控制中的LMI/點選此處繼續/控制器綜合/二次D穩定性

連續時間D穩定控制器

這個LMI將允許你根據系統的效能，例如上升時間、穩定時間和超調百分比，將極點放置在特定位置，同時確保系統的穩定性。

系統

假設我們得到了一個連續時間系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其穩定性未知，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$.

在系統中新增不確定性

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B+B_{i})u(t)\\\end{aligned}}$

資料

為了正確定義複平面中極點的可接受區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A$，$B$，$A_{i}$，$B_{i}$
• 上升時間 ($t_{r}$)
• 穩定時間 ($t_{s}$)
• 超調百分比 ($M_{p}$)

有了這些資訊，我們現在可以開始制定最佳化問題。

最佳化問題

利用上述資料，我們可以定義最佳化問題。為了實現這一點，我們首先需要使用以下不等式約束來定義複平面上極點可以位於的接受區域

上升時間：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間：$\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比：$\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設 $z$ 是復極點位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這讓我們可以修改不等式約束為

上升時間：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

不僅可以將復極點位置與不等式約束之間的關係映射出來，而且還可以很容易地為這個問題制定我們的LMI。

LMI: 二次D穩定化LMI

假設存在 $X>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&0\end{bmatrix}}<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

對於 $i=1,...,k$

結論

給定得到的控制器 $K=ZP^{-1}$，我們現在可以確定 $A(\Delta )+B(\Delta )K$ 的極點位置 $z\in \mathbb {C}$ 滿足不等式約束 $|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$，對於所有 $\,\Delta \,\in \,C_{0}(\Delta _{1},...,\Delta _{k})$

實現

此 LMI 的實現需要 Yalmip 和 Sedumi https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadraticDstabilization.m

相關 LMI

• 連續時間 D 穩定觀測器 - 連續時間觀測器的等效 D 穩定 LMI。

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗裡和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。