}}$	在三角形ABC中，csc A = ${\tfrac {c}{a}}$
餘切	${\tfrac {\text{adjacent side}}{\text{opposite side}}}$	在三角形ABC中，cot A = ${\tfrac {b}{a}}$

示例 3 求角度B的正割、餘割和餘切。 解決方案: 首先，我們必須找到斜邊的長度。我們可以使用勾股定理來做到這一點。 52 + 122 = H2 25 + 144 = H2 169 = H2 H = 13 現在我們可以求角度B的正割、餘割和餘切 $\sec(B)={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{adjacent side}}}={\frac {13}{12}}$ $\csc(B)={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite side}}}={\frac {13}{5}}$ $\cot(B)={\frac {\text{adjacent side}}{\text{opposite side}}}={\frac {12}{5}}$

標準位置角的三角函式

上面，我們定義了直角三角形中角度的六個三角函式。我們也可以用旋轉角度來定義相同的函式。考慮一個標準位置的角度，其末端邊與半徑為r的圓相交。我們可以將半徑視為直角三角形的斜邊

點 (x, y) 是角度的末端邊與圓的交點，它告訴我們三角形兩條邊的長度。現在，我們可以用x、y和r來定義三角函式

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}$	$\sec \theta ={\frac {r}{x}}$
$\sin \theta ={\frac {y}{r}}$	$\csc \theta ={\frac {r}{y}}$
$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$	$\cot \theta ={\frac {x}{y}}$

現在我們可以將這些函式擴充套件到非銳角。

例 4 點 (−3, 4) 是標準位置角度末端邊上的一個點。確定該角度的六個三角函式的值。 解決方案: 注意，該角度大於 90 度，且角度的末端邊位於第二象限。這將影響三角函式的符號。 $\cos \theta ={\frac {-3}{5}}$ $\sec \theta ={\frac {5}{-3}}$ $\sin \theta ={\frac {4}{5}}$ $\csc \theta ={\frac {5}{4}}$ $\tan \theta ={\frac {4}{-3}}$ $\cot \theta ={\frac {-3}{4}}$

注意，r的值取決於給定點的座標。你總是可以用勾股定理找到r的值。然而，我們經常檢視半徑為 1 的圓內的角度。正如你接下來將看到的那樣，這樣做可以簡化函式的定義。

單位圓

考慮一個標準位置的角度，使得角度末端邊上的點 (x, y) 是半徑為 1 的圓上的一個點。

這個圓被稱為**單位圓**。r = 1，我們可以在單位圓中定義三角函式

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {x}{1}}=x$	$\sec \theta ={\frac {r}{x}}={\frac {1}{x}}$
$\sin \theta ={\frac {y}{r}}={\frac {y}{1}}=y$	$\csc \theta ={\frac {r}{y}}={\frac {1}{y}}$
$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$	$\cot \theta ={\frac {x}{y}}$

請注意，在單位圓中，角的正弦和餘弦分別是該角終邊上點的 *x* 座標和 *y* 座標。現在，我們可以找到任何旋轉角度的三角函式值，即使是四象限角，它們也不是三角形中的角度。

我們可以使用上面的圖形來確定四象限角的三角函式值。例如，sin(90°) = *y* = 1。

示例 5 使用上面的單位圓查詢每個值 a. cos 90° b. cot 180° c. sec 0° 解決方案: a. cos 90° = 0 該角度的座標對是 (0, 1)。餘弦值是 *x* 座標，即 0。 b. cot 180° 未定義 該角度的座標對是 (-1, 0)。比率 ${\tfrac {x}{y}}$ 是 ${\tfrac {-1}{0}}$，這是未定義的。 c. sec 0° = 1 該角度的座標對是 (1, 0)。比率是 ${\tfrac {1}{x}}$ 是 ${\tfrac {1}{1}}$ = 1。

