線性代數/任何矩陣都表示線性對映

前面的部分表明，線性對映 $h$ 的作用由矩陣 $H$ 描述，相對於適當的基，以這種方式。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{B}\;{\overset {h}{\underset {H}{\longmapsto }}}\;{\begin{pmatrix}h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n}\\\vdots \\h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n}\end{pmatrix}}_{D}=h({\vec {v}})$

在本節中，我們將展示反之，即每個矩陣都表示一個線性對映。

回顧一下，線上性對映的矩陣表示的定義中，矩陣的列數是對映定義域的維數，矩陣的行數是對映陪域的維數。因此，例如，一個 $2\!\times \!3$ 矩陣不能表示從 $\mathbb {R} ^{5}$ 到 $\mathbb {R} ^{4}$ 的對映。下面的結果表明，除了對維數的限制之外，沒有其他限制：$2\!\times \!3$ 矩陣表示從任何三維空間到任何二維空間的對映。

定理 2.1

任何矩陣都表示向量空間之間同態，其維數適當，相對於任何一對基。

證明

對於矩陣

$H=\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right)$

修復任何$n$維域空間$V$和任何$m$維陪域空間$W$。同樣修復這些空間的基$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$和$D=\langle {\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{m}\rangle$。定義一個函式$h:V\to W$透過：其中域中的${\vec {v}}$表示為

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{B}$

然後它的影像$h({\vec {v}})$是陪域中由以下表示的成員

${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n}\\\vdots \\h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n}\end{pmatrix}}_{D}$

也就是說，$h({\vec {v}})=h(v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n})$ 被定義為 $(h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +(h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}$。（這是由表示 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 的唯一性決定的。）

觀察到 $h$ 只是被定義為關於 $B,D$ 由矩陣 $H$ 表示的對映。所以，我們只需要驗證 $h$ 是線性的。如果 ${\vec {v}},{\vec {u}}\in V$ 使得

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}})={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}$

以及 $c,d\in \mathbb {R}$，那麼計算

${\begin{array}{rl}h(c{\vec {v}}+d{\vec {u}})&={\bigl (}h_{1,1}(cv_{1}+du_{1})+\dots +h_{1,n}(cv_{n}+du_{n}){\bigr )}\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\\&\quad \cdots +{\bigl (}h_{m,1}(cv_{1}+du_{1})+\dots +h_{m,n}(cv_{n}+du_{n}){\bigr )}\cdot {\vec {\delta }}_{m}\\&=c\cdot h({\vec {v}})+d\cdot h({\vec {u}})\end{array}}$

提供了此驗證。

示例 2.2

矩陣表示的對映取決於使用的基底。如果

$H={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad B_{1}=D_{1}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle ,\quad {\text{and}}\quad B_{2}=D_{2}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle ,$

那麼 $h_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由 $H$ 相對於 $B_{1},D_{1}$ 表示的對映

${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}_{B_{1}}\quad \mapsto \quad {\begin{pmatrix}c_{1}\\0\end{pmatrix}}_{D_{1}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\0\end{pmatrix}}$

當 $h_{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 以 $H$ 相對於 $B_{2},D_{2}$ 表示時，這個對映就如以下所示。

${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{2}\\c_{1}\end{pmatrix}}_{B_{2}}\quad \mapsto \quad {\begin{pmatrix}c_{2}\\0\end{pmatrix}}_{D_{2}}={\begin{pmatrix}0\\c_{2}\end{pmatrix}}$

這兩個是不同的。第一個是到 $x$ 軸的投影，而第二個是到 $y$ 軸的投影。

因此，不僅任何線性對映都可以用矩陣表示，而且任何矩陣都可以表示一個線性對映。這意味著，在需要時，我們可以完全用矩陣來處理線性對映，只需進行運算，而不必擔心目標矩陣是否代表某個特定空間對上的線性對映。（在實踐中，當我們使用矩陣但沒有指定空間或基底時，我們通常會將域和陪域視為 $\mathbb {R} ^{n}$ 和 $\mathbb {R} ^{m}$ 並使用標準基底。在這種情況下，由於表示是透明的——${\vec {v}}$ 相對於標準基底的表示就是 ${\vec {v}}$ ——矩陣的列空間等於對映的值域。因此，$H$ 的列空間通常用 ${\mathcal {R}}(H)$ 表示。）

透過這個定理，我們已經將線性對映描述為以這種矩陣方式運作的對映。每個線性對映都可以用矩陣表示，每個矩陣都可以表示一個線性對映。在本節的最後，我們將說明如何利用矩陣來了解其對映的資訊。

定理 2.3

矩陣的秩等於它所表示的任何對映的秩。

證明

假設矩陣 $H$ 是 $m\!\times \!n$。固定定義域和陪域空間 $V$ 和 $W$，它們分別具有 $n$ 和 $m$ 的維數，且基底分別為 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 和 $D$。那麼 $H$ 表示在這些基底下，某個從這些空間到這些空間的線性對映 $h$，其值域

