線性代數/值域和零空間

同構和同態都保留結構。不同之處在於同態不必滿射，也不必單射。這意味著同態是一種更一般的對映，比同構受到的限制更少。我們將考察同態可能發生的，而同構由於額外限制而無法發生的現象。

我們首先考慮放棄滿射要求的影響，即不要求同態在其陪域中滿射。例如，單射對映 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

不是同構，因為它不是滿射。當然，作為一個函式，同態對映到某個集合，即它的值域；對映 $\iota$ 對映到 $xy$-平面，它是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子集。

引理 2.1

在同態下，域中任何子空間的像都是陪域的子空間。特別地，整個空間的像，即同態的值域，是陪域的子空間。

證明

設 $h:V\to W$ 是線性變換，並且設 $S$ 是定義域 $V$ 的子空間。像 $h(S)$ 是陪域 $W$ 的子集。它是非空的，因為 $S$ 是非空的，因此要證明 $h(S)$ 是 $W$ 的子空間，我們只需要證明它在兩個向量的線性組合下是封閉的。如果 $h({\vec {s}}_{1})$ 和 $h({\vec {s}}_{2})$ 是 $h(S)$ 的成員，那麼 $c_{1}\cdot h({\vec {s}}_{1})+c_{2}\cdot h({\vec {s}}_{2})=h(c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1})+h(c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2})=h(c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2})$ 也是 $h(S)$ 的成員，因為它是 $S$ 中的 $c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2}$ 的像。

定義 2.2

值域 是同態 $h:V\to W$ 的

${\mathcal {R}}(h)=\{h({\vec {v}})\,{\big |}\,{\vec {v}}\in V\}$

有時記為 $h(V)$。值域空間的維數稱為對映的**秩**。

(我們很快就會看到對映的秩與矩陣的秩之間的聯絡。)

例 2.3

回想一下，導數對映 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$，由 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}$ 是線性的。值域空間 ${\mathcal {R}}(d/dx)$ 是二次多項式集 $\{r+sx+tx^{2}\,{\big |}\,r,s,t\in \mathbb {R} \}$。因此，該對映的秩為 3。

例 2.4

對於該同態 $h:M_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto (a+b+2d)+0x+cx^{2}+cx^{3}$

值域中的影像向量可以具有任意常數項，必須具有 $x$ 係數為零，並且必須具有相同係數的 $x^{2}$ 作為 $x^{3}$。也就是說，值域空間是 ${\mathcal {R}}(h)=\{r+0x+sx^{2}+sx^{3}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$，因此秩為 2。

先前結果表明，從同構的定義到同態的更一般定義，省略“滿射”要求並沒有本質上的區別。任何同態都是對其值域空間的滿射。

但是，省略“單射”條件確實有區別。同態可能具有許多域元素對映到陪域中的一個元素。下面是關於集合之間多對一對映的“豆莢”草圖。 它顯示了陪域中的三個元素，每個元素都是域中許多成員的影像。

回顧一下，對於任何函式 $h:V\to W$，對映到 ${\vec {w}}\in W$ 的 $V$ 中元素的集合被稱為 **逆像** $h^{-1}({\vec {w}})=\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {w}}\}$。上面，左側三個多元素集合是逆像。

示例 2.5

考慮投影 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

這是一個多對一的同態。在這種情況下，逆像集是域中的一條垂直向量線。

示例 2.6

這個同態 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}x+y$

也是多對一的；對於一個固定的 $w\in \mathbb {R} ^{1}$，逆像 $h^{-1}(w)$

是平面向量集合，它們的成分加起來等於 $w$。

以上示例只與我們考慮函式，特別是多對一函式有關。它們顯示了逆像作為與像向量 ${\vec {w}}$ 相關的向量集合。但是，這些不僅僅是任意函式，它們是同態；兩個儲存條件對關係說明了什麼？

在透過放棄一對一條件將同構推廣到同態時，我們失去了我們直觀地描述為：域“與”範圍“相同”的屬性。也就是說，我們失去了域與範圍以一對一的方式完美對應。

我們將保留，正如下面的示例所示，同態描述了一種方式，其中域“類似於”或“類似於”範圍。

示例 2.7

我們可以把 $\mathbb {R} ^{3}$ 想象成像 $\mathbb {R} ^{2}$ 一樣，只是向量多了一個分量。也就是說，我們將具有分量 $x$，$y$ 和 $z$ 的向量，看作是具有分量 $x$ 和 $y$ 的向量。在定義投影對映 $\pi$ 時，我們將明確哪些定義域成員與哪些陪域成員相關聯。