在單位圓中，有幾個重要的角度，您將在三角學學習中廣泛使用它們：30°、45° 和 60°。要找到這些角度的三角函式值，我們需要知道座標對。讓我們從 30° 開始。

角度的終邊與單位圓相交於點 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}$。（您將在複習練習中證明這一點。）因此，我們可以找到 30° 的任何三角函式值。例如，餘弦值是 *x* 座標，所以 cos (30°) = ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$。由於座標是分數，因此我們需要進行更多操作才能找到正切值

$\tan(30^{\circ })={\frac {y}{x}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$

在複習練習中，您將找到該角度的其餘四個三角函式的值。下表總結了單位圓上 30°、45° 和 60° 的座標對。

表 1.10

角度	*x* 座標	*y* 座標
30°	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$
45°	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$
60°	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$

我們可以使用這些值來找到這些角度的六個三角函式的任何值。

示例 6 查詢每個函式的值。 a. cos (45°) b. sin (60°) c. tan (45°) 解決方案: a. cos (45°) = ${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$ 餘弦值是點的 *x* 座標。 b. sin (60°) = ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$ 正弦值是點的 *y* 座標。 c. tan (45°) = 1 正切值是 *y* 座標與 *x* 座標的比率。由於該角度的 *x* 和 *y* 座標相同，因此正切比率為 1。

課文總結

在本章中，我們定義了六個三角函式。首先，我們定義了直角三角形中角度的函式，然後我們定義了旋轉角度的函式。我們考慮了當角度的終邊與半徑為 *r* 的圓相交時形成的角度，然後我們重點關注單位圓，它的半徑為 1。單位圓將在本章的剩餘部分中被廣泛使用。

思考點

• 勾股定理在三角學中如何有用？
• 三角函式的一些值為什麼可以為負？為什麼有些值是未定義的？
• 即使問題中三角形的斜邊不為 1，為什麼單位圓和定義在其上的三角函式仍然有用？

複習題

1. 找到角度 *A* 的六個三角函式的值。
   
2. 考慮下面的三角形 *VET*。
   

   (a) 找到斜邊的長度。

   (b) 找出角度T的六個三角函式值。

3. 點(3, −4)是標準位置角度θ的終邊上的一個點。

   (a) 確定圓的半徑。

   (b) 確定該角度的六個三角函式值。

   i. 半徑為5。

   ii. 值為

4. 點(−5, −12)是標準位置角度θ的終邊上的一個點。

   (a) 確定圓的半徑。

   (b) 確定該角度的六個三角函式值。

   i. 半徑為13。

   ii. 值為

5. 角度270°的終邊與單位圓交於點(0, −1)。使用這個有序對找出270°的六個三角函式。
6. 在課上你學習到角度30°的終邊與單位圓交於點$\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$。在這裡，你將證明這是真的。
   

   (a) 解釋為什麼三角形ABD是等角三角形。角度DAB的度數是多少？

   (b) BD的長度是多少？你怎麼知道的？

   (c) BC和CD的長度是多少？你怎麼知道的？

   (d) 現在解釋為什麼有序對是$\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$

   (e) 這為什麼告訴你60°的有序對是$\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

7. 在課上你學習到角度45°的終邊是$\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)$。使用下圖和勾股定理來證明這是真的。
   
8. 給出60°的六個三角函式值。
9. 標準位置的角度在哪個象限中會有正切值為正？解釋你的思路。
10. 在單位圓上畫出角度150°。這個角度與30°有什麼關係？你認為有序對是什麼？

複習答案

1. 三角函式
3. 
   

   $\cos A={\frac {12}{15}}={\frac {4}{5}}$	$\sec A={\frac {15}{12}}={\frac {5}{4}}$
   $\sin A={\frac {9}{15}}={\frac {3}{5}}$	$\csc A={\frac {15}{9}}={\frac {5}{3}}$
   $\tan A={\frac {9}{12}}={\frac {3}{4}}$	$\cot A={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}$

4. 斜邊的長度為17。
   

   $\cos T={\frac {8}{17}}$	$\sec T={\frac {17}{8}}$
   $\sin T={\frac {15}{17}}$	$\csc T={\frac {17}{15}}$
   $\tan T={\frac {15}{8}}$	$\cot T={\frac {8}{15}}$

5. 
   

