線性代數/用矩陣表示線性對映

示例 1.1

考慮一個對映 $h$ 它的定義域是 $\mathbb {R} ^{2}$，值域是 $\mathbb {R} ^{3}$（固定

$B=\langle {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

作為這些空間的基），由其對定義域基向量上的操作確定。

${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$

為了計算這個對映對定義域中任何向量的作用，我們首先用值域的基表示 $h({\vec {\beta }}_{1})$ 和 $h({\vec {\beta }}_{2})$

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{so}}\quad {\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1}))={\begin{pmatrix}0\\-1/2\\1\end{pmatrix}}_{D}$

和

${\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}+0{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{so}}\quad {\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{2}))={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}_{D}$

(這些很容易檢查)。然後，正如前言中所述，對於域中的任何成員${\vec {v}}$，我們可以用$h({\vec {\beta }})$來表示影像$h({\vec {v}})$。

${\begin{array}{rl}h({\vec {v}})&=h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})\\&=c_{1}\cdot (0{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\!-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}\!+1{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\!)+c_{2}\cdot (1{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\!-1{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}\!+0{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\!)\\&=(0c_{1}+1c_{2})\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+(-{\frac {1}{2}}c_{1}-1c_{2})\cdot {\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}+(1c_{1}+0c_{2})\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

因此，

如果 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$，那麼 ${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}0c_{1}+1c_{2}\\-(1/2)c_{1}-1c_{2}\\1c_{1}+0c_{2}\end{pmatrix}}$。

例如，

如果 ${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}_{B}$，那麼 ${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}})\,)={\begin{pmatrix}2\\-5/2\\1\end{pmatrix}}$。

我們將使用矩陣表示來表達如上所述的計算。

${\begin{pmatrix}0&1\\-1/2&-1\\1&0\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}0c_{1}+1c_{2}\\(-1/2)c_{1}-1c_{2}\\1c_{1}+0c_{2}\end{pmatrix}}_{D}$

中間是引數 ${\vec {v}}$ 到對映，相對於域的基底 $B$ 用一個列向量表示，其分量為 $c_{1}$ 和 $c_{2}$。右邊是對映在這個引數上的值 $h({\vec {v}})$，相對於陪域的基底 $D$ 用一個列向量表示，其分量為 $0c_{1}+1c_{2}$ 等。左邊是新事物。它由右邊向量中的係數組成， $0$ 和 $1$ 來自第一行， $-1/2$ 和 $-1$ 來自第二行，以及 $1$ 和 $0$ 來自第三行。

這種表示法只是將右邊部分，係數和 $c$，分別放在左邊，變成一個表示對映引數的向量和一個用來表示對映本身的矩陣。

定義 1.2

假設$V$ 和 $W$ 是維數分別為 $n$ 和 $m$ 的向量空間，基分別為 $B$ 和 $D$，且 $h:V\to W$ 是一個線性對映。如果

${\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1}))={\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\\\vdots \\h_{m,1}\end{pmatrix}}_{D}\;\ldots \;{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{n}))={\begin{pmatrix}h_{1,n}\\h_{2,n}\\\vdots \\h_{m,n}\end{pmatrix}}_{D}$

那麼

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right)_{B,D}$

是關於 $B,D$ 的 $h$ 的矩陣表示。

簡而言之，將表示 $h({\vec {\beta }})$ 的向量並置起來，就形成了表示該對映的矩陣。

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {\beta }}_{1})\,)&\cdots &{\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {\beta }}_{n})\,)\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)$

觀察矩陣的列數 $n$ 是對映域的維數，行數 $m$ 是陪域的維數。

示例 1.3

如果 $h:\mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {P}}_{1}$ 由下式給出

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}(2a_{1}+a_{2})+(-a_{3})x$

那麼，當

$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad D=\langle 1+x,-1+x\rangle$

$h$ 對 $B$ 的作用如下：

${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}-x\qquad {\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}2\qquad {\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}4$

簡單的計算得到

${\rm {Rep}}_{D}(-x)={\begin{pmatrix}-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(2)={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(4)={\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}_{D}$

表明這正是關於這些基的線性對映 $h$ 的矩陣表示。

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\begin{pmatrix}-1/2&1&2\\-1/2&-1&-2\end{pmatrix}}_{B,D}$

我們使用小寫字母來表示對映，大寫字母來表示矩陣，並再次使用小寫字母來表示矩陣的元素。因此，對於對映 $h$，表示它的矩陣是 $H$，其元素是 $h_{i,j}$。

定理 1.4

假設 $V$ 和 $W$ 是維數分別為 $m$ 和 $n$ 的向量空間，基分別為 $B$ 和 $D$，並且 $h:V\to W$ 是一個線性對映。如果 $h$ 由

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right)_{B,D}$

表示，而 ${\vec {v}}\in V$ 由

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}_{B}$

表示，則 ${\vec {v}}$ 的像的表示如下。

${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}h_{1,1}c_{1}+h_{1,2}c_{2}+\dots +h_{1,n}c_{n}\\h_{2,1}c_{1}+h_{2,2}c_{2}+\dots +h_{2,n}c_{n}\\\vdots \\h_{m,1}c_{1}+h_{m,2}c_{2}+\dots +h_{m,n}c_{n}\end{pmatrix}}_{D}$

證明

問題 18.

