微積分/鏈式法則

鏈式法則是一種用於計算兩個或多個函式的函式組合的導數的方法。

如果一個函式 $f$ 依賴於一個變數 $u$ ，而該變數又依賴於另一個變數 $x$ ，也就是說 $f=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那麼 $f$ 相對於 $x$ 的變化率可以計算為 $y$ 相對於 $u$ 的變化率乘以 $u$ 相對於 $x$ 的變化率。

鏈式法則 如果一個函式 $f$ 由兩個可微函式 $y(x)$ 和 $u(x)$ 組成，使得 $f(x)=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那麼 $f(x)$ 是可微的，並且， ${\frac {df}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

這種方法被稱為“鏈式法則”，因為它可以依次應用於巢狀在彼此之內的任意多個函式。 例如，如果 $f$ 是 $g$ 的函式，而 $g$ 又 是 $h$ 的函式，而 $h$ 又 是 $x$ 的函式，即

$f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}$

$f$ 關於 $x$ 的導數由下式給出

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$ 等等。

一個有用的記憶技巧是將微分看作單獨的實體，可以代數地取消，例如

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{\cancel {dg}}}\cdot {\frac {\cancel {dg}}{\cancel {dh}}}\cdot {\frac {\cancel {dh}}{dx}}$

但是，請記住，這種技巧是透過巧妙的符號選擇而不是實際的代數抵消而產生的。

鏈式法則在物理學、化學和工程學中有著廣泛的應用，以及用於研究許多學科中的相關速率。鏈式法則還可以推廣到多個變數的情況，其中巢狀函式依賴於多個變數。

例子

示例一

假設一名登山者以$0.5{\frac {km}{h}}$ 的速度攀登。 海拔越高，氣溫越低；假設氣溫下降的速率為 $6^{\circ }C$ 每公里。 為了計算登山者每小時感受到的氣溫下降量，將 ${\frac {6^{\circ }C}{km}}$ 乘以 $0.5{\frac {km}{h}}$，得到 ${\frac {3^{\circ }C}{h}}$。 這個計算是典型的鏈式法則應用。

示例 II

考慮函式 $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$。 由鏈式法則可知

$f(x)=(x^{2}+1)^{3}$	待求導函式
$u(x)=x^{2}+1$	將 $u(x)$ 定義為內部函式
$f(x)=u(x)^{3}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表達此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{3}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2}+1)$	將 $f(u)$ 和 $u(x)$ 代入。
${\frac {df}{dx}}=3u^{2}\cdot 2x$	使用冪法則計算導數
${\frac {df}{dx}}=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x$	將 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回。
${\frac {df}{dx}}=6x(x^{2}+1)^{2}$	化簡。

示例 III

為了對三角函式進行求導

$f(x)=\sin(x^{2})$

可以寫成

$f(x)=\sin(x^{2})$	待求導函式
$u(x)=x^{2}$	將 $u(x)$ 定義為內部函式
$f(x)=\sin(u)$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表達此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}\sin(u)\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	將 $f(u)$ 和 $u(x)$ 代入。
${\frac {df}{dx}}=\cos(u)\cdot 2x$	計算導數
${\frac {df}{dx}}=\cos(x^{2})\cdot 2x$	將 $u$ 用 $x$ 表示代回。

示例 IV：絕對值

鏈式法則可用於微分$|x|$，即絕對值函式

$f(x)=|x|$	待求導函式
$f(x)={\sqrt {x^{2}}}$	等效函式
$u(x)=x^{2}$	將 $u(x)$ 定義為內部函式
$f(x)=u(x)^{\frac {1}{2}}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表達此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	將 $f(u)$ 和 $u(x)$ 代入。
${\frac {df}{dx}}={\frac {u^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	使用冪法則計算導數
${\frac {df}{dx}}={\frac {(x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	將 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回。
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}$	簡化
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{|x|}}$	將${\sqrt {x^{2}}}$表示為絕對值。

示例 V：三個巢狀函式

該方法被稱為“鏈式法則”，因為它可以依次應用於任意多個相互巢狀的函式。例如，如果$f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}=e^{\sin(x^{2})}$，則鏈式法則的連續應用可以得出如下導數（我們利用了${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$這一事實，將在下一節中證明）

$f(x)=e^{\sin(x^{2})}=e^{g}$	原始（最外層）函式
$h(x)=x^{2}$	定義 $h(x)$ 為最內層函式
$g(x)=\sin(h)=\sin(x^{2})$	$g(h)=sin(h)$ 作為中間函式
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$	表達此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dg}}=e^{g}=e^{\sin(x^{2})}$	求 f(g) 的導數
${\frac {dg}{dh}}=\cos(h)=\cos(x^{2})$	求 $g(h)$ 的導數
${\frac {dh}{dx}}=2x$	求 $h(x)$ 的導數
${\frac {d}{dx}}e^{\sin(x^{2})}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x$	代入鏈式法則。

