運動學/二維座標系

座標系

有多種方法可以為系統分配座標。選擇哪一種取決於系統內發生的事情。

固定直角座標系

在這個座標系中，向量表示為從非旋轉原點開始的x方向和y方向上向量的加和。通常${\vec {i}}\,\!$是x方向上的單位向量，而${\vec {j}}\,\!$是y方向上的單位向量。

位置向量，${\vec {s}}\,\!$（或${\vec {r}}\,\!$），速度向量，${\vec {v}}\,\!$，以及加速度向量，${\vec {a}}\,\!$，使用以下方式表示的直角座標系：

${\vec {s}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}$

${\vec {v}}={\dot {s}}={\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}}$

${\vec {a}}={\ddot {s}}={\ddot {x}}{\vec {i}}+{\ddot {y}}{\vec {j}}$

注意：${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$，${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

旋轉座標

與相對於固定且不旋轉的原點測量的直角座標不同，這些座標的原點可以旋轉和平移 - 通常跟隨正在研究的物體上的粒子。

此座標系基於三個正交單位向量：向量${\vec {i}}$ 和向量 ${\vec {j}}$，它們構成我們正在考慮的物體所在的平面的基，以及${\vec {k}}$，關於它旋轉發生。

單位向量的導數

可以使用這些座標系來表示給定點的位移、速度和加速度向量，但我們必須比使用固定參考系時更小心一點。由於參考系正在旋轉，因此在對這些向量中的任何一個求導時，我們必須考慮單位向量的導數。如果座標系以${\vec {\omega }}\,\!$ 的速率在逆時針方向旋轉（即使用右手定則為$\omega {\vec {k}}$），那麼單位向量的導數如下

${\dot {\vec {i}}}=\omega {\vec {k}}\times {\vec {i}}=\omega {\vec {j}}$

${\dot {\vec {j}}}=\omega {\vec {k}}\times {\vec {j}}=-\omega {\vec {i}}$

位置、速度和加速度

有了這些恆等式，我們現在可以弄清楚如何使用此座標系來表示粒子的位置、速度和加速度向量。

位置

位置很簡單

${\vec {s}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}$

它只是從原點到每個單位向量方向的距離。

速度

速度是位置的時間導數

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d(x{\vec {i}})}{dt}}+{\frac {d(y{\vec {j}})}{dt}}$

根據鏈式法則，這是

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {i}}+x{\dot {\vec {i}}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+y{\dot {\vec {j}}}$

從上面的恆等式中，我們知道

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {i}}+x\omega {\vec {j}}+{\dot {y}}{\vec {j}}-y\omega {\vec {i}}=({\dot {x}}-y\omega ){\vec {i}}+({\dot {y}}+x\omega ){\vec {j}}$

或者等效地

${\vec {v}}=({\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}})+(y{\dot {\vec {j}}}+x{\dot {\vec {i}}})={\vec {v}}_{rel}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

其中 ${\vec {v}}_{rel}$ 是粒子相對於座標系的相對速度。

加速度

加速度是速度對時間的導數。

我們知道

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}_{rel}}{dt}}+{\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}$

考慮 ${\frac {d{\vec {v}}_{rel}}{dt}}$ 部分。 ${\vec {v}}_{rel}$ 有兩個部分，我們想找到其導數：相對速度變化 (${\vec {a}}_{rel}$)，以及座標系的變化 ($\omega \times {\vec {v}}_{rel}$).

${\frac {d{\vec {v}}_{rel}}{dt}}={\vec {a}}_{rel}+\omega \times {\vec {v}}_{rel}$

接下來，考慮${\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}$。使用鏈式法則

${\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {r}}}$

${\dot {\vec {r}}}$ 我們從上面知道

${\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$

因此，總的來說

${\vec {a}}={\vec {a}}_{rel}+\omega \times {\vec {v}}_{rel}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$

收集術語

${\vec {a}}={\vec {a}}_{rel}+2(\omega \times {\vec {v}}_{rel})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$