我們將把矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 和向量 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 視為組合成向量 ${\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {v}}))$ 。

定義 1.5

一個 $m\!\times \!n$ 矩陣和一個 $n\!\times \!1$ 向量的 **矩陣-向量乘積** 是這樣的。

$\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\&\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}c_{1}+a_{1,2}c_{2}+\dots +a_{1,n}c_{n}\\a_{2,1}c_{1}+a_{2,2}c_{2}+\dots +a_{2,n}c_{n}\\\vdots \\a_{m,1}c_{1}+a_{m,2}c_{2}+\dots +a_{m,n}c_{n}\end{pmatrix}}$

定義 1.2 的目的是推廣 示例 1.1，也就是說，定義的目的是 定理 1.4，矩陣描述瞭如何從域向量關於域基的表示得到其像關於陪域基的表示。有了 定義 1.5，我們可以將其重新表述為：線性對映的應用用對映的代表矩陣和向量的代表矩陣的矩陣-向量乘積表示。

示例 1.6

使用 示例 1.3 中的矩陣，我們可以計算該對映將該向量傳送到的位置。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}$

該向量相對於域基底 $B$ 表示為

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}0\\1/2\\2\end{pmatrix}}_{B}$

因此，這是相對於陪域基底 $D$ 的值 $h({\vec {v}})$ 的表示。

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {v}}))&={\begin{pmatrix}-1/2&1&2\\-1/2&-1&-2\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}0\\1/2\\2\end{pmatrix}}_{B}\\&={\begin{pmatrix}(-1/2)\cdot 0+1\cdot (1/2)+2\cdot 2\\(-1/2)\cdot 0-1\cdot (1/2)-2\cdot 2\end{pmatrix}}_{D}={\begin{pmatrix}9/2\\-9/2\end{pmatrix}}_{D}\end{array}}$

為了找到 $h({\vec {v}})$ 本身，而不是它的表示，取 $(9/2)(1+x)-(9/2)(-1+x)=9$.

例 1.7

令 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 為投影到 $xy$-平面上的對映。為了給出表示該對映的矩陣，我們首先固定基底。

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

對於域基底中的每個向量，我們找到它在對映下的像。

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$

然後我們找到每個影像關於餘域基的表示

${\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

(這些很容易檢查)。最後，將這些表示並起來就得到了關於 $\pi$ 的矩陣，關於 $B,D$。

${\rm {Rep}}_{B,D}(\pi )={\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}}_{B,D}$

我們可以透過計算矩陣-向量積來說明 定理 1.4，該矩陣-向量積表示關於投影對映的以下陳述。

$\pi ({\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

將這個域向量關於域基進行表示

${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}_{B}$

得到這個矩陣-向量積。

${\rm {Rep}}_{D}(\,\pi ({\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}})\,)={\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{D}$

將該表示擴充套件為來自 $D$ 的向量的線性組合。

$0\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

驗證了對映的作用確實反映在矩陣的運算中。（有時我們將這三個顯示的方程壓縮成一個方程）

${\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}_{B}\;{\overset {h}{\underset {H}{\longmapsto }}}\;{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{D}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

在計算過程中）。

我們現在有兩種方法可以計算投影的效果，一種是直接的公式，它將每個三維向量中的第三個分量刪除以形成二維向量；另一種是上面的公式，它使用表示和矩陣向量乘法。與第一種方法相比，第二種方法可能看起來很複雜。然而，它有優勢。下一個例子表明，使用這種新方案，可以簡化一些對映的公式。

例 1.8

為了表示一個旋轉對映 $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，它將平面中的所有向量逆時針旋轉一個角度 $\theta$

我們首先固定基。使用 ${\mathcal {E}}_{2}$ 作為域基和陪域基是自然的，現在，我們找到域基中每個向量在該對映下的像。

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

然後我們用陪域基來表示這些像。因為這個基是 ${\mathcal {E}}_{2}$，向量用自身表示。最後，將表示組合起來得到表示該對映的矩陣。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t_{\theta })={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

這種方案的優勢在於，只要知道如何表示兩個基向量的像，我們就可以得到一個公式，告訴我們任何向量的像；這裡一個被 $\theta =\pi /6$ 旋轉的向量。

${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\;{\stackrel {t_{\pi /6}}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}3.598\\-0.232\end{pmatrix}}$

(Again, we are using the fact that, with respect to ${\mathcal {E}}_{2}$, vectors represent themselves.)

