高中三角學/測量旋轉

在本課中，您將學習關於旋轉角，它們存在於許多不同的現實現象中。例如，考慮一個使用轉盤玩的遊戲。當你旋轉轉盤時，它轉了多少？

您可以用多種方式回答這個問題。您可以說類似“轉盤轉了三圈”。這意味著轉盤做了三個完整的旋轉，然後回到了它開始的位置。

我們也可以用度數來測量旋轉。在上一課中，我們處理了三角形中的角度，用度數來測量。您可能還記得幾何學中，一個完整的旋轉是 360 度，通常寫成 360°。那麼，半旋轉是 180°，四分之一旋轉是 90°。這些測量結果在這節課以及本章的其餘部分將非常重要。

學習目標

確定一個角是銳角、直角、鈍角還是平角。
用度、分和秒錶示角度的度數。
用十進位制度表示角度的度數。
識別和繪製標準位置的旋轉角。
識別象限角。
識別終邊相同的角。

銳角、直角、鈍角和平角

一般來說，角度按大小分類。下表總結了這些類別，您可能在上一課中已經熟悉。

表 1.8
名稱	描述
銳角	度數小於 90 度的角。
直角	度數正好為 90 度的角。
鈍角	度數大於 90 度，但小於 180 度的角。
平角	度數正好為 180 度的角。

您應該確保能夠直觀地確定一個角屬於哪個類別。

示例 1

確定該角是銳角、直角、鈍角還是平角。

a.

b.

c.

解決方案:

a. 此角是銳角。

如果難以直觀地對角度進行分類，您可以將其與直角進行比較。這樣做將有助於您看到該角度小於直角。

b. 此角是鈍角。

同樣，如果需要，您可以將該角度與直角進行比較。

c. 此角是直角。

需要注意的是，直角通常用一個小方塊標記。

還需要注意的是，您可以使用量角器來確定一個角的度數。當然，這種測量結果只是一個近似值，因為沒有量角器是完美的，測量的人也無法完美地對準量角器或保持其穩定。

示例 2

使用量角器來測量示例 1a 中的角。

解決方案:

該角度約為 50°。

在處理用度數測量的角度時，我們經常使用小數來表示答案，例如 78.5°。但是，在某些情況下，角度是用分數來測量的。

測量角度

示例 3

兩個輪子直接接觸。一個輪子的半徑為 0.5 米，另一個輪子的半徑為 1 米。較小的輪子旋轉了四圈。較大的輪子旋轉了多少圈？較大的輪子旋轉了多少度？

解決方案:

每次小輪子旋轉一次，它的整個周長都會沿著大輪子移動，C = 2π(.5)。由於大輪子的周長是 2π(1)，所以大輪子旋轉了半圈。因此，如果小輪子旋轉了 4 圈，即 360 · 4 = 1440°，那麼大輪子旋轉了 2 圈，即 360 · 2 = 720°。

我們可以用與測量時間相同的方式來測量角度。一分是 ${\tfrac {1}{60}}$ 度。一秒是 ${\tfrac {1}{60}}$ 分，因此它也是 ${\tfrac {1}{360}}$ 度。例如，48°20′45″ 是我們用來表示 48 度、2 分和 45 秒的方式。我們可以用分數記法以及小數記法來表示這個角度

48^{\circ }20'45''=48+{\frac {20}{60}}+{\frac {45}{360}}=48+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}=48{\frac {11}{24}}=48.458{\overline {3}}\approx 48.4583^{\circ }

我們也可以用度、分和秒來表示十進位制度。例如，我們可以重新寫 125.88°，如果我們將小數部分寫成分數

0.88={\frac {88}{100}}={\frac {x}{60}}

現在解出 x

${\frac {88}{100}}=$	${\frac {x}{60}}$
${\frac {44}{50}}=$	${\frac {x}{60}}$
$44\times 60=\,\!$	$50x\,\!$
$2640=\,\!$	$50x\,\!$
$x=\,\!$	$52.8\,\!$

現在我們有 125.88° = 125°52.8′。我們需要將 0.8 分鐘轉換為秒。

${\frac {0.8}{60}}=$	${\frac {s}{360}}$
$0.8\cdot 360=$	$60x\,\!$
$288=\,\!$	$60s\,\!$
$s=\,\!$	${\frac {288}{60}}$
$s=\,\!$	$4.8\,\!$

