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連續時間 D 穩定控制器

在一些控制問題中，人們仍然希望設計一個控制器，其極點位於複平面的特定區域，同時確保控制器是穩定的。一種可以實現此目標的方法稱為 D 穩定性。

系統

假設我們得到了連續時間系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其穩定性未知，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 以及 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$。然後，可以透過控制器 $u(t)=Kx(t)$ 來實現同時穩定上述系統並確保極點位於其預期位置的控制器。

資料

為了正確定義複平面上可接受的極點區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A$, $B$, $C$, $D$
• 上升時間 ($t_{r}$)
• 穩定時間 ($t_{s}$)
• 超調百分比 ($M_{p}$)

有了這些資訊，我們就可以開始制定最佳化問題了。

最佳化問題

利用以上給定的資料，我們可以定義最佳化問題。為了做到這一點，我們首先要使用以下不等式約束定義複平面上極點可以位於的容許區域。

上升時間：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間：$\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比：$\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設$z$是復極點的位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這使得我們可以修改不等式約束，如下所示

上升時間：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間：${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比：$z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

這不僅使我們能夠映射覆極點位置和不等式約束之間的關係，而且現在也使我們能夠輕鬆地為該問題構建LMI。

LMI： 連續時間控制器D穩定性

牢記上述不等式，我們觀察到以下內容

假設現在存在一個對稱矩陣$P>0$和矩陣$Z$，我們現在可以確定以下LMI的控制器

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

結論

給定所得到的控制器 $K=ZP^{-1}$，我們現在可以確定 $A+BK$ 的極點位置 $z\in \mathbb {C}$ 滿足不等式約束 $|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$。

實施

• 示例程式碼 - 一個 GitHub 連結，其中包含演示如何使用 MATLAB-YALMIP 實施此 LMI 的程式碼（名為“ControllerDStability.m”）。

相關 LMI

• 連續時間 D 穩定觀測器 - 用於連續時間觀測器的等效 D 穩定 LMI。
• D 穩定 - 用於 $\mathbb {D} _{(q,r)}$ - 穩定化的 LMI。

外部連結

• 最佳與魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於控制中的 LMI 的課程。
• LMI 性質及其在系統、穩定性與控制理論中的應用 - 瑞安·卡弗利與詹姆斯·福布斯關於 LMI 的列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 史蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。