高中三角函式/三角函式之間的關係

在之前的課程中，我們分別定義了六個三角函式，並對它們進行了研究。在本課程中，我們將探討這些函式之間的關係。特別是，我們將推匯出幾個包含三角函式的恆等式。恆等式是一個對所有變數值都成立的等式，只要所涉及的表示式或函式是定義的。例如，x + x = 2x是一個恆等式。在本課程中，我們將推匯出幾個包含三角函式的恆等式。由於這些恆等式，同一個函式可以具有非常多種不同的代數表示。這些恆等式將使我們能夠將三角函式的定義域和值域聯絡起來，並且這些恆等式將在後續章節解決問題時發揮作用。

學習目標

說出三角函式之間的倒數關係，並利用這些恆等式求三角函式的值。
說出三角函式之間的商關係，並利用商恆等式求三角函式的值。
說出每個三角函式的定義域和值域。
說出已知角度所在的象限，三角函式的符號。
說出畢達哥拉斯恆等式，並利用這些恆等式求三角函式的值。

倒數恆等式

我們將建立的第一組恆等式是倒數恆等式。分數 ${\tfrac {a}{b}}$ 的倒數是分數 ${\tfrac {b}{a}}$ 。也就是說，我們透過交換分子和分母或翻轉分數來求分數的倒數。六個三角函式可以成對分組為倒數。

首先，考慮旋轉角度的正弦函式定義：sin θ = ${\tfrac {y}{r}}$ 。現在考慮餘割函式：csc θ = ${\tfrac {r}{y}}$ 。在單位圓中，這些值是 sin θ = ${\tfrac {y}{1}}$ = y 和 csc θ = ${\tfrac {1}{y}}$ 。根據定義，這兩個函式是倒數。因此，角度的正弦值始終是餘割值的倒數，反之亦然。例如，如果 sin θ = ${\tfrac {1}{2}}$ ，那麼 csc θ = ${\tfrac {2}{1}}$ = 2。

類似地，餘弦函式和正割函式是倒數，正切函式和餘切函式是倒數

\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}\ \ {\text{or}}\ \cos \theta ={\frac {1}{\sec \theta }}

\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}\ \ {\text{or}}\ \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}

我們可以利用這些倒數關係求三角函式的值。從畢達哥拉斯定理 1 = sin² x + cos² x 得出的基本恆等式可以有許多新的形式。

示例 1

利用倒數恆等式求出每個表示式的值。

a. cos θ = .3, sec θ = ?

b. cot θ = ${\tfrac {4}{3}}$ , cot θ = ?

解法:

a. sec θ = ${\tfrac {10}{3}}$

這些函式互為倒數，所以如果 cos θ = .3，那麼 sec θ = ${\tfrac {1}{.3}}$ 。如果我們將值表示為分數，則更容易找到倒數：cos θ = .3 = ${\tfrac {3}{10}}$ → sec θ = ${\tfrac {10}{3}}$ 。

b. tan θ = ${\tfrac {3}{4}}$

這些函式互為倒數， ${\tfrac {4}{3}}$ 的倒數是 ${\tfrac {3}{4}}$ 。

我們還可以使用倒數關係來確定函式的定義域和值域。

函式的定義域、值域和符號

雖然三角函式可能看起來與您之前接觸過的其他函式大不相同，但實際上它們與任何其他函式一樣。我們可以從“輸入”和“輸出”的角度來考慮一個三角函式。輸入始終是一個角度。輸出是三角形邊長的比值。如果您以這種方式考慮三角函式，您可以定義每個函式的定義域和值域。

首先讓我們考慮正弦函式和餘弦函式。這兩個函式的輸入始終是一個角度，正如您在上一章中瞭解到的那樣，這些角度可以取任何實數值。因此，正弦函式和餘弦函式具有相同的定義域，即所有實數的集合，R。如果我們考慮正弦角度是角度終邊與單位圓交點處的y座標這一事實，我們可以確定函式的值域。餘弦是該點的x座標。現在回想起在單位圓中，我們根據斜邊長度為 1 的三角形定義了三角函式。

