線性代數/任何矩陣都代表一個線性對映/解答

解答

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

判斷該向量是否在矩陣的列空間中。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\2&5\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&-8\\2&-4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

解答

1. 是；我們要問的是是否存在標量 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得

   $c_{1}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$

   這導致了一個線性方程組

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&c_{2}&=&1\\2c_{1}&+&5c_{2}&=&-3\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&c_{2}&=&1\\&&4c_{2}&=&-4\end{array}}$

   高斯消元法得到 $c_{2}=-1$ 和 $c_{1}=1$。也就是說，確實存在這樣一對標量，因此該向量確實在矩陣的列空間中。
2. 不；我們想知道是否存在標量 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得

   $c_{1}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-8\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   一種解決方法是考慮由此產生的線性方程組

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}4c_{1}&-&8c_{2}&=&0\\2c_{1}&-&4c_{2}&=&1\end{array}}$

   可以很容易地看出它沒有解。另一種解決方法是注意到左側列的任何線性組合的第二項都是其第一項的一半，但右側的向量不滿足這個條件。
3. 是的；我們可以簡單地觀察到該向量是第一列減去第二列。或者，如果做不到，我們可以建立列之間的關係

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

   並考慮由此產生的線性方程組

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&2\\c_{1}&+&c_{2}&-&c_{3}&=&0\\-c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&2\\&&2c_{2}&-&2c_{3}&=&-2\\&&-2c_{2}&+&2c_{3}&=&2\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&2\\&&2c_{2}&-&2c_{3}&=&-2\\&&&&0&=&0\end{array}}$

   給出了除了存在至少一個解之外的附加資訊（即存在無限多個解）。引數化後得到 $c_{2}=-1+c_{3}$ 和 $c_{1}=1$，因此令 $c_{3}$ 為零得到一個特解 $c_{1}=1$，$c_{2}=-1$，以及 $c_{3}=0$（當然，這是在開頭做出的觀察）。

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問題 2

判斷每個向量是否屬於從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的對映的範圍內，該對映由矩陣表示（相對於標準基）。

1. ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&3\\4&0&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

解答

正如小節中所述，關於標準基，表示是透明的，因此，例如，第一個矩陣描述了此對映。

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\!\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\!\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\!\mapsto {\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}$

因此，對於第一個，我們詢問是否存在標量，使得

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$

也就是說，向量是否在矩陣的列空間中。

1. 是的。我們可以透過建立得到的線性系統並應用高斯方法，如往常一樣，得出這個結論。另一種獲得它的是透過觀察列方程注意到取 $c_{3}=3/4$, 和 $c_{1}=-5/4$, 和 $c_{2}=0$就可以了。還有第三種方法可以得出這個結論，那就是注意到矩陣的秩是 2，等於陪域的維度，因此對映是滿射的——範圍是整個 $\mathbb {R} ^{2}$，特別是包括給定的向量。
2. 不；請注意，矩陣中的所有列的第二項都是第一項的兩倍，而向量不是。或者，矩陣的列空間是

   $\{c_{1}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R} \}=\{c{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

   (這是已經注意到的事實，但它是透過計算而不是靈感得出的），給定的向量不在這個集合中。

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問題 3

考慮這個矩陣，它代表了對 $\mathbb {R} ^{2}$ 的變換，以及這些空間的基底。

${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

1. $B$ 中的第一個成員對映到陪域中的哪個向量？
2. 第二個成員呢？
3. 域中的一個一般向量（具有 $x$ 和 $y$ 作為分量的向量）被對映到哪裡？也就是說，這個矩陣相對於 $B,D$ 代表了 $\mathbb {R} ^{2}$ 的什麼變換？

解答

1. 基底的第一個成員

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}_{B}$

   被對映到

   ${\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}}_{D}$

   這是陪域中的這個成員。

   ${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

2. 基底的第二個成員被對映到

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}_{B}\mapsto {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}_{D}$

