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系統

TS 模糊模型允許將非線性模型表示為一組區域性 LTI（線性時不變）模型 $[1,p.10]$ ，每個子系統都稱為子系統。子系統是在前提變數空間 $z(t)$ = $[z1(t)z2(t)...zp(t)]$ 的系統區域性表示，這些變數是已知的，並且可能取決於狀態變數和輸入變數。

最佳化問題

考慮一個自治系統 $x$ = $Ax$ ，其中 $A$ 是一個常數矩陣。如果我們定義 Lyapunov 函式 $V(x)$ = $x^{T}Px$ ，則如果存在 $P>0$ 使得條件滿足，則系統穩定。

$A^{T}P+PA<0$

如果我們有一系列矩陣 $A(\delta (t))$ （其中 $\delta (t)$ 是一個受多面體 ∆ 限制的引數）而不是單個矩陣 A，那麼系統方程變為 $x$ = $A(\delta (t))x$ ，並且條件應該對 $\delta (t)$ 的所有可能值都滿足。如果存在 $P>0$ 使得以下條件滿足，那麼該系統是二次穩定的。

$A(\delta (t))^{T}P+PA(\delta (t))<0$ ∀ $\delta (t)$ ∈ ∆.

由於存在無限多個矩陣 A(δ(t))，因此也存在無限多個類似於之前提到的二次穩定性約束，這些約束應該得到滿足。從實際角度來看，這使得問題無法解決。現在考慮系統 $x=A(\delta (t))x$ 可以寫成多面體形式，作為具有前提變數 $z(t)$ 和一組 r 個子系統 $Ai$ 的 Takagi-Sugeno (TS) 多面體系統，其中 $i={1,...,r}$ .

$x(t)=\sum _{i=1}^{r}(h_{i}(z(t))A_{i}x(t)$ .

可以證明，如果先前條件在多面體的頂點（子系統）中滿足，則多面體自治系統是二次穩定的。因此，無需檢查無限多個矩陣的穩定性，而只需要檢查子系統矩陣 $A_{i}$ .

$A_{i}^{T}P+PAi<0$ ∀i = 1, . . . , r.

穩定性條件可以應用於閉環系統，並得到以下條件集。

$G_{ii}^{T}P+PG_{ii}<0$ ∀i = 1, . . . , r.

$((G_{ij}+G_{ji})/2)^{T}P+P((G_{ij}+G_{ji})/2)<=0$ ∀i, j ∈ {1, . . . , r}, i < j.

其中 $G_{ij}=A_{i}+B_{i}K_{j}$ 且 $hi(z(t))hj(z(t))\neq 0$ .

在 Bi 矩陣為常數的特殊情況下（即 $B_{i}=B$ ），第一組不等式足以證明穩定性。因此，假設所有子系統的 B 恆定，如果存在 P > 0 使得條件得到滿足，則具有狀態反饋控制的多面體 TS 模型 (2.2) 在多面體內是二次穩定的。

$(A_{i}+BK_{i})^{T}P+P(A_{i}+BK_{i})<0$ ∀i = 1, . . . , r.

可以透過對輸入進行預濾波來實現常數 B 的假設。此更改並非限制性更改，主要結果是在 TS 模型中添加了一些新的狀態變數（來自濾波器的狀態變數）。

LMI

穩定閉環系統的控制器設計歸結為求解線性矩陣不等式（LMI）問題，即尋找一個正定矩陣 P 和一組矩陣 $K_{i}$ 使條件滿足。但是，由於約束條件應該是未知變數的線性組合，因此應用以下變數變化： $W_{i}=K_{i}Q$ ，其中 $Q=P^{-}1$ 。LMI 問題的解是一組矩陣 $W_{i}$ 使條件滿足。