在這個直角三角形中，x 和 y 是三角形兩條邊的長度，其長度必須小於斜邊的長度 1。因此，正弦函式和餘弦函式的值域不包括大於 1 的值。但是，值域確實包含負值。任何終邊位於第三象限或第四象限的角度的y座標為負，任何終邊位於第二象限或第三象限的角度的x座標為負。

無論哪種情況，最小值為 −1。例如，cos(180°) = −1 且 sin(270°) = −1。因此，正弦函式和餘弦函式的值域均為 −1 到 1。

下表總結了這些函式的定義域和值域

表 1.12
	定義域	值域
正弦	θϵ°	−1 ≤ sin θ ≤ 1
餘弦	θϵ°	−1 ≤ cos θ ≤ 1

瞭解餘弦函式和正弦函式的定義域和值域可以幫助我們確定正割函式和餘割函式的定義域和值域。首先考慮正弦函式和餘割函式，如上所述，它們互為倒數。只要正弦值不為 0，餘割函式就定義。因此，餘割函式的定義域排除了所有正弦值為 0 的角度，即 0°、180°、360° 等。

在第 2 章中，您將分析這些函式的圖形，這將幫助您瞭解為什麼倒數關係會導致餘割函式的特定值域。這裡我們將說明這個值域，並在複習問題中，您將探索正弦函式和餘割函式的值，以便開始驗證這個值域，以及正割函式的定義域和值域。

表 1.13
	定義域	值域
餘割	θϵ°，θ ≠ 0, 180, 360…	csc θ ≤ −1 或 csc θ ≥ 1
正割	θϵ°，θ ≠ 90, 270, 450…	sec θ ≤ −1 或 sec θ ≥ 1

現在讓我們考慮正切函式和餘切函式。正切函式定義為 $\tan \theta ={\tfrac {y}{x}}$ 。因此，該函式的定義域排除了所有有序對的x座標為 0 的角度：90°、270° 等。餘切函式定義為 $\cot \theta ={\tfrac {x}{y}}$ ，因此該函式的定義域將排除了所有有序對的y座標為 0 的角度：0°、180°、360° 等。正如您將在第 3 章學習這些函式的圖形時瞭解到的那樣，值域沒有限制。

表 1.14
函式	定義域	值域
正切	θϵ°，θ ≠ 90, 270, 450…	$\infty \,\!$
餘切	θϵ°，θ ≠ 0, 180, 360…	$\infty \,\!$

瞭解這些函式的取值範圍可以讓你在確定角度的三角函式值時，知道應該期待的值。但是，對於許多問題，你需要確定角度函式的符號：是正還是負？

在確定上面正弦和餘弦函式的取值範圍時，我們開始根據角度所在的象限對這些函式的符號進行分類。下圖總結了所有 4 個象限內角度的符號。

例 2

說明每個表示式的符號。

a. cos(100°)

b. csc(220°)

c. tan(370°)

解法:

a. 100° 角位於第二象限。因此，x 座標為負，所以 cos(100°) 為負。

b. 220° 角位於第三象限。因此，y 座標為負。因此正弦和餘割都是負的。

c. 370° 角位於第一象限。因此，正切值為正。

到目前為止，我們已經考慮了函式對之間的關係：六個三角函式可以成對作為倒數分組。現在我們將考慮三個三角函式之間的關係。

商恆等式

三角函式的定義導致了我們上面提到的倒數恆等式。它們也導致了另一組恆等式，商恆等式。

首先考慮正弦、餘弦和正切函式。對於旋轉角度（不一定是單位圓內），這些函式定義如下：

\sin \theta ={\frac {y}{r}}

\cos \theta ={\frac {x}{r}}

\tan \theta ={\frac {y}{x}}

根據這些定義，我們可以證明 tan θ = ${\tfrac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ ，只要 cos θ ≠ 0