鏈式法則在物理學中的應用

由於一個物理量通常依賴於另一個物理量，而另一個物理量又依賴於其他物理量，因此鏈式法則在物理學中具有廣泛的應用。本節將介紹鏈式法則在運動學和簡諧運動中的應用例項。鏈式法則在電磁感應中也很有用。

物理學示例 I：兩輛車的相對運動學

一輛車朝北行駛，當前位於 $(0,3)$ ；另一輛車朝西行駛，當前位於 $(4,0)$ 。可以使用鏈式法則來確定它們是越來越近還是越來越遠。

例如，可以考慮這樣的運動學問題：一輛車以 80 英里/小時的速度向西行駛到一個十字路口，而另一輛車以 60 英里/小時的速度向北行駛離開十字路口。可以詢問這兩輛車是越來越近還是越來越遠，以及當北行車輛距離十字路口 3 英里，西行車輛距離十字路口 4 英里時，它們的距離變化率是多少。

主要思路：使用鏈式法則計算兩輛車之間距離的變化率。

計劃

1. 選擇座標系
2. 識別變數
3. 繪製圖形
4. 主要思路：使用鏈式法則計算兩輛車之間距離的變化率
5. 用 $x$ 和 $y$ 表示 $c$，利用勾股定理
6. 使用鏈式法則用 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 表示 ${\frac {dc}{dt}}$
7. 代入 $x,y,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$
8. 化簡。

選擇座標系：令 $y$ 軸指向北方，$x$ 軸指向東方。

識別變數：定義 $y(t)$ 為朝北行駛的車輛到原點的距離，定義 $x(t)$ 為朝西行駛的車輛到原點的距離。

用 $x$ 和 $y$ 表示 $c$，利用勾股定理

$c=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$

使用鏈式法則用 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 表示 ${\frac {dc}{dt}}$ 

${\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$	對整個函式應用導數運算子
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}{\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})$	函式內部是平方和
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]$	分配微分運算子
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[2x\cdot {\frac {dx}{dt}}+2y\cdot {\frac {dy}{dt}}\right]$	對$x(t)$和$y(t)$應用鏈式法則
$={\frac {x\cdot {\frac {dx}{dt}}+y\cdot {\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	化簡。

代入$x=4\ mi\ ,\ y=3\ mi\ ,\ {\frac {dx}{dt}}=-80\ {\frac {mi}{h}}\ ,\ {\frac {dy}{dt}}=60\ {\frac {mi}{h}}$ 並簡化

${\frac {dc}{dt}}$	$={\frac {4\ mi\cdot \left(-80\ {\frac {mi}{h}}\right)+3\ mi\cdot \left(60\ {\frac {mi}{h}}\right)}{\sqrt {(4\ mi)^{2}+(3\ mi)^{2}}}}$
	$={\frac {-320\ {\frac {mi^{2}}{h}}+180\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{\sqrt {25\ mi}}}$
	$={\frac {-140\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{5\ mi}}$
	$=-28\ {\frac {mi}{h}}$

因此，兩輛車以 $=28\ {\frac {mi}{h}}$ 的速度相互靠近。

物理示例 II：諧振子

一個無阻尼的彈簧-質量系統是一個簡單的諧振子。

如果一個簡單諧振子從平衡位置的位移由 $x$ 給出，並且它在時間 $t=0$ 從其最大位移 $A$ 釋放，則以後時刻的位置由下式給出

$x(t)=A\cos(\omega t)$

其中 $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ 是角頻率，$T$ 是振動週期。速度 $v$ 作為位置的一階導數，可以透過鏈式法則計算

$v(t)={\frac {dx}{dt}}$	一維速度定義
$={\frac {d}{dt}}A\cos(\omega t)$	替換 $x(t)$
$=A{\frac {d}{dt}}\cos(\omega t)$	將常數 $A$ 提出導數之外
$=A{\bigl (}-\sin(\omega t){\bigr )}\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	對外部函式（餘弦）求導
$=-A\sin(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	將負號放在前面
$=-A\sin(\omega t)\omega$	計算剩餘的導數
$v(t)=-\omega A\sin(\omega t)$	化簡。

加速度則是位置的二階導數，或者簡單地說 ${\frac {dv}{dt}}$ 。

$a(t)={\frac {dv}{dt}}$	一維加速度的定義
$={\frac {d}{dt}}{\bigl (}-\omega A\sin(\omega t){\bigr )}$	代入 $v(t)$
$=-\omega A\cdot {\frac {d}{dt}}\sin(\omega t)$	將常數項移到導數之外
$=-\omega A\cos(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	對外部函式（正弦）求導
$=-\omega A\cos(\omega t)\omega$	計算剩餘的導數
$a(t)=-\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	化簡。

根據牛頓第二定律，${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ，其中 ${\vec {F}}$ 是合力，$m$ 是物體的質量。

