控制中的LMI/點選此處繼續/控制器合成/多準則LQG

控制中的LMI/點選此處繼續/控制器合成/多準則LQG

多準則線性二次型高斯 (LQG) 線性矩陣不等式允許人們為具有基於 Q 和 R 矩陣定義的多個不同準則的基於高斯噪聲的狀態空間系統形成一個最佳化控制器，類似於 LQR 框架中的控制器，這些準則在任意成本函式中被最佳化。就像傳統的 LQR 一樣，成本矩陣必須以與經典控制中傳統增益類似的方式進行調整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直觀，因為每個增益都直接與狀態或輸入相關聯。

系統

系統是一個線性時不變系統，可以用狀態空間表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu+w,\\y&=Cx+v,\\z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分別代表狀態向量、測量輸出向量和感興趣的輸出向量，$w\in R^{p}$ 是擾動向量，以及 $A,B,C,Q,R$ 是適當維度的系統矩陣。進一步定義：$x$ 是 $\in R^{n}$ 並且是狀態向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 並且是狀態矩陣，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 並且是輸入矩陣，$w$ 是 $\in R^{r}$ 並且是外生輸入，$C,Q,R$ 是 $\in R^{m*n}$ 並且是輸出矩陣，而 $y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 並且分別是輸出和感興趣的輸出。

$Q\geq 0$ 且 $R>0$，該系統可控且可觀測。

資料

矩陣 $A,B,C,Q,R,W,V$ 以及噪聲訊號 $w,v$。

最佳化問題

線上性二次高斯 (LQG) 控制問題中，目標是在工廠具有隨機初始條件並且在輸入和測量時遭受白噪聲擾動的情況下，最小化二次成本函式。

此問題有多個感興趣的輸出。它們由以下定義

${\begin{aligned}z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}},Q_{i}\geq 0,R_{i}>0,i=0,...,p.\end{aligned}}$

對於每個感興趣的輸出，我們都關聯一個成本函式

${\begin{aligned}J_{LQG}^{i}=\lim _{t\to \infty }Ez_{i}(t)^{T}z_{i}(t),i=0,...,p.\end{aligned}}$

此外，矩陣 $X_{LQG}$ 和 $Y_{LQG}$ 必須作為以下Riccati方程的解找到

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

最佳化問題是在滿足可測條件和約束 $J_{LQG}^{i}<\gamma _{i},i=0,...,p.$ 的情況下，對 u 最小化 $J_{LQG}^{0}$。 此最佳化問題可以表述為

${\begin{aligned}\max trace(X_{LQG}U+QY_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

關於 $\tau _{1},...,\tau _{p}$，其中

${\begin{aligned}Q&=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R&=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i}.\end{aligned}}$

LMI： 多準則 LQG

${\begin{aligned}\max :trace(XU+(Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i})Y_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

關於 $X,\tau _{1},...\tau _{p}$ 的最大值，受以下約束條件限制：

${\begin{aligned}X&>0,\\\tau _{1}\geq 0,...,\tau _{p}&\geq 0,\\A^{T}X+XA-XB(R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i})^{-1}B^{T}X+Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i}&\geq 0.\\\end{aligned}}$

結論

此 LMI 的結果是上述 Ricatti 方程的解。

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

實施

此實施需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相關 LMI

1. 最優控制的反問題

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 的關於 LMI 的可下載書籍。