控制中的LMI/點選此處繼續/控制器綜合/靜態狀態反饋問題

控制中的LMI/點選此處繼續/控制器綜合/靜態狀態反饋問題
我們正在嘗試穩定靜態狀態反饋問題

系統

考慮一個連續時間線性時不變系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

資料

$A,B$ 是已知矩陣

最佳化問題

該問題的主要目標是找到一個反饋矩陣，使得系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

和

${\begin{aligned}u(t)=Kx(t)\\\end{aligned}}$

是穩定的。首先我們找到 $K$ 矩陣，使得 $(A+BK)$ 是Hurwitz。

LMI：靜態狀態反饋問題

現在可以將這個問題公式化為一個LMI，如問題1

$X(A+BK)+(A+BK)^{T}X<0$

從上面的等式中，$X>0$，我們需要找到K

我們可以看到，這個問題在$K,X$ 中是雙線性的

• X 和 K 的雙線性是一個常見的模式
• 雙線性最佳化不是凸的。為了使問題凸化，我們使用變數變換。

問題2

$AP+BZ+PA^{T}+Z^{T}B^{T}<0$

其中 $P>0$，我們找到 $Z$
$K=ZP^{-1}$

問題1 等價於問題2

結論

如果 (A,B) 是可控的，我們可以獲得一個穩定系統的控制器矩陣。

實現

Github 儲存庫中有關此問題簡單實現的 Matlab 程式碼連結

https://github.com/yashgvd/ygovada

相關LMI

Hurwitz 穩定性

外部連結

• [1] - LMI 在控制系統分析、設計和應用中的應用
• LMI 在最優和魯棒控制中的方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制中的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• [2] - Mathworks 關於直流增益的參考