如果我們將 $\mathbb {R} ^{2}$ 看作是 $xy$ 平面，該平面位於 $\mathbb {R} ^{3}$ 內。 (當然，$\mathbb {R} ^{2}$ 是一個二維向量集，而 $xy$ 平面是一個三維向量集，其第三個分量為零，但兩者之間存在明顯的對應關係。) 然後，$\pi ({\vec {v}})$ 是 ${\vec {v}}$ 在平面上的“影子”，加法保持性質表明：

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ 在 ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$ 上方	加上	${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ 在 ${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ 上方	等於	${\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$ 在 ${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}$ 上方

簡而言之，$\pi ({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})$ 的投影等於$\pi ({\vec {v}}_{1})+\pi ({\vec {v}}_{2})$ 的投影之和。（標量乘法的保留有類似的解釋。）

透過分離兩個空間，將陪域 $\mathbb {R} ^{2}$ 移動到右邊，給出了一個更醜陋的圖片，但它更忠實於“豆子”草圖。

在這個圖中，對映到 ${\vec {w}}_{1}$ 的向量位於定義域的垂直線上（只顯示一個這樣的向量，用灰色表示）。將這種逆像的任何成員稱為“${\vec {w}}_{1}$ 向量”。類似地，有一條“${\vec {w}}_{2}$ 向量”的垂直線和一條“${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 向量”的垂直線。現在，$\pi$ 具有這樣的性質：如果 $\pi ({\vec {v}}_{1})={\vec {w}}_{1}$ 且 $\pi ({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{2}$，則 $\pi ({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=\pi ({\vec {v}}_{1})+\pi ({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$。這意味著向量類可以相加，即任何一個${\vec {w}}_{1}$ 向量加上任何一個${\vec {w}}_{2}$ 向量等於一個${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 向量。（類似的結論也適用於標量乘法下的向量類。）

因此，儘管這兩個空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 和 $\mathbb {R} ^{2}$ 不是同構的，$\pi$ 描述了一種它們相似的方式：$\mathbb {R} ^{3}$ 中的向量與 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的相關向量一樣——向量像它們的投影一樣相加。

例 2.8

同態可以用來表達空間之間比前一個更微妙的類比。對於對映

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}x+y$

來自 例 2.6 固定範圍 $\mathbb {R}$ 中的兩個數字 $w_{1},w_{2}$。一個對映到 $w_{1}$ 的 ${\vec {v}}_{1}$ 的分量加起來等於 $w_{1}$，也就是說，逆像 $h^{-1}(w_{1})$ 是端點在對角線 $x+y=w_{1}$ 上的向量的集合。稱這些為“$w_{1}$ 向量”。類似地，我們有“$w_{2}$ 向量”和“$w_{1}+w_{2}$ 向量”。那麼加法保持屬性說

一個“$w_{1}$ 向量”	加上	一個“$w_{2}$ 向量”	等於	一個“$w_{1}+w_{2}$ 向量”。

換句話說，如果將一個 $w_{1}$ 向量加到一個 $w_{2}$ 向量上，則結果被 $h$ 對映到一個 $w_{1}+w_{2}$ 向量。簡而言之，和的像就是像的和。更簡短地說， $h({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=h({\vec {v}}_{1})+h({\vec {v}}_{2})$。（標量乘法條件的保留也有類似的重述。）

例 2.9

逆像是除了直線以外的結構。對於線性對映 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}$

逆映像集是平面 $x=0$，$x=1$ 等等，垂直於 $x$ 軸。

我們不會描述我們使用的每一個同態都是一個類比，因為我們對“在……方面相似”的正式理解是“存在一個同態，使得……”。然而，同態之間的同態表達了域中的向量如何落入類似於範圍中的向量的類，這是一個很好的看待同態的方式。