   到陪域的這個成員。

   ${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

3. 因為矩陣代表的對映是基上的恆等對映，所以它必須是域上所有成員的恆等對映。我們可以透過考慮以下內容以另一種方式得出相同的結論：

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}_{B}$

   它被對映到

   ${\begin{pmatrix}(x+y)/2\\(x-y)/2\end{pmatrix}}_{D}$

   它代表了 $\mathbb {R} ^{2}$ 的這個成員。

   ${\frac {x+y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {x-y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

問題 4

這個矩陣相對於 $B=\langle \cos \theta -\sin \theta ,\sin \theta \rangle$ 和 $D=\langle \cos \theta +\sin \theta ,\cos \theta \rangle$ 代表了 $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 的什麼變換？

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

解答

域的通用成員，相對於域的基表示為

$a\cos \theta +b\sin \theta ={\begin{pmatrix}a\\a+b\end{pmatrix}}_{B}$

被對映到

${\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}_{D}\quad {\text{representing}}\quad 0\cdot (\cos \theta +\sin \theta )+a\cdot (\cos \theta )$

因此，矩陣相對於這些基所表示的線性對映是

$a\cos \theta +b\sin \theta \mapsto a\cos \theta$

它表示到第一個分量的投影。

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問題 5

判斷 $1+2x$ 是否屬於從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的對映的像空間，該對映相對於 ${\mathcal {E}}_{3}$ 和 $\langle 1,1+x^{2},x\rangle$ 由該矩陣表示。

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$

解答

將給定的 ${\mathcal {P}}_{2}$ 基記為 $B$。然後線性對映的應用可以用矩陣向量乘法表示。因此，${\mathcal {E}}_{3}$ 中的第一個向量對映到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中相對於 $B$ 表示的元素是

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$

該元素是 $1+x$。其他兩個基向量影像的計算方式類似。

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{B}(4+x^{2})\quad {\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{B}(x)$

因此，我們可以透過尋找標量 $c_{1}$，$c_{2}$ 和 $c_{3}$ 來確定 $1+2x$ 是否在對映的範圍內，方法是：

$c_{1}\cdot (1)+c_{2}\cdot (1+x^{2})+c_{3}\cdot (x)=1+2x$

顯然，$c_{1}=1$，$c_{2}=0$，$c_{3}=1$ 就足夠了。因此，它在範圍內，事實上，它是此向量的影像。

$1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

問題 6

例 2.8 給出了一個非奇異矩陣，因此與非奇異對映相關聯。

1. 找到表示此矩陣所代表的任何對映的零空間成員的列向量集。
2. 找到任何此類對映的零度。
3. 找到表示此矩陣所代表的任何對映的範圍空間成員的列向量集。
4. 找到任何此類對映的秩。
5. 檢查秩加零度是否等於域的維數。

解答

設矩陣為 $G$，並假設它代表 $g:V\to W$ 關於基 $B$ 和 $D$。因為 $G$ 有兩列，$V$ 是二維的。因為 $G$ 有兩行，$W$ 是二維的。 $g$ 對域中的一個一般成員的作用是這樣的。

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{B}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}x+2y\\3x+6y\end{pmatrix}}_{D}$

1. 零向量在陪域中唯一的表示是

   ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {0}})={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}_{D}$

   因此，零空間成員的表示集是這個。

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{B}\,{\big |}\,x+2y=0{\text{ and }}3x+6y=0\}=\{y\cdot {\begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix}}_{D}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

2. 表示對映 ${\mbox{Rep}}_{D}:W\to \mathbb {R} ^{2}$ 及其逆是同構，因此保持子空間的維數。 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的上一項中提到的子空間是一維的。因此，該子空間在表示對映的逆對映下的像——$G$ 的零空間，也是一維的。
3. 值域成員的表示集是這個。

   $\{{\begin{pmatrix}x+2y\\3x+6y\end{pmatrix}}_{D}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{k\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}_{D}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$

4. 當然，定理 2.3 給出對映的秩等於矩陣的秩，即為 1。或者，上面用於零空間的相同論證在這裡給出範圍空間的維數為 1。
5. 1 加 1 等於 2。

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問題 7

因為矩陣的秩等於它所表示的任何對映的秩，如果一個矩陣表示兩個不同的對映 $H={\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$ （其中 $h,{\hat {h}}:V\to W$）那麼 $h$ 的範圍空間的維數是否等於 ${\hat {h}}$ 的範圍空間的維數？這些維數相等的範圍空間實際上必須相同嗎？

