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圓錐扇區引理

對於一般的輸入-輸出系統，扇區條件被用來驗證或強制反饋穩定性。這些扇區條件之一是圓錐扇區引理，而設計反饋控制器的難題則是圓錐扇區定理。

系統

考慮一個方陣，連續時間線性時不變（LTI）系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，其最小狀態空間實現為$(A,B,C,D)$，其中$A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{m\times n},$ 以及 $D\in {\mathcal {R}}^{m\times m}$。狀態空間表示為

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 以及 $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 分別是系統的狀態、輸出和輸入向量。

資料

需要系統係數矩陣 $(A,B,C,D)$。 此外，可以可選地提供定義錐體的引數，可以是 $[a,b]$ 的形式，其中 $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$，或者提供半徑 $r\in \mathbb {R} _{+}$ 和中心 $c\in \mathbb {R}$。

可行性 LMI

如果系統 ${\mathcal {G}}$ 在給定的錐體 $[a,b]$ 內，則以下條件是可行的

${\begin{aligned}{\text{Find: }}&P\\{\text{subj. to: }}&P>0\\&{\begin{bmatrix}PA+A^{\top }P+C^{\top }C&PB-{\frac {a+b}{2}}C^{\top }+C^{\top }D\\(PB-{\frac {a+b}{2}}C^{\top }+C^{\top }D)^{\top }&D^{\top }D-{\frac {a+b}{2}}(D+D^{\top })+abI\end{bmatrix}}\leq 0.\end{aligned}}$

上述 LMI 也可以用來確定錐體引數，方法是將 $a$ 設定為變數，同時滿足條件 $a<b$，並使用二分法來找到 $b$。

如果給定的錐體由中心 $c$ 和半徑 $r$ 表示，那麼可以透過評估以下可行性問題來檢查 ${\mathcal {G}}$ 是否在給定的錐體中

${\begin{aligned}{\text{Find: }}&P\\{\text{subj. to: }}&P>0\\&{\begin{bmatrix}PA+A^{\top }P+C^{\top }C&PB-cC^{\top }+C^{\top }D\\(PB-cC^{\top }+C^{\top }D)^{\top }&D^{\top }D-c(D+D^{\top })+(c^{2}-r^{2})I\end{bmatrix}}\leq 0.\end{aligned}}$

為了找到錐體引數，將 $\gamma =r^{2}$ 作為決策變數，並新增約束條件 $\gamma \geq 0$，然後透過二分法求解 $c$，可以得到包含系統 ${\mathcal {G}}$ 的錐體，如果問題是可行的。

結論

上述 LMI 可以用來判斷 ${\mathcal {G}}$ 是否在指定的錐體中，或者可以用來透過尋找一個包含 ${\mathcal {G}}$ 的可行錐體來判斷 ${\mathcal {G}}$ 的穩定性。需要注意的是，錐體扇區引理是 KYP 引理 的特例，適用於 QSR 耗散系統，其中

$Q=-1,S=frac{a+b}{2}I=cI,R=-abI=(r^{2}-c^{2})I$.

實現

為了解決可行性 LMI，需要 YALMIP 工具箱來設定可行性問題，還需要 SeDuMi 來解決問題。以下連結展示了一個可行性問題示例：

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Conic_sector_example.m

相關 LMI

外部錐體扇區引理.

KYP 引理

外部連結

列出記錄和驗證 LMI 的參考文獻。

• LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。