我們不會將我們看到的所有同態都像上面那樣處理的另一個原因是，許多向量空間難以繪製（例如，多項式空間）。然而，從我們能夠繪製的那些空間中獲得見解並沒有什麼不好，尤其是在這些見解擴充套件到所有向量空間時。我們從三個例子中獲得了兩點這樣的見解：2.7、2.8 和 2.9。

首先，在這三個例子中，逆像是直線或平面，即線性曲面。特別是，範圍的零向量的逆像是經過原點的直線或平面——域的子空間。

引理 2.10

對於任何同態，範圍的子空間的逆像是域的子空間。特別地，範圍的平凡子空間的逆像是域的子空間。

證明

Let $h:V\to W$ be a homomorphism and let $S$ be a subspace of the rangespace $h$. Consider $h^{-1}(S)=\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})\in S\}$, the inverse image of the set $S$. It is nonempty because it contains ${\vec {0}}_{V}$, since $h({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}$, which is an element $S$, as $S$ is a subspace. To show that $h^{-1}(S)$ is closed under linear combinations, let ${\vec {v}}_{1}$ and ${\vec {v}}_{2}$ be elements, so that $h({\vec {v}}_{1})$ and $h({\vec {v}}_{2})$ are elements of $S$, and then $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}$ is also in the inverse image because $h(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}h({\vec {v}}_{1})+c_{2}h({\vec {v}}_{2})$ is a member of the subspace $S$.

定義 2.11

線性對映 $h:V\to W$ 的**零空間**或**核**是 $0_{W}$ 的逆像

${\mathcal {N}}(h)=h^{-1}({\vec {0}}_{W})=\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}.$

零空間的維數是對映的**零度**。

例 2.12

來自示例 2.3 的對映具有以下零空間 ${\mathcal {N}}(d/dx)=\{a_{0}+0x+0x^{2}+0x^{3}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}$.

示例 2.13

來自示例 2.4 的對映具有以下零空間。

${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&-(a+b)/2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

現在從上面的圖片中得到第二個見解。在示例 2.7 中，每條垂直線都被壓縮到一個點—— $\pi$，從定義域到值域，將所有這些一維垂直線“歸零”，使值域比定義域少一個維度。類似地，在示例 2.8 中，二維定義域被對映到一維值域，方法是將定義域分解成線（這裡，它們是對角線），並將每條線壓縮成值域中的單個成員。最後，在示例 2.9 中，定義域分解成平面，這些平面被“歸零”，因此對映從三維定義域開始，但以一維值域結束——該對映“減去”了兩個維度。（請注意，在這個第三個例子中，陪域是二維的，但對映的值域只有一維，而我們感興趣的是值域的維度。）

定理 2.14

線性對映的秩加上它的零度等於它的定義域的維度。

證明

令 $h:V\to W$ 是線性對映，並令 $B_{N}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ 是零空間的基。將其擴充套件到整個定義域的基 $B_{V}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。我們將證明 $B_{R}=\langle h({\vec {\beta }}_{k+1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是值域空間的基。然後透過計算這些基的大小得出結果。

為了證明 $B_{R}$ 線性無關，考慮方程 $c_{k+1}h({\vec {\beta }}_{k+1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})={\vec {0}}_{W}$。這表明 $h(c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})={\vec {0}}_{W}$，因此 $c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 屬於 $h$ 的零空間。由於 $B_{N}$ 是該零空間的基底，存在滿足該關係的標量 $c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R}$。

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}=c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

但 $B_{V}$ 是 $V$ 的基底，因此每個標量都等於零。因此，$B_{R}$ 線性無關。

為了說明 $B_{R}$ 跨越了值域，考慮 $h({\vec {v}})\in {\mathcal {R}}(h)$ 並將 ${\vec {v}}$ 寫成 $B_{V}$ 中成員的線性組合，即 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。這給了我們 $h({\vec {v}})=h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{k}h({\vec {\beta }}_{k})+c_{k+1}h({\vec {\beta }}_{k+1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$， 由於 ${\vec {\beta }}_{1}$， ...， ${\vec {\beta }}_{k}$ 位於零空間，我們有 $h({\vec {v}})={\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}+c_{k+1}h({\vec {\beta }}_{k+1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$。 因此，$h({\vec {v}})$ 是 $B_{R}$ 中成員的線性組合，因此 $B_{R}$ 跨越該空間。

