線性代數/值域和零空間/解

解

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問題 1

令 $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 由 $p(x)\mapsto x\cdot p(x)$ 給出。哪些在零空間中？哪些在值域中？

$x^{3}$
$0$
$7$
$12x-0.5x^{3}$
$1+3x^{2}-x^{3}$

答案

首先，要判斷一個多項式是否在零空間中，我們必須將其視為域 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的一個成員。要判斷它是否在值域中，我們必須將其視為陪域 ${\mathcal {P}}_{4}$ 的一個成員。也就是說，對於 $p(x)=x^{4}$ ，判斷它是否在值域中是合理的，但判斷它是否在零空間中則不合理，因為它甚至不在域中。

多項式 $x^{3}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空間中，因為 $h(x^{3})=x^{4}$ 不是 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的零多項式。多項式 $x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 在值域中，因為 $x^{2}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 被 $h$ 對映到 $x^{3}$ .
這兩個問題的答案都是“是，因為 $h(0)=0$ ”。多項式 $0\in {\mathcal {P}}_{3}$ 位於零空間中，因為它被 $h$ 對映到 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的零多項式。多項式 $0\in {\mathcal {P}}_{4}$ 位於值域中，因為它是在 $h$ 下， $0\in {\mathcal {P}}_{3}$ 的像。
多項式 $7\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空間中，因為 $h(7)=7x$ 不是 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的零多項式。多項式 $x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 不在值域中，因為定義域中沒有成員，當乘以 $x$ 時，會得到常數多項式 $p(x)=7$ 。
多項式 $12x-0.5x^{3}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空間，因為 $h(12x-0.5x^{3})=12x^{2}-0.5x^{4}$ 。多項式 $12x-0.5x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 在值域內，因為它是由 $12-0.5x^{2}$ 的影像。
多項式 $1+3x^{2}-x^{3}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空間，因為 $h(1+3x^{2}-x^{3})=x+3x^{3}-x^{4}$ 。多項式 $1+3x^{2}-x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 不在值域內，因為存在常數項。

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問題 2

找出每個對映的零空間、零度、值域和秩。

$h:\mathbb {R} ^{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由以下給出
${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto a+ax+ax^{2}$
$h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由以下給出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+d$
$h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 由以下給出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+b+c+dx^{2}$
零對映 $Z:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$

答案

零空間是
${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,a+ax+ax^{2}+0x^{3}=0+0x+0x^{2}+0x^{3}\}=\{{\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$
而值域是
${\mathcal {R}}(h)=\{a+ax+ax^{2}\in {\mathcal {P}}_{3}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}=\{a\cdot (1+x+x^{2})\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$
因此，零度為1，秩為1。
零空間如下。
${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+d=0\}=\{{\begin{pmatrix}-d&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$
值域
${\mathcal {R}}(h)\{a+d\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$
是整個 $\mathbb {R}$ （我們可以透過將 $d$ 取為 $0$ ，並將 $a$ 取為所需數字來獲得任何實數）。因此，零度為3，秩為1。
零空間是
${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0{\text{ and }}d=0\}=\{{\begin{pmatrix}-b-c&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$
當值域為 ${\mathcal {R}}(h)=\{r+sx^{2}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$ 時，零度為 2，秩為 2。
零空間是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的全部，因此零度為 3。值域是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的平凡子空間，因此秩為 0。

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問題 3

求出每個對映的零度。

$h:\mathbb {R} ^{5}\to \mathbb {R} ^{8}$ 秩為 5
$h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 秩為 1
$h:\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{3}$ ，滿射
$h:{\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}\to {\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}$ ，滿射

答案

對於每個，使用秩加上零度等於域的維數的結果。

$0$
$3$
$3$
$0$

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問題 4

微分變換 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 的零空間是什麼？二階導數作為 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的變換的零空間是什麼？ $k$ 階導數？

答案

因為

{\frac {d}{dx}}\,(a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n})=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\dots +na_{n}x^{n-1}

我們有這個。

{\begin{array}{rl}{\mathcal {N}}({\frac {d}{dx}})&=\{a_{0}+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{1}+2a_{2}x+\dots +na_{n}x^{n-1}=0+0x+\dots +0x^{n-1}\}\\&=\{a_{0}+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{1}=0,{\text{ and }}a_{2}=0,\ldots ,a_{n}=0\}\\&=\{a_{0}+0x+0x^{2}+\dots +0x^{n}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\end{array}}

