控制中的 LMI/頁面/可達集多面體

具有單位能量輸入的可達集；多面體不確定性

可達集是系統狀態在條件 $u=Kx$ 下達到的一組狀態。在本頁面中，我們將探討尋找控制器 $K$ 的問題，該控制器使得 $E$ 包含 $RS$ - 可達集。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{w}w+B_{u}u\\u&=Kx\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}x&\in R^{n}\\w&\in R^{m}\\u&\in R^{k}\\\end{aligned}}

在多面體不確定性情況下，我們有

{\begin{aligned}A(t)\;\;B_{w}(t)\;\;B_{u}(t)&\in {\textbf {Co}}\{[A_{1}\;\;B_{w,1}\;\;B_{u;1}],...,[A_{L}\;\;B_{w;L}\;\;B_{u;L}]\}\\\end{aligned}}

可達集可以定義為

{\begin{aligned}RS&=\{x(T)|u=Kx;\;\;x(0)=0;\;\;T\geq 0;\;\;\int _{0}^{T}w^{T}wdt<1\}\\\end{aligned}}

橢球 $E=\{\varepsilon \in R^{n}|\varepsilon ^{T}Q\varepsilon \leq 1\}$ 包含 $RS$

矩陣 $A,A_{i}\in R^{n\times n};\;B_{w},B_{w;i}\in R^{n\times m};\;B_{u},B_{u;i}\in R^{n\times k};Q\in R^{n\times n}$ 。並且

應該解決以下最佳化問題

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&Y>0:\\&QA_{i}^{T}+A_{i}Q+B_{u;i}Y+Y^{T}B_{u;i}^{T}+B_{w;i}B_{w;i}^{T}<0{\text{ for all }}i=1,...n\\&K=YQ^{-1}\end{aligned}}

此 LMI 使我們能夠在多面體不確定性情況下調查魯棒控制問題的穩定性，並給出這種情況下的控制器

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制中的課程。
LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。（第 3.20.2 頁，第 64 頁）
系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。