示例 2.15

其中 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$ 是

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\0\\y\\0\end{pmatrix}}$

值域和零空間分別是

${\mathcal {R}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a\\0\\b\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

因此，$h$ 的秩為 2，零度為 1。

例 2.16

如果 $t:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是線性變換 $x\mapsto -4x,$ 那麼值域是 ${\mathcal {R}}(t)=\mathbb {R} ^{1}$，因此 $t$ 的秩為 1，零度為 0。

推論 2.17

線性對映的秩小於或等於域的維數。當且僅當對映的零度為零時，等號成立。

我們知道，兩個空間之間存在同構，當且僅當它們的維數相等。這裡我們看到，為了使同態存在，值域的維數必須小於或等於域的維數。例如，不存在從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的滿射同態。存在許多從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同態，但沒有一個是滿射到整個三維空間的。

線性對映的陪域維數可能嚴格小於定義域維數（例 2.3 中，${\mathcal {P}}_{3}$ 上的導數變換的定義域維數為 4，而陪域維數為 3）。因此，在同態下，定義域中的線性無關集可能對映到陪域中的線性相關集（例如，導數將 $\{1,x,x^{2},x^{3}\}$ 對映到 $\{0,1,2x,3x^{2}\}$）。也就是說，在同態下，線性無關性可能會丟失。相反，線性相關性仍然保持。

引理 2.18

線上性對映下，線性相關集的像仍然是線性相關集。

證明

假設 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}_{V}$，其中一些 $c_{i}$ 不為零。然後，因為 $h(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {v}}_{n})$ 並且因為 $h({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}$，我們有 $c_{1}h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {v}}_{n})={\vec {0}}_{W}$，其中一些 $c_{i}$ 不為零。

什麼時候線性無關性不會丟失？一個顯而易見的充分條件是同態是同構。這個條件也是必要的；參見 問題 14。我們將透過觀察到一個一對一同態是從其定義域到其陪域的同構來結束本節的討論，比較同態和同構。

定義 2.19

一對一的線性對映稱為非奇異。

（在下一節中，我們將看到這個“非奇異”在對映和矩陣中的使用之間的聯絡。）

例 2.20

這個非奇異同態 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\iota }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

這給出了$\mathbb {R} ^{2}$ 與 $xy$ 平面的明顯對應關係，該平面位於 $\mathbb {R} ^{3}$ 中。

之前的觀察使我們能夠將一些關於同構的結果應用到這種情況下。

定理 2.21

在$n$ 維向量空間 $V$ 中，這些

1. $h$ 是非奇異的，也就是說，一對一的
2. $h$ 有線性逆
3. ${\mathcal {N}}(h)=\{{\vec {0}}\,\}$，也就是說，${\text{nullity}}\,(h)=0$
4. $\mathop {\mbox{rank}} (h)=n$
5. 如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是 $V$ 的基，那麼 $\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是 ${\mathcal {R}}(h)$ 的基

是關於線性對映 $h:V\to W$ 的等價陳述。

證明

我們首先將證明 $1\Longleftrightarrow 2$。然後我們將證明 $1\implies 3\implies 4\implies 5\implies 2$。

對於 $1\Longrightarrow 2$，假設線性對映 $h$ 是一對一的，因此有逆對映。該逆對映的定義域是 $h$ 的值域，因此該定義域中兩個元素的線性組合具有以下形式：$c_{1}h({\vec {v}}_{1})+c_{2}h({\vec {v}}_{2})$。對該組合，逆對映 $h^{-1}$ 給出以下結果。

${\begin{array}{rl}h^{-1}(c_{1}h({\vec {v}}_{1})+c_{2}h({\vec {v}}_{2}))&=h^{-1}(h(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}))\\&=h^{-1}\circ h\,(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\\&=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\\&=c_{1}h^{-1}\circ h\,({\vec {v}}_{1})+c_{2}h^{-1}\circ h\,({\vec {v}}_{2})\\&=c_{1}\cdot h^{-1}(h({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot h^{-1}(h({\vec {v}}_{2}))\end{array}}$

