控制中的 LMI / D 穩定性 / 控制器 D 穩定性

在一些控制問題中，人們仍然感興趣的是設計一個控制器，其極點位於複平面的特定區域，也稱為 D 穩定性。

系統

假設我們得到了一個連續時間系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}

其穩定性未知。那麼，可以透過控制器 $u(t)=Kx(t)$ 來實現同時穩定上述系統並確保極點位於期望位置的控制器。

為了正確定義複平面上極點可接受的區域，我們需要以下資料

擁有這些資訊將有助於我們制定最佳化問題。

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。為了做到這一點，我們必須首先使用以下不等式約束定義複平面上極點可以位於的區域。

上升時間： $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間： $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比： $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設 $z$ 是複數極點位置，那麼

{\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}

這樣我們就可以修改不等式約束為

上升時間: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

考慮到以上不等式，我們觀察到以下情況

假設現在存在一個對稱矩陣 $X>0$ 和矩陣 $Z$ ，我們可以使用以下 LMI 來確定控制器

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}

其中得到的控制器矩陣為 $K=ZP^{-1}$ .

給定得到的控制器 $K$ ，我們現在可以確定 $A+BK$ 的極點位置 $z\in \mathbb {C}$ 滿足不等式約束 $|x|{\leq }r$ ， $Re(x){\leq }-{\alpha }$ 以及 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$ .