${\begin{array}{rl}\{h({\vec {v}})\,{\big |}\,{\vec {v}}\in V\}&=\{h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} \}\\&=\{c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} \}\end{array}}$

跨度 $[\{h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\}]$。$h$ 的秩是這個值域空間的維數。

矩陣的秩是它的列秩（或行秩；兩者相等）。 它是矩陣的列空間的維數，即列向量集 $[\{{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1})),\dots ,{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{n}))\}]$ 的跨度。

為了看到這兩個跨度具有相同的維數，回想一下關於基的表示給出了一個同構 ${\mbox{Rep}}_{D}:W\to \mathbb {R} ^{m}$。 在這種同構下，值域空間的成員之間存線上性關係當且僅當在列空間中也存在相同的線性關係，例如，${\vec {0}}=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$ 當且僅當 ${\vec {0}}=c_{1}{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1}))+\dots +c_{n}{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{n}))$。 因此，值域空間的子集線性無關當且僅當列空間的對應子集線性無關。 這意味著值域空間中最大線性無關子集的大小等於列空間中最大線性無關子集的大小，因此這兩個空間具有相同的維數。

例 2.4

任何由

${\begin{pmatrix}1&2&2\\1&2&1\\0&0&3\\0&0&2\end{pmatrix}}$

表示的對映必須，根據定義，是從三維域到四維陪域。 此外，因為這個矩陣的秩是 2（我們可以透過觀察來確定，或者透過高斯方法得到），任何由這個矩陣表示的對映都有一個二維值域空間。

推論 2.5

設 $h$ 是由矩陣 $H$ 表示的線性對映。 那麼，$h$ 是滿射當且僅當 $H$ 的秩等於它的行數，並且 $h$ 是單射當且僅當 $H$ 的秩等於它的列數。

證明

前半部分，$h$ 的值域空間的維數是 $h$ 的秩，根據定理，這等於 $H$ 的秩。由於 $h$ 的陪域的維數是 $H$ 的行數，如果 $H$ 的秩等於行數，則值域空間的維數等於陪域的維數。但是，與上空間具有相同維數的子空間必須等於該上空間（值域空間的基是陪域的線性無關子集，其大小等於陪域的維數，因此該集合是陪域的基）。

對於第二部分，線性對映是一對一的，當且僅當它是其定義域與其值域之間的同構，也就是說，當且僅當其定義域與值域具有相同的維數。但是，$H$ 中列的數量是 $h$ 的定義域的維數，根據定理，$H$ 的秩等於 $h$ 的值域的維數。

上述結果消除了我們使用“秩”這個詞時產生的任何混淆，該詞在應用於矩陣和應用於對映時似乎表示不同的意思。我們還可以證明“非奇異”的雙重使用是合理的。我們已經將矩陣定義為：如果它是方陣並且是具有唯一解的線性系統的係數矩陣，則它是非奇異的；我們已經將線性對映定義為：如果它是單射的，則它是非奇異的。

推論 2.6

方陣表示非奇異對映，當且僅當它是非奇異矩陣。因此，矩陣表示同構，當且僅當它是方陣且非奇異。

證明

直接來自先前結果。

示例 2.7

從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 ${\mathcal {P}}_{1}$ 的任何對映，在任何一對基的表示下，都可以表示為

${\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}$

是非奇異的，因為這個矩陣的秩為 2。

示例 2.8

任何對映 $g:V\to W$ 由以下矩陣表示

${\begin{pmatrix}1&2\\3&6\end{pmatrix}}$

是非奇異的，因為這個矩陣是非奇異的。

我們現在已經看到對映與矩陣之間的關係是雙向的：固定基，任何線性對映都可以用矩陣表示，任何矩陣都可以描述線性對映。也就是說，透過固定空間和基，我們可以在對映與矩陣之間建立對應關係。在本章的剩餘部分，我們將探討這種對應關係。例如，我們已經定義了線性對映的加法和標量乘法運算，我們將看到相應的矩陣運算是什麼。我們還將看到表示映射覆合運算的矩陣運算。並且，我們將看到如何找到表示對映逆運算的矩陣。

練習

建議所有讀者練習這道題。

問題 1

判斷向量是否在矩陣的列空間中。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\2&5\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&-8\\2&-4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者練習這道題。

問題 2

確定每個向量是否位於從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的對映（以標準基表示）的範圍內。

1. ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&3\\4&0&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者練習這道題。

問題 3

考慮此矩陣，它表示對 $\mathbb {R} ^{2}$ 的變換，以及該空間的這些基。

${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

1. B 的第一個成員對映到陪域中的哪個向量？
2. 第二個成員呢？
3. 域中的一個一般向量（具有 $x$ 和 $y$ 元件的向量）對映到哪裡？也就是說，$\mathbb {R} ^{2}$ 的什麼變換相對於 $B,D$ 由此矩陣表示？

問題 4

相對於 $B=\langle \cos \theta -\sin \theta ,\sin \theta \rangle$ 和 $D=\langle \cos \theta +\sin \theta ,\cos \theta \rangle$，$F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 的什麼變換由該矩陣表示？