{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\frac {y}{r}}{\frac {x}{r}}}={\frac {y}{r}}\cdot {\frac {r}{x}}={\frac {y}{x}}=\tan \theta

因此，方程 tan θ = ${\tfrac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ 是一個恆等式，我們可以使用它來找到正切函式的值，前提是已知正弦和餘弦的值。

例 3

如果 cos θ = ${\tfrac {5}{13}}$ 且 sin θ = ${\tfrac {12}{13}}$ ，tan θ 的值為多少？

解法:

$\tan \theta ={\tfrac {12}{5}}$

\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\frac {12}{13}}{\frac {5}{13}}}={\frac {12}{13}}\cdot {\frac {13}{5}}={\frac {12}{5}}

例 4

證明 cot θ = ${\tfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

解法:

${\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\frac {x}{r}}{\frac {y}{r}}}={\frac {x}{r}}\cdot {\frac {r}{y}}={\frac {x}{y}}=\cot \theta$

這個恆等式也可以用來求餘切函式的值，前提是已知正弦和餘弦的值。這兩個商恆等式在第三章中也很有用，你會在其中證明其他恆等式。

畢達哥拉斯恆等式

在本節中，我們將考察的最後一組恆等式被稱為畢達哥拉斯恆等式，因為它們依賴於畢達哥拉斯定理。在之前的課程中，我們使用畢達哥拉斯定理來求直角三角形的邊長。再次考慮我們在第四課中定義三角函式的方式。讓我們看一下單位圓。

直角三角形的兩條直角邊分別是x和y。斜邊為1。因此，對於單位圓上的所有x和y，以下等式都成立。

x^{2}+y^{2}=1\,\!

現在記住，在單位圓上，cos θ = x，sin θ = y。因此，以下等式是一個恆等式。

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\,\!

注意：在 cos 和 sin 後面寫指數 2 是寫指數的標準方法。只要記住 cos² θ 表示 (cos θ)²，sin² θ 表示 (sin θ)²。

我們可以使用這個恆等式來求正弦函式的值，前提是已知餘弦函式的值，反之亦然。我們也可以用它來求其他恆等式。

例 5

如果 cos θ = ${\tfrac {1}{4}}$ ，sin θ 的值是多少？假設 θ 是第一象限角。

解法:

$\sin \theta ={\frac {\sqrt {15}}{4}}$

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1\,\!$
$\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\sin ^{2}\theta =$	$1\,\!$
${\frac {1}{16}}+\sin ^{2}\theta =$	$1\,\!$
$\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1-{\frac {1}{16}}$
$\sin ^{2}\theta =\,\!$	${\frac {16}{16}}-{\frac {1}{16}}$
$\sin ^{2}\theta =\,\!$	${\frac {15}{16}}$
$\sin \theta =\,\!$	$\pm {\sqrt {\frac {15}{16}}}$
$\sin \theta =\,\!$	$\pm {\frac {\sqrt {15}}{4}}$

請記住，已知θ是第一象限角。因此，正弦值是正數，所以 sin θ = ${\tfrac {\sqrt {15}}{4}}$ .

例 6

使用恆等式 cos² θ + sin² θ = 1 來證明 cot² θ + 1 = csc² θ.

解法:

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1\,\!$	將等式的兩邊除以 sin² θ.
${\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$
${\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}=1$
${\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+1=$	${\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$
${\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\cdot {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+1=$	${\frac {1}{\sin \theta }}\cdot {\frac {1}{\sin \theta }}$	將平方函式寫成因子的形式。
$\cot \theta \cdot \cot \theta +1=\,\!$	$\csc \theta \cdot \csc \theta \,\!$	使用商數恆等式和倒數恆等式。
$\cot ^{2}\theta +1=\,\!$	$\csc ^{2}\theta \,\!$	將函式寫成平方函式。

