控制中的 LMI/pages/可達集對角 NB

具有單位能量輸入的可達集；對角範數約束不確定性

可達集是在 $u=Kx$ 條件下達到的系統狀態集。在本頁中，我們將研究找到控制器 $K$ 的問題，該控制器使得 $E\supseteq RS$ - 可達集。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{w}w+B_{u}u+B_{q}p\\q&=C_{q}x+D_{qw}w+D_{qu}u+D_{qp}p\\u&=Kx\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}x&\in R^{n}\\w&\in R^{m}\\u&\in R^{k}\\\end{aligned}}

在對角範數約束不確定性的情況下，我們有

{\begin{aligned}p_{i}&=\delta _{i}(t)q_{i}\\&|\delta _{i}(t)|\leq 1;\;\;\;\;{\text{for }}i=1,...,N_{q}\end{aligned}}

$N_{p}=N_{q}$

矩陣 $A\in R^{n\times n};\;B_{w}\in R^{n\times m};\;B_{u}\in R^{n\times k};B_{p}\in R^{n\times N_{p}};K\in R^{k\times n}$ .

$C_{q}\in R^{N_{q}\times n};\;D_{qu}\in R^{N_{q}\times k}D_{qw}\in R^{N_{q}\times m}D_{qp}\in R^{N_{q}\times N_{p}}$ .

可達集可以定義為

{\begin{aligned}RS&=\{x(T)|u=Kx;\;\;x(0)=0;\;\;T\geq 0;\;\;\int _{0}^{T}w^{T}wdt<1\}\\\end{aligned}}

橢圓 $E=\{\varepsilon \in R^{n}|\varepsilon ^{T}Q\varepsilon \leq 1\}\supseteq RS$

需要解決以下最佳化問題

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&M>0:Y\\&{\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ+B_{u}Y+Y^{T}B_{u}^{T}+B_{w}B_{w}^{T}+B_{p}MB_{p}^{T}&(C_{q}Q+D_{qu}Y)^{T}\\C_{q}Q+D_{qu}Y&-MI\end{bmatrix}}<0\\&K=YQ^{-1}\end{aligned}}

該 LMI 允許我們研究多面體不確定性情況下魯棒控制問題的穩定性，並給出該情況下的控制器。

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

LMI Methods in Optimal and Robust Control - 馬修·皮特關於控制中 LMI 的課程。
LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory - 萊恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。（3.20.2 頁 64）
線性矩陣不等式在系統與控制理論中的應用 - 斯蒂芬·博伊德撰寫的一本關於線性矩陣不等式的可下載書籍。