控制中的LMI/應用/H2 LMI 衛星姿態控制

這是一個用於衛星姿態控制的 H2 LMI

衛星姿態控制對於軍事、民用和科學活動至關重要。衛星姿態控制涉及在各種干擾和引數不確定性的情況下進行快速機動和精確指向。

系統

衛星狀態空間公式在 $H_{\infty }$ LMI 衛星姿態控制頁面給出，該頁面也在本華夏公益教科書的應用部分。本節將根據基本原理討論該狀態空間公式的推導。

衛星在慣性座標系中的姿態動力學可以用其角動量變化率以及作用於系統的所有外部力矩和力矩之和來描述。即

{\begin{aligned}{\dot {H}}&=T_{c}+T_{g}+T_{d},\\H&=I_{b}\omega \\\end{aligned}}

其中以下變數定義如下

總角動量在任意旋轉參考系（例如衛星的機身座標系）中的時間導數由下式給出

{\begin{aligned}{\dot {H}}&=I_{b}{\dot {\omega }}+\omega \times (I_{b}\omega ),\\\end{aligned}}

它考慮了旋轉參考系相對於慣性參考系的角速度，牛頓定律在慣性參考系中是有效的。

組合方程式，收集項並選擇航天器的主要軸線，使慣性張量對角化，得到以下運動方程式

{\begin{aligned}I_{b}{\dot {\omega }}+\omega \times (I_{b}\omega )=T_{c}+T_{g}+T_{d},\\\end{aligned}}

使用小角度近似，可以將衛星在慣性座標系中的角速度表示在機身座標系中寫成

{\begin{aligned}\omega ={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\phi }}-\omega _{0}\psi \\{\dot {\theta }}-\omega _{0}\\{\dot {\psi }}+\omega _{0}\psi \end{bmatrix}}\\{\text{where }}\omega _{0}=7.292115\times 10^{-5}{\text{ [rad/s]}}\\\end{aligned}}

這些方程構成了 H-inf LMI 用於衛星姿態控制的狀態空間表示的基礎。為了清晰起見，它們在下面重複。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\z_{\infty }&=C_{1}x+D_{1}u+D_{2}d\\z_{2}&=C_{2}x\\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\{\frac {-4\omega _{0}^{2}I_{yz}}{I_{x}}}&0&0&0&0&{\frac {-\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}\\0&{\frac {-3\omega _{0}^{2}I_{xz}}{I_{y}}}&0&0&0&0\\0&0&{\frac {-\omega _{0}^{2}I_{yx}}{I_{z}}}&{\frac {\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\{\frac {1}{I_{x}}}&0&0\\0&{\frac {1}{I_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{I_{z}}}\\\end{bmatrix}}\\\\C_{1}=10^{-3}\times {\begin{bmatrix}-4\omega _{0}^{2}I_{yz}&0&0&0&-\omega _{0}I_{yxz}\\0&-3\omega _{0}^{2}I_{xz}&0&0&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}I_{yx}&\omega _{0}I_{yxz}&0&0\end{bmatrix}}\\\\C_{2}={\begin{bmatrix}I_{3x3}&0_{3x3}\end{bmatrix}}\\\\D_{1}=10^{-3}\times L_{1},D_{2}=10^{-3}\times L_{2}\end{aligned}}

此 LMI 所需資料包括被控衛星的慣性矩和地球的角速度。任何關於擾動扭矩的知識也有助於解決問題。

最佳化問題旨在最小化從擾動到輸出的傳遞函式的 H2 範數。因此，我們期望得到與 H-無窮大情況略有不同的結果。推匯出 H2 控制問題和設定也有助於為本書隨後介紹的混合 H-無窮大/H2 最佳化提供有用的設定。

段和於使用以下 H-2 衛星姿態控制 LMI 來最小化從擾動到輸出的衰減水平。請注意，在 H2 情況下，我們最小化的是幅頻特性傳遞函式幅值的積分，而在 H-無窮大情況下，最佳化則是最小化幅頻特性幅值的峰值。

要設計一種形式為

{\begin{aligned}u=Kx\\\end{aligned}}

的最佳化控制器，使得閉環系統穩定，傳遞函式矩陣

{\begin{aligned}G_{z2w}(s)=C_{2}(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}\\\end{aligned}}

滿足

{\begin{aligned}\|G_{z2w}(s)\|_{2}<\gamma _{2}\\\end{aligned}}

對於最小正標量 $\gamma _{2}$ .

這個標量可以從以下LMI的解中找到：

{\begin{aligned}\\\min &\ \ \rho \\\\{\text{s.t. }}&AX+B_{1}W+(AX+B_{1}W)^{T}+B_{2}B_{2}^{T}<0\\\\&{\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X\\(C_{2}X)^{T}&-X\end{bmatrix}}<0\\\\&\operatorname {trace} (Z)<\rho \\{\text{where }}\rho =\gamma _{2}^{2}.\end{aligned}}

控制器由 $K=WX^{-1}$ 給出。

用於H-2衛星姿態控制的LMI對擾動提出了與H-inf問題不同的衰減值，這是預期的。它也為Duan和Yu在後面部分介紹的混合H2/H-inf問題做了很好的準備。雖然沒有包括混合H2/H-inf最佳化問題的實現，但對比衛星姿態控制問題的這三種情況的結果還是很有趣的。

LMI的CodeOcean或其他線上實現的連結

記錄和驗證LMI的參考列表。