因此，一對一線性對映的逆對映一定是線性的。但這同時也說明了 $1\Longrightarrow 2$ 的推論，因為逆對映本身必須是一對一的。

在剩餘的推論中，$1\implies 3$ 成立，因為任何同態對映 ${\vec {0}}_{V}$ 到 ${\vec {0}}_{W}$，但一對一對映最多將 $V$ 中的一個元素對映到 ${\vec {0}}_{W}$。

接下來，$3\implies 4$ 為真，因為秩加零度等於域的維數。

對於 $4\implies 5$，為了證明 $\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是值域空間的基，我們只需要證明它是一個生成集，因為假設值域的維數為 $n$。考慮 $h({\vec {v}})\in {\mathcal {R}}(h)$。將 ${\vec {v}}$ 表示為基元素的線性組合得到 $h({\vec {v}})=h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})$，得到 $h({\vec {v}})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$，如預期的那樣。

最後，對於$5\implies 2$ 推論，假設$\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是$V$ 的基，使得$\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是${\mathcal {R}}(h)$ 的基。那麼每一個${\vec {w}}\in {\mathcal {R}}(h)$ 都有一個唯一的表示${\vec {w}}=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$。定義一個從${\mathcal {R}}(h)$ 到$V$ 的對映：

${\vec {w}}\;\mapsto \;c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

（表示的唯一性使它定義良好）。檢查它是線性的，並且它是$h$ 的逆，很容易。

我們現在已經看到線性對映是如何展現域的結構與值域的結構類似的。這樣的對映可以被認為是將域空間組織成值域中點的逆像。在對映是一對一的特殊情況下，每個逆像是單個點，並且該對映是域和值域之間的同構。

練習

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問題 1

設$h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 由$p(x)\mapsto x\cdot p(x)$ 給出。以下哪些在零空間中？哪些在值域中？

1. $x^{3}$
2. $0$
3. $7$
4. $12x-0.5x^{3}$
5. $1+3x^{2}-x^{3}$

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問題 2

求每個對映的零空間、零度、值域和秩。

1. $h:\mathbb {R} ^{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由下式給出

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto a+ax+ax^{2}$

2. $h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由下式給出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+d$

3. $h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 由下式給出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+b+c+dx^{2}$

4. 零對映 $Z:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$

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問題 3

求每個對映的零度。

1. $h:\mathbb {R} ^{5}\to \mathbb {R} ^{8}$ 的秩為 5
2. $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 的秩為 1
3. $h:\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{3}$, 一個滿射
4. $h:{\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}\to {\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}$, 滿射

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問題 4

求微分變換 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 的零空間？求二階導數作為 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的變換的零空間？第 $k$ 階導數？

問題 5

例 2.7 將同態定義中的第一個條件重新表述為“一個和的影子是影子的和”。以同樣的方式重新表述第二個條件。

問題 6

對於由 $h(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}$ 給出的同態 $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$，求這些。

1. ${\mathcal {N}}(h)$
2. $h^{-1}(2-x^{3})$
3. $h^{-1}(1+x^{2})$

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問題 7

對於由下式給出的對映 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

$f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=2x+y$

繪製以下逆像集：$f^{-1}(-3)$, $f^{-1}(0)$ 和 $f^{-1}(1)$。

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問題 8

這些 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的變換都是非奇異的。找到每個變換的逆函式。

1. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{1}x+2a_{2}x^{2}+3a_{3}x^{3}$
2. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{2}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3}$
3. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{0}x^{3}$
4. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{0}+a_{1}+a_{2})x^{2}+(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3})x^{3}$

問題 9

描述由 ${\vec {v}}\mapsto 2{\vec {v}}$ 給出的變換的零空間和值域。

問題 10

列出所有可能的線性對映對 $({\text{rank}}(h),{\text{nullity}}(h))$，它們是來自 $\mathbb {R} ^{5}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的線性對映。

問題 11

微分對映 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 有逆嗎？

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問題 12

找到由 $h:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 給出的對映的零度，其中

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto \int _{x=0}^{x=1}a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,dx.$

問題 13

1. 證明一個同態是滿射當且僅當它的秩等於其陪域的維數。
2. 由此得出，一個維數相同的向量空間之間的同態是一對一當且僅當它滿射。

問題 14

證明一個線性對映是非奇異的當且僅當它保持線性無關。

問題 15

推論 2.17 指出，要從向量空間 $V$ 到向量空間 $W$ 存在一個滿射同態，$W$ 的維數必須小於或等於 $V$ 的維數。證明這個條件也是充分的；用 定理 1.9 證明，如果 $W$ 的維數小於或等於 $V$ 的維數，那麼從 $V$ 到 $W$ 存在一個滿射同態。

