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魯棒H₂最優狀態反饋綜合

對於具有不確定狀態引數的系統，需要魯棒控制器。H₂最優控制在最小能量應用中是理想的。

系統

系統的靜態公式如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=A(\delta )x(t)+B(\delta )u(t)\\y(t)=C(\delta )x(t)+D(\delta )u(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$是狀態，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$是在任何$t\in \mathbb {R}$時的輸入。

$A(\delta )$，$B(\delta )$，$C(\delta )$和$D(\delta )$是具有方差$\delta \in \Delta$的有理矩陣。

資料

狀態矩陣定義為

$A(\delta )=A(\delta )$,

$B(\delta )={\begin{bmatrix}B_{1}(\delta )&B_{2}(\delta )\end{bmatrix}}$

$C(\delta )={\begin{bmatrix}C_{1}(\delta )\\C_{2}(\delta )\end{bmatrix}}$

$D(\delta )={\begin{bmatrix}D_{11}(\delta )&D_{12}(\delta )\\D_{21}(\delta )&D_{22}(\delta )\end{bmatrix}}$

LMI：H₂最優狀態反饋綜合

假設${\hat {P}}(s,\delta )=C(\delta )(sI-A(\delta ))^{-}$$^{1}B(\delta )$。則以下等價

1. $\left\vert \left\vert S(K(\delta ),P(\delta ))\right\vert \right\vert$_{$H_{2}$} $<\gamma$ 對於所有$\delta \in \Delta$。

2. $K(\delta )=Z(\delta )X(\delta )^{-}$$^{1}$ 對於某些$Z(\delta )$ 和$X(\delta )$ 使得$X(\delta )>0$ 對於所有$\delta \in \Delta$，並且

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A(\delta )&B_{2}(\delta )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X(\delta )\\Z(\delta )\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X(\delta )&Z(\delta )^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A(\delta )^{T}\\B(\delta )_{2}^{T}\end{bmatrix}}+B_{1}(\delta )B_{1}(\delta )^{T}<0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X(\delta )&(C_{1}(\delta )X(\delta )+D_{12}(\delta )Z(\delta ))^{T}\\C_{1}(\delta )X(\delta )+D_{12}(\delta )Z(\delta )&W(\delta )\end{bmatrix}}>0\end{aligned}}$

$Trace(W(\delta ))<\gamma ^{2}$

對於所有 $\delta \in \Delta$

結論

上述方法可用於尋找具有不確定引數的系統的H₂最優魯棒狀態反饋控制器。

實現

此實現需要Yalmip和Sedumi。

H₂最優狀態反饋綜合

相關LMI

完整狀態反饋最優H_inf LMI

外部連結

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特的關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMI - 斯蒂芬·博伊德關於LMI的可下載書籍。
• 控制系統中的LMI：分析、設計與應用 - 段廣仁和於海華著，CRC出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013年。

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控制中的LMI： https://wikibook.tw/wiki/LMIs_in_Control