所以 125.88° = 125°52′4.8″。

注意，角度 125.88° 是一個鈍角。它的度數小於 180°。大於 180° 的角度看起來像什麼？大於 360° 呢？

接下來，您將學習一種特定的角度表示方法，使您可以表示 180°、360° 或任何其他角度。

標準位置的旋轉角度

我們可以利用我們對繪圖的瞭解來表示任何角度。下圖顯示了一個處於所謂的標準位置的角度。

標準位置的角度的初始邊始終位於正的x軸上。終邊始終與初始邊在原點處相遇。注意，旋轉方向為逆時針。這意味著如果我們順時針旋轉，我們將產生一個負角度。以下是標準位置中幾個角度的示例。

90 度角是四個象限角之一。象限角是指其終邊位於軸上的角。除了 90° 之外，0°、180° 和 270° 也是象限角。

這些角度被稱為象限角，因為每個角度都定義了一個象限。注意，如果沒有箭頭指示旋轉，270° 看起來就像 90°，定義了第四象限。另外注意，360° 看起來就像 0°。區別在於旋轉的動作。這個兩個角度實際上是同一個角度的想法將在下一節討論。

同界角

考慮標準位置中的 30° 角。

現在考慮 390° 角。我們可以將這個角度看作是完整的旋轉 (360°)，再加上額外的 30 度。

注意，390° 看起來與 30° 相同。形式上，我們說這些角度共享相同的終邊。因此，我們稱這些角度為同界角。不僅這兩個角度是同界角，而且還有無數個與這兩個角度同界角的角度。例如，如果我們再旋轉 360°，我們就會得到 750° 角。或者，如果我們在負方向 (順時針) 產生角度，我們就會得到 −330 角。因為我們可以在任一方向旋轉，並且可以旋轉任意多次，所以我們可以不斷地產生與 30° 同界角的角度。

示例 3

哪些角度與 45° 同界角？

a. -45°

b. 405°

c. -315°

d. 135°

解決方案:

b. 405° 和 c. -315° 與 45° 同界角。

注意，第一個角度 −45° 的終邊在第四象限。最後一個角度 135° 在第二象限。因此，這兩個角度都不與 45° 同界角。

現在考慮 405°。這是一個完整的旋轉，再加上額外的 45 度。因此，這個角度與 45° 同界角。−315° 角可以透過順時針旋轉產生。為了確定終邊的位置，使用象限角作為標記可能會有所幫助。例如，如果您順時針旋轉 90 度 3 次 (總共 270 度)，則該角度的終邊位於正的y軸上。對於總的順時針旋轉 315 度，我們還需要旋轉 315 − 270 = 45 度。這使得該角度的終邊與 45° 相同。

課程總結

在本課程中，我們根據角度的大小對角度進行了分類，並且擴充套件了我們對角度的瞭解，使其包含旋轉角度。我們定義了角度處於標準位置的含義，並觀察了標準位置中的角度，包括象限角。我們還定義了同界角的概念。本課程中的所有概念都將在下一節中使用，以定義本章的重點內容——三角函式。

需要考慮的點

一個角度如何與另一個角度看起來完全相同？
您在現實生活中在哪裡可能看到旋轉角度？

複習問題

確定該角是銳角、直角、鈍角還是平角。
(a)

(b)
估計該角度的度數。解釋您的估計方法。
將每個角度的度數、分和秒重寫。
(a) 85.5°

(b) 12.15°

(c) 114.96°
將每個角度的度數重寫為小數形式。
(a) 54°10'25"

(b) 17°40'5"
確定在給定時間鐘錶指標之間的夾角大小。
(a) 6:00

(b) 3:00

(c) 1:00
從凌晨 12:00 到凌晨 1:00，鐘錶的分鐘指標旋轉了多少角度？
一輛汽車在賽道上行駛，經過了一個 90 度的圓形彎道。汽車輪子的直徑為 0.6 米，兩個輪子之間的距離為 2 米。汽車行駛的彎道半徑為 100 米，以最靠近賽道的一側的輪子測量。汽車外側輪子旋轉的圈數與內側輪子旋轉的圈數相差多少？
說明一個與 90° 終邊相同的角的度數。
說出兩個與 120° 終邊相同的角。
(a) 一個負角。

(b) 一個大於 360° 的角。
一輛賽車在賽道上經過了一個 180 度的圓形彎道，彎道半徑為 120 米。賽車的前後輪直徑不同。前輪直徑為 0.6 米，後輪直徑更大，為 1.8 米。前後輪軸長為 2 米。哪一個輪子在經過彎道時旋轉的圈數更多？這個輪子比旋轉圈數最少的輪子多旋轉了多少度？