控制中的 LMI/應用/Hinf LMI 衛星姿態控制

這是一個 $H_{\infty }$ 用於衛星姿態控制的 LMI。衛星姿態控制對於允許軌道上的衛星完成其任務是必要的。糟糕的衛星姿態控制會導致糟糕的指向效能，這會導致成本增加、服務延遲以及衛星使用壽命縮短。

系統

從第一性原理推匯出系統的完整過程在配套的 LMI 中完成，用於 $H_{2}$ 衛星姿態控制。指向該頁面的連結在底部與參考文獻一起給出。

連續時間

{\begin{aligned}I_{x}{\ddot {\phi }}+4(I_{y}-I_{z})\omega _{0}^{2}\phi +(I_{y}-I_{z}-I_{z})\omega _{0}{\dot {\psi }}&=T_{cx}+T_{dx}\\I_{y}{\ddot {\theta }}+3(I_{x}-I_{z})\omega _{0}^{2}\theta &=T_{cy}+T_{dy}\\I_{z}{\ddot {\psi }}+(I_{x}+I_{z}-I_{y})\omega _{0}{\dot {\psi }}&=T_{cz}+T_{dz}\\\end{aligned}}

上述模型是透過將衛星姿態運動學代入衛星姿態動力學推匯出來的。以下是上述變數的定義

系統的狀態空間表示可以透過以下步驟找到。令

{\begin{aligned}x&={\begin{bmatrix}q&{\dot {q}}\end{bmatrix}}^{T},&z_{\infty }=10^{-3}M{\ddot {q}},&z_{2}=q,\\\end{aligned}}

引入如下符號

{\begin{aligned}I_{\alpha \beta }&=I_{\alpha }-I_{\beta },&I_{\alpha \beta \gamma }=I_{\alpha }-I_{\beta }-I_{\gamma }\\\end{aligned}}

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 代表 ${x,y,z}$ 中的任意元素。則狀態空間系統為

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\z_{\infty }&=C_{1}x+D_{1}u+D_{2}d\\z_{2}&=C_{2}x\\\end{aligned}}

其中上述狀態空間表示中的矩陣定義如下

{\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\{\frac {-4\omega _{0}^{2}I_{yz}}{I_{x}}}&0&0&0&0&{\frac {-\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}\\0&{\frac {-3\omega _{0}^{2}I_{xz}}{I_{y}}}&0&0&0&0\\0&0&{\frac {-\omega _{0}^{2}I_{yx}}{I_{z}}}&{\frac {\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\{\frac {1}{I_{x}}}&0&0\\0&{\frac {1}{I_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{I_{z}}}\\\end{bmatrix}}\\\\C_{1}=10^{-3}\times {\begin{bmatrix}-4\omega _{0}^{2}I_{yz}&0&0&0&-\omega _{0}I_{yxz}\\0&-3\omega _{0}^{2}I_{xz}&0&0&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}I_{yx}&\omega _{0}I_{yxz}&0&0\end{bmatrix}}\\\\C_{2}={\begin{bmatrix}I_{3x3}&0_{3x3}\end{bmatrix}}\\\\D_{1}=10^{-3}\times L_{1},D_{2}=10^{-3}\times L_{2}\end{aligned}}

這個 LMI 所需的資料包括被控衛星的慣性矩和地球的角速度。任何有關擾動扭矩的知識也有助於解決這個問題。

我們的想法是為先前的衛星狀態空間系統設計一個形式為以下形式的狀態反饋控制律

u=Kx

該控制律的設計目的是使閉環系統穩定，並且從擾動到輸出的傳遞函式矩陣

G_{z_{\infty }d}(s)=(C_{1}+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}

滿足

||G_{z_{\infty }d}(s)||_{\infty }=(C_{1}+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}

為了找到最小正標量 $\gamma _{\infty }$ ，它代表最小衰減水平。

這裡的想法是儘可能地衰減擾動，同時仍然保持衛星跟蹤的能力。此最小衰減水平是在下一節的LMI中找到的。

Duan 和 Yu 採用以下方法來處理 $H_{\infty }$ 衛星系統。可以透過解決以下 LMI 最佳化問題來找到從擾動到輸出的最小衰減水平。

{\begin{aligned}\\&min\gamma _{\infty }\\\\&{\text{s.t. }}X>0\\\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{1}X+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{H\infty }I&D_{2}^{T}\\C_{1}X+D_{1}W&D_{2}&-\gamma _{H\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

這與 Duan 和 Yu 的書中的定理 8.1 相同，是 $H_{\infty }$ 問題的解決方案。

Duan 和 Yu 的教科書將衛星慣性矩的典型值設為

{\begin{aligned}I_{x}=1030.17kg\cdot m^{2},I_{y}=3015.65kg\cdot m^{2},I_{Z}=3030.43kg\cdot m^{2}\\\end{aligned}}

然後，他們繼續解決最佳化問題以找到一個控制器增益，該增益產生 0.0010 的衰減水平。雖然這個值非常小，代表非常好的衰減，但最佳化的控制器將閉環系統的極點推得非常靠近虛軸，導致緩慢的振盪行為，具有非常長的穩定時間。

為了解決這個問題，作者使用了第二種方法，該方法涉及修改上面表示式中的最終 LMI，並要求將其約束如下

{\begin{aligned}&-I<{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{1}X+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{H\infty }I&D_{2}^{T}\\C_{1}X+D_{1}W&D_{2}&-\gamma _{H\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

這些結果計劃使用 YALMIP 在連結的程式碼實現中驗證，而作者則利用 MATLAB LMI 工具箱來實現他們的結果。

指向 LMI 的 CodeOcean 或其他線上實現的連結

記錄和驗證 LMI 的參考資料列表。