同理，

{\mathcal {N}}({\frac {d^{k}}{dx^{k}}})=\{a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{0},\dots ,a_{k-1}\in \mathbb {R} \}

當 $k\leq n$ 時。

問題 5

示例 2.7 將同態定義中的第一個條件重新表述為“和的投影是投影的和”。用相同的風格重新表述第二個條件。

答案

標量倍數的投影是投影的標量倍數。

問題 6

對於同態 $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ ，由 $h(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}$ 給出，求出這些。

${\mathcal {N}}(h)$
$h^{-1}(2-x^{3})$
$h^{-1}(1+x^{2})$

答案

設定 $a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}=0+0x+0x^{2}+0x^{3}$ 得到 $a_{0}=0$ 以及 $a_{0}+a_{1}=0$ 和 $a_{2}+a_{3}=0$ ，因此零空間為 $\{-a_{3}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{3}\in \mathbb {R} \}$ .
設定 $a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}=2+0x+0x^{2}-x^{3}$ 得到 $a_{0}=2$ ，以及 $a_{1}=-2$ ，以及 $a_{2}+a_{3}=-1$ 。取 $a_{3}$ 作為引數，並將其重新命名為 $a_{3}=a$ ，得到以下集合描述 $\{2-2x+(-1-a)x^{2}+ax^{3}\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}=\{(2-2x-x^{2})+a\cdot (-x^{2}+x^{3})\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$ .
此集合為空，因為 $h$ 的範圍僅包含那些具有 $0x^{2}$ 項的多項式。

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問題 7

對於由以下公式給出的對映 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=2x+y

繪製以下逆對映集合： $f^{-1}(-3)$ , $f^{-1}(0)$ 以及 $f^{-1}(1)$ 。

答案

所有逆對映都是斜率為 $-2$ 的直線。

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問題 8

這些對 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的變換都是非奇異的。找到每個變換的逆函式。

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{1}x+2a_{2}x^{2}+3a_{3}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{2}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{0}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{0}+a_{1}+a_{2})x^{2}+(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3})x^{3}$

答案

這些是逆對映。

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{1}x+(a_{2}/2)x^{2}+(a_{3}/3)x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{2}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{3}+a_{0}x+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+(a_{1}-a_{0})x+(a_{2}-a_{1})x^{2}+(a_{3}-a_{2})x^{3}$

例如，對於第二個對映，題目中給出的對映將 $0+1x+2x^{2}+3x^{3}\mapsto 0+2x+1x^{2}+3x^{3}$ ，然後上面的逆對映將 $0+2x+1x^{2}+3x^{3}\mapsto 0+1x+2x^{2}+3x^{3}$ 。因此該對映實際上是自逆的。

問題 9

描述由 ${\vec {v}}\mapsto 2{\vec {v}}$ 給出的變換的零空間和值域。

答案

對於任何向量空間 $V$ ，零空間

\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,2{\vec {v}}={\vec {0}}\}

是平凡的，而值域

\{{\vec {w}}\in V\,{\big |}\,{\vec {w}}=2{\vec {v}}{\text{ for some }}{\vec {v}}\in V\}

是全部的 $V$ ，因為每個向量 ${\vec {w}}$ 都是某個其他向量的兩倍，具體來說，它就是 $(1/2){\vec {w}}$ 的兩倍。（因此，這種變換實際上是一個自同構。）

問題 10

列出所有可能的 $({\text{rank}}(h),{\text{nullity}}(h))$ 對，這些對是來自 $\mathbb {R} ^{5}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的線性對映可能的。

答案

因為秩加上零度等於域的維數（這裡為 5），而秩最多為 3，所以可能的對是： $(3,2)$ ， $(2,3)$ ， $(1,4)$ 和 $(0,5)$ 。想出線性對映來證明每對都是可能的非常容易。

問題 11

微分對映 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 有逆嗎？

答案

沒有（除非 ${\mathcal {P}}_{n}$ 是平凡的），因為兩個多項式 $f_{0}(x)=0$ 和 $f_{1}(x)=1$ 有相同的導數；一個對映必須是一對一的才能有逆。

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問題 12

求對映 $h:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 的零度，該對映由下式給出：

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto \int _{x=0}^{x=1}a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,dx.