課時總結

在本課中，我們研究了三角函式之間和彼此之間的關係。倒數恆等式告訴我們成對的互為倒數的三角函式之間的關係。商恆等式告訴我們三個函式之間的關係：正切函式是正弦函式和餘弦函式的商，餘切函式是該商的倒數。勾股恆等式依賴於勾股定理，也告訴我們三個函式之間的關係。每個恆等式都可以用來求解三角函式的值，以及用來證明其他恆等式，這將是第 3 章的重點。我們還可以使用恆等式來確定函式的定義域和值域，這將有助於第 2 章，我們將在其中繪製六個三角函式的圖形。

需要考慮的點

你怎麼知道一個方程是否是一個恆等式？[提示：你可以考慮使用計算器並繪製相關函式的圖形，或者你可以嘗試用數學方法證明它。]
如何驗證函式的定義域或值域？

複習題

使用倒數恆等式給出每個表示式的值。
(a) sec θ = 4, cos θ = ?

(b) sin θ = ${\tfrac {1}{3}}$ , csc θ = ?
在本課中，餘割函式的值域被給出為：csc θ ≤ −1 或 csc θ ≥ 1。
(a) 使用計算器填寫下面的表格。將值四捨五入到小數點後四位。

(b) 使用表格中的值，用你自己的語言解釋當角度的度數接近 0 度時，餘割函式的值會發生什麼。

(c) 解釋這說明了關於餘割函式值域的什麼。

(d) 討論如何進一步探索正弦和餘割的值，以更好地理解餘割函式的值域。

表 1.15
角度 sin csc
10°
5°
1°
0.5°
0.1°
0°
−0.1°
−0.5°
−1°
−5°
−10°
在本課中，正割函式的定義域被給出為：θϵ°，θ ≠ 90, 270, 450… 解釋為什麼某些值被排除在定義域之外。
說明每個角所在的象限，並說明每個表示式的符號。
(a) sin(80°)

(b) cos(200°)

(c) cot(325°)

(d) tan(110°)
如果 cos θ = ${\tfrac {6}{10}}$ 並且 sin θ = ${\tfrac {8}{10}}$ ，tan θ 的值為多少？
使用商恆等式解釋為什麼正切和餘切函式在第三象限中具有正值。
如果 sin θ = 0.4，cos θ 的值為多少？假設 θ 是第一象限角。
如果 cot θ = 2，csc θ 的值為多少？假設 θ 是第一象限角。
證明 1 + tan² θ = sec² θ。
解釋為什麼對於像問題 #7 這樣的問題，需要說明角所在的象限。

複習答案

(a) ${\tfrac {1}{4}}$

(b) ${\tfrac {3}{1}}$ = 3

(a)

表 1.15
角度	sin	csc
10°	0.1737	5.759
5°	0.0872	11.4737
1°	0.0175	57.2987
0.5°	0.0087	114.5930
0.1°	0.0018	572.9581
0°	0	未定義
−0.1°	−0.0018	−572.9581
−0.5°	−0.0087	−114.5930
−1°	−0.0175	−57.2987
−5°	−0.0872	−11.4737
−10°	−0.1737	−5.759

(b) 當角度越來越小時，餘割值越來越大。

(c) 餘割函式的值域沒有最大值，就像正弦函式一樣。值越來越大。

(d) 答案會有所不同。例如，如果我們觀察接近 90 度的值，我們會看到餘割值越來越小，接近 1。

值 90, 270, 450 等被排除在外，因為它們使函式未定義。
(a) 第一象限；正

(b) 第三象限；負

(c) 第四象限；負

(d) 第二象限；負
${\tfrac {8}{6}}$ = ${\tfrac {4}{3}}$
正弦和餘弦的比率在第三象限中將為正，因為正弦和餘弦在第三象限中均為負。
cos θ ≈ 0.92
csc θ = √5

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1\,\!$
${\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$
$1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$
$1+\tan ^{2}\theta =\,\!$	$\sec ^{2}\theta \,\!$