控制中的LMI/點選此處繼續/最優控制系統/離散時間Hinf最優觀測器

控制中的LMI/點選此處繼續/最優控制系統/離散時間Hinf最優觀測器

在許多應用中，甚至大多數應用中，系統的狀態無法直接知道。在這種情況下，您需要策略性地測量關鍵的系統輸出，以便使系統狀態間接可觀察。為了使估計準確，觀測器需要比系統動力學快得多地收斂。因此，最優觀測器合成是有利的。在這個LMI中，我們試圖最佳化H-無窮範數，從概念上來說，就是最小化觀測器誤差的最大幅度。

系統

此LMI所需的系統是離散時間LTI工廠 $G$，它具有狀態空間實現

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k},\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}\\\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 是狀態向量，$A\in R^{n*n}$ 是狀態矩陣，$B\in R^{n*r}$ 是輸入矩陣，$w\in R^{r}$ 是外源輸入，$C\in R^{m*n}$ 是輸出矩陣，$D\in R^{m*r}$ 是直通矩陣，$y\in R^{m}$ 是輸出，並且假設 $(A_{d},C_{d2})$ 是可檢測的。

資料

矩陣 $A_{d},B_{d1},C_{d2},D_{d21},D_{d11}$.

最佳化問題

形式為

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

需要設計，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 是觀測器增益。

定義誤差狀態 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$，誤差動力學被發現為

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2})e_{k}+(B_{d1}-L_{d}D_{d21})w_{k}$,

效能輸出定義為

$z_{k}=C_{d1}e_{k}+D_{d11}w_{k}$.

觀測器增益 $L_{d}$ 的設計應使 $H_{inf}$ 從 $w_{k}$ 到 $z_{k}$ 的傳遞矩陣，由

${\begin{aligned}T(z)&=C_{d1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1}-L_{d}D_{d21})+D_{d11},\\\end{aligned}}$

最小化。

LMI: 離散時間 Hinf 最優觀測器

離散時間 $H_{inf}$-最優觀測器增益可以透過求解 $P\in S^{n_{x}}$，$G_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 和 $\gamma \in R_{>0}$ 來最小化 J$(\gamma )=\gamma$，受限於 $P>0$ ，以及

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1}-G_{d}D_{d21}&0\\*&P&0&C_{d1}^{T}\\*&*&\gamma *1&D_{d11}^{T}\\*&*&*&\gamma *1\end{bmatrix}}&>0.\\\end{aligned}}$

結論

該 $H_{inf}$-最優觀測器增益可以透過 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 恢復，並且 $H_{inf}$ 範數為 $T(z)$ 是 $\gamma$。然後，可以使用此觀測器增益矩陣來構造最優觀測器，該觀測器由以下公式給出：

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/Hinfobsdiscretetime.m

相關 LMI

混合 H2-Hinfinity 離散時間觀測器

Discrete-Time_H2-Optimal_Observer

外部連結

此 LMI 來自 Ryan Caverly 的 LMI 文字（第 5.2.2 節）

• LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。

其他資源

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 編寫的關於 LMI 控制的課程。
• 系統和控制理論中的 LMI - 由 Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。