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二次 Schur 穩定化的 LMI

如果離散時間系統的特徵方程的所有根都在單位圓內，則該系統被稱為穩定。這為具有多面體不確定性的離散時間線性系統提供了穩定性條件，具有此屬性的線性時不變系統被稱為 Schur 穩定系統。

系統

考慮離散時間系統

${\begin{aligned}x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k},\\\end{aligned}}$

其中 $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$，$u_{k}\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。
系統包含以下形式的不確定性

${\begin{aligned}\Delta _{A(t)}=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\Delta _{B(t)}=B_{1}\delta _{1}(t)+....+B_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$，$u\in \mathbb {R} ^{n}$，$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$ 和 $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$

資料

此 LMI 所需的矩陣為 $A$，$\Delta _{A(t)}\,ie\,A_{i}$，$B$ 和 $\Delta _{B(t)}\,ie\,B_{i}$

LMI

存在一些 X > 0 和 Z 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X&&AX+BZ\\(AX+BZ)^{T}&&X\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&A_{i}X+B_{i}Z\\(A_{i}X+B_{i}Z)^{T}&&0\end{bmatrix}}>0\quad i=1,......,k\end{aligned}}$

最佳化問題

最佳化問題是找到一個矩陣 ${\begin{aligned}K\in \mathbb {R} ^{r\times n}\end{aligned}}$ 使得

${\begin{aligned}||A+BK||_{2}<\gamma \end{aligned}}$

根據矩陣譜範數的定義，該條件等價於

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}(A+BK)<\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

利用 控制系統分析、設計與應用中的 LMI (第 14 頁) 中的引理 1.2，上述不等式可以轉換為

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

結論

控制器增益矩陣提取為 $F=ZX^{-1}$
$u_{k}=Fx_{k}$

${\begin{aligned}x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k},\\\quad \quad \quad =Ax_{k}+BFx_{k}\\\quad \quad =(A+BF)x_{k}\end{aligned}}$

因此，閉環系統 (A+BK) 的軌跡對於任何 $\,\Delta \,\in \,C_{0}(\Delta _{1},...,\Delta _{k})$ 都是穩定的。

實現

https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadratic_schur_stabilization.m

相關 LMI

舒爾補
舒爾穩定化

外部連結

• 最佳與魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 控制的課程。
• LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 關於 LMI 的列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。
• 控制系統分析、設計與應用中的 LMI