答案

零空間如下。

\{a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{0}(1)+{\frac {\displaystyle a_{1}}{\displaystyle 2}}(1^{2})+\dots +{\frac {\displaystyle a_{n}}{\displaystyle n+1}}(1^{n+1})=0\}

=\{a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{0}+(a_{1}/2)+\dots +(a_{n+1}/n+1)=0\}

因此，零度為 $n$ .

問題 13

證明同態對映是滿射當且僅當它的秩等於它的陪域的維數。
由此得出，當兩個向量空間的維數相同時，同態對映是一對一當且僅當它是滿射。

答案

一個方向是顯然的：如果同態對映是滿射，那麼它的值域就是陪域，因此它的秩等於它的陪域的維數。另一個方向，假設對映的秩等於陪域的維數。那麼對映的值域是陪域的子空間，並且它的維數等於陪域的維數。因此，對映的值域必須等於陪域，並且對映是滿射。（之所以“因此”，是因為值域中存在一個線性無關子集，其大小等於陪域的維數，但陪域中任何這樣的線性無關子集都必須是陪域的基，因此值域等於陪域。）
根據定理 2.21，同態對映是一對一當且僅當它的零度為零。因為秩加零度等於定義域的維數，所以同態對映是一對一當且僅當它的秩等於定義域的維數。但這個定義域和陪域具有相同的維數，因此對映是一對一當且僅當它是滿射。

問題 14

證明線性對映是非奇異當且僅當它保持線性無關性。

答案

我們正在證明 $h:V\to W$ 是非奇異的當且僅當對於 $V$ 中的每個線性無關子集 $S$ ， $W$ 中的子集 $h(S)=\{h({\vec {s}})\,{\big |}\,{\vec {s}}\in S\}$ 是線性無關的。

一半很簡單 - 根據定理 2.21，如果 $h$ 是奇異的，那麼它的零空間是非平凡的（包含的不止零向量）。所以，如果 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}_{V}$ 在該零空間中，單元素集合 $\{{\vec {v\,}}\}$ 是線性無關的，而它的像 $\{h({\vec {v}})\}=\{{\vec {0}}_{W}\}$ 不是。

對於另一半，假設 $h$ 是非奇異的，因此根據定理 2.21 它的零空間是平凡的。然後對於任何 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ ，關係

{\vec {0}}_{W}=c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})

意味著關係 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}_{V}$ 。因此，如果 $V$ 的一個子集是線性無關的，那麼它在 $W$ 中的像也是線性無關的。

注意：該陳述是說線性對映是非奇異的，當且僅當它為所有集合保留線性無關性（即，如果一個集合是線性無關的，那麼它的像也是線性無關的）。奇異對映可能保留某些線性無關集合。例如，從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的這個奇異對映。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y+z\\0\end{pmatrix}}

線性無關性在這個集合中被保留

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}\mapsto \{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}

以及（在更復雜的例子中）對於這個集合也是如此：

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}\mapsto \{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}

（回顧一下，在集合中，重複元素不會出現兩次）。然而，有一些集合在該對映下不保持線性無關性；

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}\}\mapsto \{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}

因此，並非所有集合都保持線性無關性。

問題 15

推論 2.17 指出，要從一個向量空間 $V$ 到另一個向量空間 $W$ 有一個滿同態，那麼 $W$ 的維數必須小於或等於 $V$ 的維數。證明該條件也是充分的；利用定理 1.9 來證明，如果 $W$ 的維數小於或等於 $V$ 的維數，那麼存在從 $V$ 到 $W$ 的滿同態。

答案

(我們使用定理 1.9中的符號。) 固定 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 為 $V$ 的一個基，並固定 $\langle {\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{k}\rangle$ 為 $W$ 的一個基。如果 $W$ 的維數 $k$ 小於或等於 $V$ 的維數 $n$ ，則該定理給出了一個從 $V$ 到 $W$ 的線性對映，該對映以這種方式確定。

{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1},\,\dots ,\,{\vec {\beta }}_{k}\mapsto {\vec {w}}_{k}\quad {\text{and}}\quad {\vec {\beta }}_{k+1}\mapsto {\vec {w}}_{k},\,\dots ,\,{\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {w}}_{k}

我們只需要驗證這個對映是滿射的。

任何 $W$ 的元素都可以寫成基向量 $c_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {w}}_{k}$ 的線性組合。這個向量是在上述對映下 $c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\beta }}_{k}+0\cdot {\vec {\beta }}_{k+1}\dots +0\cdot {\vec {\beta }}_{n}$ 的像。因此，這個對映是滿射的。

