直觀三角學/弧度和弧長

弧度和弧長

尋找弧長公式

首先，讓我們檢查弧長公式。想象一個弧，然後延伸它的兩端。最終，你將得到一個圓（參見圖 1）。我們知道圓的周長是 $2\pi r$，我們可以將其想象為一個完整圓的周長。因此，每個弧長都必須等於或小於 $2\pi r$ 的一部分。

接下來，想象一個圓，其中有一個角開啟到圓的一部分（參見圖 2）。隨著角度的變化，弧長顯然也會發生變化。事實上，如果角度是 $360^{\circ }$，很容易看出弧長必須是 $2\pi r$。利用這一點，我們可以看到，要找到任何弧的長度，我們只需將圓的周長（一個“完整的”弧），$2\pi r$ 乘以角度測量值除以 $360^{\circ }$，得到公式 $\ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\frac {\theta }{360^{\circ }}}\right)$。

圖 1：圓可以看作一個“完整的”弧。

圖 2：給定一個角 $\theta$，它在一個半徑為 $r$ 的圓上跨越一個弧，你可以確定弧的長度。

弧度的定義

為了推匯出弧度和角度之間的轉換率，我們必須知道弧度到底是什麼。弧度的定義是

角度的單位，等於圓心角，其弧長等於半徑。

推導弧度和角度之間的轉換率

可以使用我們剛剛推匯出的弧長公式推匯出關係 $2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }$。取弧長公式，即 $\ell _{arc}=2\pi r\left({\frac {\theta }{360^{\circ }}}\right)$。假設一個單位圓，因此半徑為 1。已知弧度的定義是：一個角的度量，它所擷取的弧的長度等於圓的半徑，所以我們知道 $1=2\pi \left({\frac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)$。我們可以進一步簡化為 $1={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}$。現在我們可以將兩邊乘以 $360^{\circ }$ 以得到 $360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}$。

弧度和角度之間的轉換示例

假設我們給出了度數 $30^{\circ }$，並要求將其轉換為弧度。我們知道 $2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }$，因此我們可以設定一個比例：${\frac {x{\text{ rad}}}{30^{\circ }}}={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}$。然後我們可以交叉相乘，得到 $360^{\circ }\times x=2\pi {\text{ rad}}\times 30^{\circ }$。將兩邊除以 $360^{\circ }$，首先要注意度數符號抵消，所以我們剩下 $x={\frac {60\pi {\text{ rad}}}{360}}$，它簡化為 $x={\frac {\pi }{6}}{\text{ rad}}$。問題已解決（注意習慣上將其保留為分數形式，因為這樣更精確）。

問題

所有解答見附錄1。

1. 求與$10^{\circ }$ 角相關的圓弧的長度，已知該圓弧所在的圓的半徑為 $2$。
2. 將${\frac {\pi }{2}}{\text{ rad}}$ 轉換為角度。
3. 將$45^{\circ }$ 轉換為弧度。
4. 求與半徑為$4$ 的圓上長度為 $5$ 的圓弧所對應的角的度數。