我們已經看到了矩陣的加法和標量乘法運算，以及向量的點積運算。矩陣-向量乘法是向量和矩陣運算中的一種新運算。在定義 1.5中，沒有任何內容要求我們將它視為表示。我們可以透過擺脫被表示的內容，轉而關注條目是如何組合的，來了解這種運算。

示例 1.9

在定義中，矩陣的寬度等於向量的長度。因此，下面的第一個乘積是定義好的，而第二個不是。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\4&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&0\\4&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

這個乘積沒有被定義的一個原因純粹是形式上的：定義要求大小匹配，而這些大小並不匹配。然而，在形式背後，還有一個原因讓我們把它留作未定義——矩陣代表一個具有三維域的對映，而向量代表一個二維空間中的成員。

一個看待矩陣-向量乘積的好方法是將矩陣的行與列向量進行點積。

${\begin{pmatrix}&\vdots \\a_{i,1}&a_{i,2}&\ldots &a_{i,n}\\&\vdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}c_{1}+a_{i,2}c_{2}+\ldots +a_{i,n}c_{n}\\\vdots \end{pmatrix}}$

從這種逐行的方式來看，這種新運算概括了點積。

矩陣-向量乘法也可以從逐列的角度來看。

${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}h_{1,1}c_{1}+h_{1,2}c_{2}+\dots +h_{1,n}c_{n}\\h_{2,1}c_{1}+h_{2,2}c_{2}+\dots +h_{2,n}c_{n}\\\vdots \\h_{m,1}c_{1}+h_{m,2}c_{2}+\dots +h_{m,n}c_{n}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}{\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\\\vdots \\h_{m,1}\end{pmatrix}}+\dots +c_{n}{\begin{pmatrix}h_{1,n}\\h_{2,n}\\\vdots \\h_{m,n}\end{pmatrix}}\end{array}}$

示例 1.10

${\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}}$

結果是矩陣的列向量乘以向量的元素得到的。這種理解方式讓我們回到了本節開頭提到的目標，計算 $h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})$ 為 $c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$.

我們從本節開頭就注意到這兩個的相等性，這使我們能夠計算$h$對任何引數的作用，只需知道$h({\vec {\beta }}_{1})$，...，$h({\vec {\beta }}_{n})$。我們已經將其發展成一個方案，透過取表示對映的矩陣和表示引數的向量的矩陣向量積來計算對映的作用。以這種方式，任何線性對映都透過一個矩陣相對於某些基來表示。在下節中，我們將展示其逆命題，即任何矩陣都表示一個線性對映。

練習

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問題 1

將矩陣

${\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-1&2\\1&1&0\end{pmatrix}}$

分別與每個向量相乘（或說明未定義）。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

問題 2

如果可能，執行每個矩陣向量乘法。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&-1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$

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問題 3

求解此矩陣方程。

${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&3\\1&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\4\\4\end{pmatrix}}$

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問題 4

對於來自 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的同態，它傳送

$1\mapsto 1+x,\quad x\mapsto 1+2x,\quad {\text{and}}\quad x^{2}\mapsto x-x^{3}$

那麼 $1-3x+2x^{2}$ 會對映到哪裡？

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問題 5

假設 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 由以下作用確定。

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

使用標準基，求

1. 表示該對映的矩陣；
2. 關於 $h({\vec {v}})$ 的一般公式。

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問題 6

設 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 是導數變換。

1. 關於 $B,B$ 表示 $d/dx$，其中 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$.
2. 關於 $B,D$ 表示 $d/dx$，其中 $D=\langle 1,2x,3x^{2},4x^{3}\rangle$.

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問題 7

關於每對基，分別表示每個線性對映。

1. $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 關於 $B,B$ 表示，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$，由

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{1}+2a_{2}x+\dots +na_{n}x^{n-1}$

2. $\int :{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n+1}$ 關於 $B_{n},B_{n+1}$，其中 $B_{i}=\langle 1,x,\dots ,x^{i}\rangle$，給出如下：

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}x+{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}$

3. $\int _{0}^{1}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 關於 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 以及 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，給出如下：

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+{\frac {a_{1}}{2}}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}$

4. ${\text{eval}}_{3}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 關於 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，由下式給出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot 3+a_{2}\cdot 3^{2}+\dots +a_{n}\cdot 3^{n}$

5. ${\text{slide}}_{-1}:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 關於 $B,B$，其中 $B=\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$，由下式給出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot (x+1)+\dots +a_{n}\cdot (x+1)^{n}$