解答

不，範圍空間可能不同。 示例 2.2 顯示了這一點。

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問題 8

設 $V$ 是一個 $n$ 維空間，具有基底 $B$ 和 $D$。考慮一個對映，對於 ${\vec {v}}\in V$，將關於 $B$ 表示 ${\vec {v}}$ 的列向量對映到關於 $D$ 表示 ${\vec {v}}$ 的列向量。證明這是一個 $\mathbb {R} ^{n}$ 的線性變換。

解答

回想一下表示對映

$V{\stackrel {{\text{Rep}}_{B}}{\longmapsto }}\mathbb {R} ^{n}$

是一個同構。因此，它的逆對映${\mbox{Rep}}_{B}^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\to V$也是一個同構。我們想要的$\mathbb {R} ^{n}$ 的變換就是這個複合對映。

$\mathbb {R} ^{n}{\stackrel {{\text{Rep}}_{B}^{-1}}{\longmapsto }}V{\stackrel {{\text{Rep}}_{D}}{\longmapsto }}\mathbb {R} ^{n}$

由於同構的複合也是同構，因此這個對映${\mbox{Rep}}_{D}\circ {\mbox{Rep}}_{B}^{-1}$是一個同構。

問題 9

示例 2.2 顯示，即使域和陪域保持不變，改變基底對也會改變矩陣所表示的對映。對映真的不會發生變化嗎？是否存在一個矩陣$H$，向量空間$V$ 和 $W$，以及相關基底對$B_{1},D_{1}$ 和 $B_{2},D_{2}$（其中$B_{1}\neq B_{2}$ 或者 $D_{1}\neq D_{2}$ 或者兩者都滿足）使得 $H$ 相對於 $B_{1},D_{1}$ 所表示的對映等於 $H$ 相對於 $B_{2},D_{2}$ 所表示的對映嗎？

解答

是的。考慮

$H={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

表示從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的對映。關於標準基 $B_{1}={\mathcal {E}}_{2},D_{1}={\mathcal {E}}_{2}$，此矩陣表示恆等對映。關於

$B_{2}=D_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

此矩陣再次表示恆等對映。事實上，只要起始基和結束基相等——只要 $B_{i}=D_{i}$——那麼由 $H$ 表示的對映就是恆等對映。

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問題 10

如果一個方陣除了其左上到右下對角線上的元素——其 $1,1$ 元素、其 $2,2$ 元素等之外，其他元素都是零，那麼它就是一個對角矩陣。證明線性對映當且僅當存在一組基，使得關於這些基，該對映由一個對角線上沒有零元素的對角矩陣表示時，該線性對映為同構。

解答

這直接從 推論 2.6 得出。

問題 11

用幾何方法描述關於標準基 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 由此矩陣表示的對映作用於 $\mathbb {R} ^{2}$ 的方式。

${\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}}$

對以下矩陣進行相同的操作。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}$

解答

第一個對映

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}3x\\2y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}3x\\2y\end{pmatrix}}$

在 $x$ 方向上將向量拉伸 3 倍，在 $y$ 方向上將向量拉伸 2 倍。第二個對映

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$

將向量投影到 $x$ 軸上。第三個

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$

交換第一個和第二個分量（即，它關於直線 $y=x$ 反射）。最後一個

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+3y\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}x+3y\\y\end{pmatrix}}$

平行於 $y$ 軸拉伸向量，拉伸量等於它們到該軸距離的 3 倍（這是一種 **斜切**）。

問題 12

對於任何線性對映，秩加上零度等於域的維數，這一事實表明，在兩個空間之間存在同態對映到第二個空間的必要條件是維數不增加。也就是說，當 $h:V\to W$ 是滿射時，$W$ 的維數必須小於或等於 $V$ 的維數。

1. 證明這個（強）逆命題成立：維數不增加意味著存在同態對映，並且進一步地，任何具有正確大小和正確秩的矩陣都表示這種對映。
2. 是否存在 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基使得此矩陣