   $\cos \theta ={\frac {3}{5}}$	$\sec \theta ={\frac {5}{3}}$
   $\sin \theta ={\frac {-4}{5}}$	$\csc \theta ={\frac {5}{-4}}$
   $\tan \theta ={\frac {-4}{3}}$	$\cot \theta ={\frac {3}{-4}}$

6. 
   

   $\cos \theta ={\frac {-5}{13}}$	$\sec \theta ={\frac {13}{-5}}$
   $\sin \theta ={\frac {-12}{13}}$	$\csc \theta ={\frac {13}{-12}}$
   $\tan \theta ={\frac {-12}{-5}}={\frac {12}{5}}$	$\cot \theta ={\frac {-5}{-12}}={\frac {5}{12}}$

7. 
   

   $\cos 270^{\circ }=0$	$\sec 270^{\circ }={\text{undefined}}$
   $\sin 270^{\circ }=-1$	$\csc 270^{\circ }={\frac {1}{-1}}=-1$
   $\tan 270^{\circ }={\text{undefined}}$	$\cot 270^{\circ }=0$

8.  

   (a) 由於三個角的度數均為 60 度，因此該三角形是等角三角形。角 DAB 的度數為 60 度，因為它是由兩個 30 度角的和組成的。

   (b) BD 的長度為 1，因為它是一個等角三角形，因此也是等邊三角形的邊。

   (c) BC 和 CD 的長度分別為 ${\tfrac {1}{2}}$，因為它們分別是 BD 的一半。這是因為三角形 ABC 和 ADC 是全等的。

   (d) 我們可以用勾股定理來證明 AC 的長度是 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$。如果我們將角 BAC 作為標準位置的一個角，那麼 AC 和 BC 將對應於角的終邊與單位圓相交處的 x 和 y 座標。因此，有序對為 $\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$.

   (e) 如果我們將 60°角畫在標準位置，我們也會得到一個 30 – 60 – 90 三角形，但邊長會互換。因此 60° 的有序對為 $\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)$.
   

9. $n^{2}+n^{2}=1^{2}\,\!$

   $2n^{2}=1\,\!$

   $n^{2}={\tfrac {1}{2}}$

   $n=\pm {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$

   $n=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$

   $n=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}=\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$

   因為該角在第一象限，所以 x 和 y 座標都是正數。

10. 
    

    $\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}$	$\sec 60^{\circ }={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$
    $\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\csc 60^{\circ }={\frac {1}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
    $\tan 60^{\circ }={\frac {\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {1}{2}}}={\sqrt {3}}$	$\cot 60^{\circ }={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\ {\text{or}}\ {\frac {\sqrt {3}}{3}}$

11. 當正切是兩個正數的比率時，角度位於第一象限。當正切是兩個負數的比率時，角度位於第三象限，並且該比率為正數。
12. 角的終邊是 30° 終邊的反射。從這一點，學生應該看到有序對是 $\left(-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$.
    

詞彙

鄰邊

與角相鄰的邊是靠近角的邊。在直角三角形中，它是靠近角的直角邊。

斜邊

斜邊是直角三角形中最長的邊，與直角相對。

直角邊

直角三角形的直角邊是兩條較短的邊。

勾股定理

勾股定理陳述了直角三角形各邊之間的關係：直角邊 1² + 直角邊 2² = 斜邊²

半徑

圓的半徑是從圓心到圓邊的距離。半徑定義了圓。

單位圓

單位圓是半徑為 1 且圓心為 (0, 0) 的圓。單位圓的方程為 x² + y² = 1

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