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$	牛頓第二定律
$=m{\bigl (}-\omega ^{2}A\cos(\omega t){\bigr )}$	將 $a(t)$ 代入。
$=-m\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	簡化
${\vec {F}}=-m\omega ^{2}x(t)$	將原始的 $x(t)$ 代入。

因此可以看出，這些結果與對簡諧振子的觀察結果一致，即簡諧振子的力等於位移的負常數倍。

鏈式法則在化學中的應用

鏈式法則在化學中有許多應用，因為化學中的許多方程式描述了一個物理量如何依賴於另一個物理量，而另一個物理量又依賴於另一個物理量。例如，理想氣體定律描述了壓力、體積、溫度和摩爾數之間的關係，而所有這些量也可能隨時間變化。

化學示例 I：理想氣體定律

理想氣體的等溫線。曲線代表理想氣體在不同溫度下的壓力和體積之間的關係：離原點越遠的線（即更接近圖的右上角的線）代表更高的溫度。

假設一個包含 $n$ 摩爾理想氣體的樣品被儲存在一個等溫（恆溫，$T$）容器中，初始體積為 $V_{0}$ 。理想氣體被活塞壓縮，使其體積以恆定的速率變化，使得 $V(t)=V_{0}-kt$ ，其中 $t$ 是時間。鏈式法則可用於求壓力的瞬時變化率。 理想氣體定律可以用來求解壓力，$P$ ，得到

$P(t)={\frac {nRT}{V(t)}}$

其中 $P(t)$ 和 $V(t)$ 已經寫成了時間的顯式函式，其他符號是常數。對兩邊求導得到

${\frac {dP(t)}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right)$

其中常數項 $n,R,T$ 已經移到了導數運算子的左側。應用鏈式法則得到

${\frac {dP}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dV}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right){\frac {dV}{dt}}=nRT\left(-{\frac {1}{V^{2}}}\right){\frac {dV}{dt}}$

其中，使用冪法則對 ${\frac {1}{V}}$ 進行求導。由於 $V(t)=V_{0}-kt$，${\frac {dV}{dt}}=-k$。將 $V$ 和 ${\frac {dV}{dt}}$ 代入可得 ${\frac {dP}{dt}}$。

${\frac {dP}{dt}}=-{\frac {nRTk}{(V_{0}-kt)^{2}}}$

化學示例二：氣體動力學理論

理想單原子氣體的溫度是其原子平均動能的量度。在 1950 個大氣壓下，氦原子的尺寸與其間距的比例如圖所示。原子具有特定的平均速度，這裡從室溫降低了 2 萬億倍。

鏈式法則在化學中的另一個應用是求理想氣體中平均分子速度 $v$ 隨絕對溫度 $T$ 以恆定速率增加時的變化率，使得 $T=T_{0}+at$，其中 $T_{0}$ 是初始溫度，$t$ 是時間。^[3] 氣體動理論將分子速度的 均方根 與溫度相關聯，因此如果 $v(t)$ 和 $T(t)$ 是時間的函式，

$v(t)={\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}$

其中 $R$ 是理想氣體常數，而 $M$ 是分子量。

對等式兩邊關於時間求導，得到

${\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}\left({\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}\right)$

利用鏈式法則，將等式右邊表示為關於溫度 $T$ 和時間 $t$ 的導數，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dT}}\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

對溫度 $T$ 求導，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3RT}}}\cdot {\frac {d}{dT}}\left({\frac {3RT}{M}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

對 $T$ 求剩下的導數，取負指數的倒數，並代入 $T=T_{0}+at$ ，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left(T_{0}+at\right)$

對 $t$ 求導，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}a$

化簡後得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {3R}{M(T_{0}+at)}}}$

鏈式法則證明

假設$y$ 是$u$ 的函式，而$u$ 是$x$ 的函式（假設$y$ 在$u$ 處可微，$x$ 處可微，並且$u$ 在$x$ 處可微。為了證明鏈式法則，我們使用導數的定義。

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

現在我們將${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 乘以${\frac {\Delta u}{\Delta u}}$ 並進行一些代數運算。

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

請注意，當 $\Delta x$ 趨近於 $0$ 時，$\Delta u$ 也趨近於 $0$ 。因此，當 $\Delta x$ 趨近於 $0$ 時，函式的極限與當 $\Delta u$ 趨近於 $0$ 時函式的極限相同。 因此

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}={\frac {dy}{du}}$

所以我們有

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

練習

1. 求 $f'(x)$ 的值，如果 $f(x)=(x^{2}+5)^{2}$ ，首先透過展開和直接微分，然後透過對 $f{\bigl (}u(x){\bigr )}=u^{2}$ 應用鏈式法則，其中 $u=x^{2}+5$ 。比較答案。

2. 利用鏈式法則，透過令 $y={\sqrt {u}}$ 和 $u=1+x^{2}$ ，求 $y={\sqrt {1+x^{2}}}$ 的導數。

解答

外部連結

• http://calculusapplets.com/chainrule.html