控制中的LMI/pages/離散時間混合H2 Hinf 最優觀測器

在許多應用中，也許甚至是最多的應用中，系統的狀態無法直接得知。在這種情況下，您需要策略性地測量關鍵的系統輸出，以便間接地觀察系統狀態。為了使觀測器的估計準確，觀測器需要比系統動力學更快地收斂。因此，最優觀測器合成是有優勢的。在這個LMI中，我們尋求最佳化H2和Hinf範數，以最小化觀測器的平均誤差和最大誤差。

系統

{\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1,1}w_{1,k}+B_{d1,2}w_{2,k},\\y_{k}&=C_{c2}x_{k}+D_{d21,1}w_{1,k}+D_{d21,2}w_{2,k}\\\end{aligned}}

其中 $x\in R^{n}$ 是狀態向量， $A\in R^{n*n}$ 是狀態矩陣， $B\in R^{n*r}$ 是輸入矩陣， $w\in R^{r}$ 是外生輸入， $C\in R^{m*n}$ 是輸出矩陣， $D\in R^{m*r}$ 是直通矩陣， $y\in R^{m}$ 是輸出，並假設 $(A_{d},C_{d2})$ 是可檢測的。

 $A\in R^{n*n}$

資料

矩陣 $A_{d},B_{d1},C_{cd2},C_{cd1},D_{d21}$ .

最佳化問題

一個形式為

{\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}

需要設計，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 是觀測器增益。

定義誤差狀態 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$ ，可以發現誤差動態為

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2})e_{k}+(B_{d1,1}-L_{d}D_{d21,1})w_{1,k}+(B_{d1,2}-L_{d}D_{d21,2})w_{2,k}$ ,

效能輸出定義為

${\begin{bmatrix}Z_{1,k}\\Z_{2,k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{d1,1}\\C_{d1,2}\end{bmatrix}}e_{k}+{\begin{bmatrix}0&D_{d11,12}\\D_{d11,21}&D_{d11,22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{1,k}\\w_{2,k}\end{bmatrix}}$ .

觀測器增益 $L_{d}$ 的設計目標是使閉環傳遞矩陣 $T_{11}(z)$ 的 $H_{2}$ 範數最小，從外源輸入 $w_{2,k}$ 到效能輸出 $z_{2,k}$ 的傳遞函式小於 $\gamma _{d}$ ，其中

${\begin{aligned}T_{11}(z)&=C_{d1,1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1,1}-L_{d}D_{d21,1}),\\T_{22}(z)&=C_{d1,2}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1,2}-L_{d}D_{d21,2})+D_{d11,22}\end{aligned}}$

LMI：離散時間混合 $H_{2}H_{inf}$ -最優觀測器增益

離散時間混合- $H_{2}H_{inf}$ -最優觀測器增益可以透過求解 $P\in S^{n_{x}}$ ， $Z\in S^{n_{z}}$ ， $G_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 和 $v\in R_{>0}$ 來最小化 J $(v)=v$ ，在滿足以下約束條件下：

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1,1}-G_{d}D_{d21,1}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1,2}-G_{d}D_{d21,2}&0\\*&P&0&C_{d1,2}^{T}\\*&*&\gamma _{d}1&D_{d11,22}^{T}\\*&*&*&\gamma _{d}1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&PC_{d1,1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\trZ<v\end{aligned}}

其中 $tr$ 表示矩陣的跡。

結論

混合 $H_{2}H_{inf}$ -最優觀測器增益可以透過 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 來恢復， $H_{2}$ 範數 $T_{11}(z)$ 小於 $\mu ={\sqrt {v}}$ ， $H_{inf}$ 範數 $T_{22}(z)$ 小於 $\gamma _{d}$ 。這個結果為我們提供了觀測器增益矩陣 $L_{d}$ ，使我們能夠透過以下方式間接地最優地觀察系統狀態：