   $H={\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

   表示從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的對映，其值域是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 $xy$ 平面子空間？

解答

1. 這直接來自 定理 2.3。
2. 是的。這直接來自上一條。為了給出具體的例子，我們可以以 ${\mathcal {E}}_{3}$ 作為域的基，然後我們需要一個基 $D$ 作為陪域 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基。矩陣 $H$ 給出了對映的作用，如下所示

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}_{D}$

   並且找到一個基底$D$ 不會造成任何傷害，這樣：

   ${\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\mbox{and}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}$

   也就是說，使關於${\mathcal {E}}_{3},D$ 的$H$ 所表示的對映為投影到$xy$ 平面上的投影。第二個條件表明$D$ 的第三個成員是${\vec {e}}_{2}$。第一個條件表明$D$ 的第一個成員加上第二個成員的兩倍等於${\vec {e}}_{1}$，所以這個基底是合適的。

   $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

問題 13

設 $V$ 是一個 $n$ 維空間，並假設 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$。固定一個 $B$ 作為 $V$ 的一個基底，並考慮對映 $h_{\vec {x}}:V\to \mathbb {R}$，由點積給出 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$。

1. 證明該對映是線性的。
2. 證明對於任何線性對映 $g:V\to \mathbb {R}$，存在一個 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 使得 $g=h_{\vec {x}}$。
3. 在上一條中，我們固定了基底，並改變了 ${\vec {x}}$ 來獲得所有可能的線性對映。我們能否透過固定一個 ${\vec {x}}$ 並改變基底來獲得所有可能的線性對映？

解答

1. 回想一下，表示對映 ${\mbox{Rep}}_{B}:V\to \mathbb {R} ^{n}$ 是線性的（它實際上是一個同構，但我們這裡不需要它是單射或滿射）。將列向量 $x$ 視為一個 $n\!\times \!1$ 矩陣，則從 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R}$ 的對映，將列向量對映到它與 ${\vec {x}}$ 的點積是線性的（這是一個矩陣向量積，因此 定理 2.1 適用）。因此，正在考慮的對映 $h_{\vec {x}}$ 是線性的，因為它是由兩個線性對映的複合構成的。

   ${\vec {v}}\mapsto {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})\mapsto {\vec {x}}\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$

2. 任何線性對映 $g:V\to \mathbb {R}$ 由某個矩陣表示

   ${\begin{pmatrix}g_{1}&g_{2}&\cdots &g_{n}\end{pmatrix}}$

   （矩陣有 $n$ 列，因為 $V$ 是 $n$ 維的，它只有一行，因為 $\mathbb {R}$ 是一維的）。然後取 ${\vec {x}}$ 為該矩陣的轉置的列向量

   ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}g_{1}\\\vdots \\g_{n}\end{pmatrix}}$

   具有所需的行動。

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}g_{1}\\\vdots \\g_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=g_{1}v_{1}+\dots +g_{n}v_{n}$

3. 不。如果 ${\vec {x}}$ 有任何非零項，那麼 $h_{\vec {x}}$ 不能為零對映（如果 ${\vec {x}}$ 是零向量，那麼 $h_{\vec {x}}$ 只能為零對映）。

問題 14

令 $V,W,X$ 是具有基 $B,C,D$ 的向量空間。

1. 假設 $h:V\to W$ 關於 $B,C$ 由矩陣 $H$ 表示。給出關於 $B,C$ 表示的標量倍數 $rh$（其中 $r\in \mathbb {R}$）的矩陣，用 $H$ 表示。
2. 假設 $h,g:V\to W$ 分別關於 $B,C$ 由 $H$ 和 $G$ 表示。求出關於 $B,C$ 表示 $h+g$ 的矩陣，用 $H$ 和 $G$ 表示。
3. 假設 $h:V\to W$ 關於 $B,C$ 由 $H$ 表示，而 $g:W\to X$ 關於 $C,D$ 由 $G$ 表示。求出關於 $B,D$ 表示 $g\circ h$ 的矩陣，用 $H$ 和 $G$ 表示。

解答

參見下一節。