問題 8

用關於 $B,B$ 的表示形式表示任何非平凡空間上的恆等對映，其中 $B$ 是任何基。

問題 9

用關於自然基的表示形式表示在 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ $2\!\times \!2$ 矩陣空間上的轉置變換。

問題 10

假設 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3},{\vec {\beta }}_{4}\rangle$ 是向量空間的基。用 $B,B$ 表示每個確定的變換。

1. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
2. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
3. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$

問題 11

示例 1.8 展示瞭如何用標準基表示平面的旋轉變換。用標準基表示這些變換：

1. 縮放對映 $d_{s}$，它將所有向量乘以相同的標量 $s$
2. 反射對映 $f_{\ell }$，它將所有向量跨過一條穿過原點的直線 $\ell$ 反射

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問題 12

考慮由以下兩個方程確定的 $\mathbb {R} ^{2}$ 的線性變換：

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$

1. 用標準基表示此變換。
2. 變換將此向量對映到哪裡？

   ${\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}$

3. 用以下基表示此變換。

   $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

4. 使用前面一項中的$B$，表示相對於$B,B$的變換。

問題 13

假設$h:V\to W$是非奇異的，因此根據定理 II.2.21，對於任何基$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle \subset V$，像$h(B)=\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是$W$ 的一個基。

1. 表示相對於$B,h(B)$ 的對映$h$。
2. 對於域中的一個成員${\vec {v}}$，其中${\vec {v}}$ 的表示形式具有分量$c_{1}$，...，$c_{n}$，用影像基$h(B)$ 表示影像向量$h({\vec {v}})$。

問題 14

給出一個矩陣與${\vec {e}}_{i}$（除了在$i$ 位置上的單個 1 之外，其他位置均為零的列向量）相乘的公式。

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問題 15

對於每個單實變數函式的向量空間，表示相對於$B,B$ 的導數變換。

1. $\{a\cos x+b\sin x\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle \cos x,\sin x\rangle$
2. $\{ae^{x}+be^{2x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle e^{x},e^{2x}\rangle$
3. $\{a+bx+ce^{x}+dxe^{x}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle 1,x,e^{x},xe^{x}\rangle$

問題 16

找到以標準基表示的 $\mathbb {R} ^{2}$ 線性變換的範圍，每個矩陣表示的範圍。

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0\\3&2\end{pmatrix}}$
3. 形式為 ${\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\end{pmatrix}}$ 的矩陣

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問題 17

一個矩陣可以表示兩個不同的線性對映嗎？也就是說，${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$ 可能嗎？

問題 18

證明 定理 1.4。

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問題 19

示例 1.8 展示瞭如何用標準基來表示平面中所有向量繞原點旋轉 $\theta$ 角。

1. 將三維空間中的所有向量繞 $\theta$ 角旋轉 $x$ 軸是一個對 $\mathbb {R} ^{3}$ 的變換。用標準基表示它。安排旋轉，使得對於一個腳在原點，頭在 $(1,0,0)$ 的人來說，運動看起來是順時針方向的。
2. 重複上一項，只是繞 $y$ 軸旋轉。（將人的頭放在 ${\vec {e}}_{2}$。）
3. 重複，繞 $z$ 軸旋轉。
4. 將上一項擴充套件到 $\mathbb {R} ^{4}$。（提示： “繞 $z$ 軸旋轉” 可以改寫為 “平行於 $xy$ 平面旋轉”。)

問題 20 （舒爾三角化引理）

1. 設 $U$ 是 $V$ 的子空間，並固定基 $B_{U}\subseteq B_{V}$。關於 $B_{U}$ 表示的來自 $U$ 的向量與該向量（視為 $V$ 的成員）關於 $B_{V}$ 表示的關係是什麼？
2. 對映呢？
3. 為向量空間 $V$ 選取一個基底 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，並觀察到這些生成空間

   $[\{{\vec {0}}\}]=\{{\vec {0}}\}\subset [\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\subset [\{{\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\}]\subset \quad \cdots \quad \subset [B]=V$

   形成一個嚴格遞增的子空間鏈。證明對於任何線性對映 $h:V\to W$，存在一個子空間鏈 $W_{0}=\{{\vec {0}}\}\subseteq W_{1}\subseteq \dots \subseteq W_{m}=W$，使得

   $h([\{{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\}])\subset W_{i}$

   對每個 $i$ 成立。
4. 得出結論：對於每個線性對映 $h:V\to W$，存在基底 $B,D$，使得關於 $B,D$ 表示的 $h$ 的矩陣是上三角矩陣（也就是說，對於每個滿足 $i>j$ 的元素 $h_{i,j}$ 為零）。
5. 上三角矩陣的表示形式是否唯一？

解決方案