問題 16

令 $h:V\to \mathbb {R}$ 是一個同態，但不是零同態。證明如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是零空間的基，如果 ${\vec {v}}\in V$ 不在零空間內，那麼 $\langle {\vec {v}},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是整個定義域 $V$ 的基。

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問題 17

回顧零空間是定義域的子集，值域是陪域的子集。它們是否必然不同？是否存在同態使其零空間和值域有非平凡的交集？

問題 18

證明一個子空間的像等於像的子空間。也就是說，當 $h:V\to W$ 是線性變換時，證明如果 $S$ 是 $V$ 的子集，則 $h([S])$ 等於 $[h(S)]$。這推廣了 引理 2.1，因為它表明，如果 $U$ 是 $V$ 的任何子空間，那麼它的像 $\{h({\vec {u}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U\}$ 是 $W$ 的子空間，因為集合 $U$ 的子空間就是 $U$。

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習題 19

1. 證明對於任何線性對映 $h:V\to W$ 和任何 ${\vec {w}}\in W$，集合 $h^{-1}({\vec {w}})$ 具有以下形式

   $\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$

   對於 ${\vec {v}}\in V$，其中 $h({\vec {v}})={\vec {w}}$（如果 $h$ 不是滿射，那麼這個集合可能為空）。這樣一個集合是 ${\mathcal {N}}(h)$ 的 **陪集**，記作 ${\vec {v}}+{\mathcal {N}}(h)$。
2. 考慮對映 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，由

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   給出，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 是標量。證明 $t$ 是線性的。
3. 從前面兩項得出，對於任何形式為

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&e\\cx&+&dy&=&f\end{array}}$

   的線性方程組，解集可以寫成（向量是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的元素）

   $\{{\vec {p}}+{\vec {h}}\,{\big |}\,{\vec {h}}{\text{ satisfies the associated homogeneous system}}\}$

   其中 ${\vec {p}}$ 是該線性系統的特解（如果不存在特解，則上述集合為空）。
4. 證明這個對映 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是線性的。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}$

   對於任何標量 $a_{1,1}$，...，$a_{m,n}$。擴充套件上一項的結論。
5. 證明 $k$階導數對映對於每個 $k$ 都是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的線性變換。證明該對映是該空間的線性變換。

   $f\mapsto {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f+c_{k-1}{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}f+\dots +c_{1}{\frac {d}{dx}}f+c_{0}f$

   對於任何標量 $c_{k}$，...，$c_{0}$。得出類似上面的結論。

問題 20

證明對於任何秩為1的變換 $t:V\to V$，由該運算元自身複合得到的對映 $t\circ t:V\to V$ 滿足 $t\circ t=r\cdot t$，其中 $r$ 是某個實數。

問題 21

證明對於任何維數為 $n$ 的空間 $V$，對偶空間

$\mathop {\mathcal {L}} (V,\mathbb {R} )=\{h:V\to \mathbb {R} \,{\big |}\,h{\text{ is linear}}\}$

與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同構。它通常表示為 $V^{\ast }$。由此得出結論 $V^{\ast }\cong V$.

問題 22

證明任何線性對映都是秩為一的對映的和。

問題 23

"同態於" 是否是一種等價關係？ (提示： 困難在於決定引號中的短語的適當含義。)

問題 24

證明線性對映 $t:V\to V$ 的冪的像空間和零空間形成下降

$V\supseteq {\mathcal {R}}(t)\supseteq {\mathcal {R}}(t^{2})\supseteq \ldots$

和上升

$\{{\vec {0}}\}\subseteq {\mathcal {N}}(t)\subseteq {\mathcal {N}}(t^{2})\subseteq \ldots$

鏈。還表明如果$k$ 使得${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})$ 那麼所有後續的範圍空間都是相等的：${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})\ldots \,$。類似地，如果${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})$ 那麼${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})={\mathcal {N}}(t^{k+2})=\ldots \,$。

解決方案