控制中的 LMI/應用/混合 H2 和 Hinf 衛星姿態控制

系統

使用與 H2 和 Hinf 反饋應用（連結在下方）中相同的問題公式，系統具有以下形式

${\begin{aligned}I_{x}{\ddot {\phi }}+4(I_{y}-I_{z})\omega _{0}^{2}\phi +(I_{y}-I_{z}-I_{z})\omega _{0}{\dot {\psi }}&=T_{cx}+T_{dx}\\I_{y}{\ddot {\theta }}+3(I_{x}-I_{z})\omega _{0}^{2}\theta &=T_{cy}+T_{dy}\\I_{z}{\ddot {\psi }}+(I_{x}+I_{z}-I_{y})\omega _{0}{\dot {\psi }}&=T_{cz}+T_{dz}\\\end{aligned}}$

這個公式來自 Duan，第 371-373 頁，步驟 12.1 到 12.8 中描述的過程。

T_c 和 T_d 分別是飛輪扭矩和擾動扭矩。
I_x、I_y 和 I_z 是來自慣性矩陣 I_b 的對角化慣性。
ω₀ = 7.292115 x 10^-5 rad/s 是地球的自轉角速度，θ、Φ 和 ψ 是三個尤拉角。

下面的 LMI 利用了上述系統的狀態空間表示，該表示也在 H2 和 Hinf 頁面上描述。

${\begin{cases}{\dot {x}}=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\z_{\infty }=C_{1}x+D_{1}u+D_{2}d\\z_{2}=C_{2}x\end{cases}}$

${\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\{\frac {-4\omega _{0}^{2}I_{yz}}{I_{x}}}&0&0&0&0&{\frac {-\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}\\0&{\frac {-3\omega _{0}^{2}I_{xz}}{I_{y}}}&0&0&0&0\\0&0&{\frac {-\omega _{0}^{2}I_{yx}}{I_{z}}}&{\frac {\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\{\frac {1}{I_{x}}}&0&0\\0&{\frac {1}{I_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{I_{z}}}\\\end{bmatrix}}\\\\C_{1}=10^{-3}\times {\begin{bmatrix}-4\omega _{0}^{2}I_{yz}&0&0&0&-\omega _{0}I_{yxz}\\0&-3\omega _{0}^{2}I_{xz}&0&0&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}I_{yx}&\omega _{0}I_{yxz}&0&0\end{bmatrix}}\\\\C_{2}={\begin{bmatrix}I_{3x3}&0_{3x3}\end{bmatrix}}\\\\D_{1}=10^{-3}\times L_{1},D_{2}=10^{-3}\times L_{2}\end{aligned}}$

I_ab = I_a - I_b, I_abc = I_a - I_b - I_c
$q={\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}$ , x = [q q']^T , M = diag(I_x, I_y, I_z), zinf = 10^-3 M q''', z₂ = q

這些公式可以在 Duan 的第 374-375 頁，步驟 12.10 到 12.15 中找到。

資料

此問題所需的資料包括系統的慣性矩和角速度。預期擾動d的資訊將是有益的。

最佳化問題

此問題有兩個要求

閉環極點限制在所需的 LMI 區域
- 其中 $\mathbb {D} =\{s|s\in \mathbb {C} ,L+sM+{\bar {s}}M^{T}<0\}$ , L 和 M 是正確維度的矩陣，L 是對稱的
最小化擾動d對輸出向量 z₂ 和 zinf 的影響。

設計一個狀態反饋控制律

u = Kx

使得

閉環特徵值位於 $\mathbb {D}$ $\mathbb {D}$ 中，
- λ(A+BK) $\subset \mathbb {D}$
滿足以下 H2 和 Hinf 效能條件，且 $\gamma _{\infty }$ $\gamma _{\infty }$ 和 $\gamma _{2}$ $\gamma _{2}$ 很小。
- $\lVert G_{{z_{\infty }}d}\rVert _{\infty }=\lVert (C_{1}+N_{2}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+N_{1}\rVert _{\infty }\leq \gamma _{\infty }$
- $\lVert G_{{z_{2}}d}\rVert _{2}=\lVert C_{2}(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}\rVert _{\infty }\leq \gamma _{2}$

LMI：混合 H2/Hinf 反饋控制

最小化 $c_{\infty }\gamma _{\infty }+c_{2}\rho$

滿足條件：

${\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X\\XC_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}<0$

trace(Z) < $\rho$

AX + B₁W + (AX + B₁W)^T + BB^T < 0

$L\otimes X+M\otimes (AX+B_{1}W)+M^{T}\otimes (AX+B_{1}W)^{T}<0$
${\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{1}&(C_{1}X+D_{2}W)^{T}\\B&-\gamma _{\infty }I&D_{1}^{T}\\(C_{1}X+D_{2}W)&D_{1}&-\gamma _{\infty }I\end{bmatrix}}<0$