控制中的 LMI/pages/可達集範數有界

單位能量輸入的可達集；範數有界的不確定性

可達集是在條件 $u=Kx$ 下達到的系統狀態的集合。在本頁中，我們將探討找到一個控制器 $K$ 的問題，使得 $E\supseteq RS$ - 可達集。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{w}w+B_{u}u+B_{q}p\\q&=C_{q}x+D_{qw}w+D_{qu}u+D_{qp}p\\u&=Kx\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}x&\in R^{n}\\w&\in R^{m}\\u&\in R^{k}\\\end{aligned}}

在範數有界的不確定性情況下，我們有

{\begin{aligned}p&=\Delta (t)q\\&\|\Delta \|\leq 1\end{aligned}}

矩陣 $A\in R^{n\times n};\;B_{w}\in R^{n\times m};\;B_{u}\in R^{n\times k};B_{p}\in R^{n\times N_{p}};K\in R^{k\times n}$ .

$C_{q}\in R^{N_{q}\times n};\;D_{qu}\in R^{N_{q}\times k}D_{qw}\in R^{N_{q}\times m}D_{qp}\in R^{N_{q}\times N_{p}}$ .

可達集可以定義為

{\begin{aligned}RS&=\{x(T)|u=Kx;\;\;x(0)=0;\;\;T\geq 0;\;\;\int _{0}^{T}w^{T}wdt<1\}\\\end{aligned}}

橢球 $E=\{\varepsilon \in R^{n}|\varepsilon ^{T}Q\varepsilon \leq 1\}\supseteq RS$

應該解決以下最佳化問題

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&\mu >0:Y\\&{\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ+B_{u}Y+Y^{T}B_{u}^{T}+B_{w}B_{w}^{T}+\mu B_{p}B_{p}^{T}&(C_{q}Q+D_{qu}Y)^{T}\\C_{q}Q+D_{qu}Y&-\mu I\end{bmatrix}}<0\\&K=YQ^{-1}\end{aligned}}

或者

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&\mu >0:\sigma \\&{\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ+\sigma B_{u}B_{u}^{T}+B_{w}B_{w}^{T}+\mu B_{p}B_{p}^{T}&(C_{q}Q-\sigma D_{qu}B_{u}^{T}+\mu D_{qp}B_{p}^{T})^{T}\\C_{q}Q-\sigma D_{qu}B_{u}^{T}+\mu D_{qp}B_{p}^{T}&-\mu (I-D_{qp}D_{qp}^{T})\end{bmatrix}}<0\\&K=-{\frac {\sigma }{2}}B_{u}^{T}Q^{-1}\end{aligned}}

此 LMI 允許我們研究多面體不確定性情況下魯棒控制問題的穩定性，並給出這種情況下的控制器。

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。