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者練習這道題。

問題 5

確定 $1+2x$ 是否在從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的對映的範圍內，該對映相對於 ${\mathcal {E}}_{3}$ 和 $\langle 1,1+x^{2},x\rangle$ 由此矩陣表示。

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$

問題 6

示例 2.8 給出了一個非奇異矩陣，因此與非奇異對映相關聯。

1. 找到一組列向量，代表任何由該矩陣表示的對映的零空間的成員。
2. 找到任何此類對映的零度。
3. 找到一組列向量，代表任何由該矩陣表示的對映的範圍空間的成員。
4. 找到任何此類對映的秩。
5. 檢查秩加上零度是否等於域的維數。

建議所有讀者練習這道題。

問題 7

因為矩陣的秩等於它所代表的任何對映的秩，如果一個矩陣代表兩個不同的對映 $H={\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$（其中 $h,{\hat {h}}:V\to W$）那麼，$h$ 的值域空間的維數等於 ${\hat {h}}$ 的值域空間的維數。這兩個維數相同的空間實際上必須是相同的嗎？

建議所有讀者練習這道題。

問題 8

令 $V$ 是一個 $n$ 維空間，基為 $B$ 和 $D$。考慮一個對映，對於 ${\vec {v}}\in V$，將相對於 $B$ 表示的 ${\vec {v}}$ 的列向量對映到相對於 $D$ 表示的 ${\vec {v}}$ 的列向量。證明這是一個 $\mathbb {R} ^{n}$ 的線性變換。

問題 9

示例 2.2 顯示，改變基底對可以改變矩陣所代表的對映，即使域和陪域保持不變。對映是否可能不發生變化？是否存在一個矩陣 $H$，向量空間 $V$ 和 $W$，以及相關的基底對 $B_{1},D_{1}$ 和 $B_{2},D_{2}$（其中 $B_{1}\neq B_{2}$ 或 $D_{1}\neq D_{2}$ 或兩者兼有），使得 $H$ 關於 $B_{1},D_{1}$ 所代表的對映等於 $H$ 關於 $B_{2},D_{2}$ 所代表的對映？

建議所有讀者練習這道題。

問題 10

如果一個方陣除了其左上角到右下角的對角線上的元素（即其 $1,1$ 元素、其 $2,2$ 元素等）之外的所有元素都是零，則稱該方陣為 **對角矩陣**。證明：如果存在這樣的基底，使得關於這些基底，線性對映由一個對角線元素不為零的對角矩陣表示，則該線性對映是同構。

問題 11

用幾何方法描述關於標準基底 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 由該矩陣表示的對映在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的動作。

${\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}}$

對以下矩陣做同樣的事情。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}$

問題 12

任何線性對映的秩加上零度等於域的維數這一事實表明，在兩個空間之間存在同態對映到第二個空間的必要條件是維度沒有增加。也就是說，當 $h:V\to W$ 是滿射時，$W$ 的維數必須小於或等於 $V$ 的維數。

1. 證明這個（強）逆命題成立：維度沒有增加意味著存在同態對映，並且任何具有正確大小和正確秩的矩陣都代表這種對映。
2. 是否存在 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基，使得這個矩陣

   $H={\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

   代表從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的對映，其值域是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 $xy$ 平面子空間？

問題 13

令 $V$ 是一個 $n$ 維空間，並假設 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$。固定 $V$ 的一個基 $B$，並考慮對映 $h_{\vec {x}}:V\to \mathbb {R}$，由點積給出 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$。

1. 證明這個對映是線性的。
2. 證明對於任何線性對映 $g:V\to \mathbb {R}$，都存在一個 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$，使得 $g=h_{\vec {x}}$。
3. 在上一項中，我們固定了基底並改變了 ${\vec {x}}$ 來得到所有可能的線性對映。我們是否可以透過固定 ${\vec {x}}$ 並改變基底來得到所有可能的線性對映？

問題 14

設 $V,W,X$ 是具有基底 $B,C,D$ 的向量空間。

1. 假設 $h:V\to W$ 關於 $B,C$ 由矩陣 $H$ 表示。求關於 $B,C$ 表示的標量倍數 $rh$（其中 $r\in \mathbb {R}$）的矩陣，用 $H$ 表示。
2. 假設 $h,g:V\to W$ 關於 $B,C$ 分別表示為 $H$ 和 $G$。試用 $H$ 和 $G$ 表示關於 $B,C$ 的 $h+g$ 的矩陣。
3. 假設 $h:V\to W$ 關於 $B,C$ 表示為 $H$，並且 $g:W\to X$ 關於 $C,D$ 表示為 $G$。試用 $H$ 和 $G$ 表示關於 $B,D$ 的 $g\circ h$ 的矩陣。

解答