問題 16

設 $h:V\to \mathbb {R}$ 是一個同態，但不是零同態。證明：如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是零空間的基，如果 ${\vec {v}}\in V$ 不在零空間中，那麼 $\langle {\vec {v}},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是整個定義域 $V$ 的基。

答案

假設 $h$ 不是零對映，因此存在一個向量 ${\vec {v}}\in V$ 不在零空間。注意 $\langle h({\vec {v}})\rangle$ 是 $\mathbb {R}$ 的一個基，因為它是一個大小為 1 的 $\mathbb {R}$ 線性無關子集。因此 $h$ 是滿射，因為對於任何 $r\in \mathbb {R}$ 都有 $r=c\cdot h({\vec {v}})$ 對於某個標量 $c$ ，因此 $r=h(c{\vec {v}})$ .

因此， $h$ 的秩為 1。因為零度被給出為 $n$ ， $h$ 定義域（向量空間 $V$ ）的維度為 $n+1$ 。我們可以透過證明 $\{{\vec {v}},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$ 線性無關來結束證明，因為它是一個大小為 $n+1$ 的維度為 $n+1$ 空間的子集。因為 $\{{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$ 線性無關，我們只需要證明 ${\vec {v}}$ 不是其他向量的線性組合。但是， $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$ 將會得到 $-{\vec {v}}+c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$ ，並對兩邊應用 $h$ 將會得到矛盾。

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問題 17

回顧一下，零空間是定義域的子集，值域是陪域的子集。它們一定是不同的嗎？是否存在同態，其零空間和值域具有非平凡的交集？

答案

是的。對於由

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\x\end{pmatrix}}

我們有這個。

{\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}={\mathcal {R}}(h)

備註。 我們將在第五章詳細討論這個問題。

問題 18

證明一個生成空間的像等於像的生成空間。也就是說，當 $h:V\to W$ 是線性變換時，證明如果 $S$ 是 $V$ 的一個子集，那麼 $h([S])$ 等於 $[h(S)]$ 。這推廣了引理 2.1，因為它表明如果 $U$ 是 $V$ 的任何子空間，那麼它的像 $\{h({\vec {u}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U\}$ 是 $W$ 的子空間，因為集合 $U$ 的生成空間就是 $U$ 。

答案

這只是一個簡單的計算問題。

{\begin{array}{rl}h([S])&=\{h(c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and }}{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S\}\\&=\{c_{1}h({\vec {s}}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {s}}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and }}{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S\}\\&=[h(S)]\end{array}}

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問題 19

證明對於任何線性對映 $h:V\to W$ 和任何 ${\vec {w}}\in W$ ，集合 $h^{-1}({\vec {w}})$ 的形式為
$\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$
對於 ${\vec {v}}\in V$ 且 $h({\vec {v}})={\vec {w}}$ （如果 $h$ 不是滿射，那麼這個集合可能是空的）。這樣的集合是 ${\mathcal {N}}(h)$ 的一個 **陪集**，記為 ${\vec {v}}+{\mathcal {N}}(h)$ 。
考慮對映 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，其定義為
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
對於一些標量 $a$ , $b$ , $c$ , 和 $d$ 。證明 $t$ 是線性的。
從前兩項中推論出，對於任何形式為
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&e\\cx&+&dy&=&f\end{array}}$
的線性系統，解集可以寫成（向量是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的成員）
$\{{\vec {p}}+{\vec {h}}\,{\big |}\,{\vec {h}}{\text{ satisfies the associated homogeneous system}}\}$
其中 ${\vec {p}}$ 是該線性系統的一個特解（如果沒有特解，則上述集合為空）。
證明該對映 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是線性的。
${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}$
對於任何標量 $a_{1,1}$ , ..., $a_{m,n}$ 。擴充套件上一項中的結論。
證明第 $k$ 階導數對映是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的線性變換，對於每個 $k$ 。證明此對映是該空間的線性變換。
$f\mapsto {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f+c_{k-1}{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}f+\dots +c_{1}{\frac {d}{dx}}f+c_{0}f$
對於任何標量 $c_{k}$ ，...， $c_{0}$ 。得出與上述類似的結論。

答案

We will show that the two sets are equal $h^{-1}({\vec {w}})=\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$ by mutual inclusion. For the $\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}\subseteq h^{-1}({\vec {w}})$ direction, just note that $h({\vec {v}}+{\vec {n}})=h({\vec {v}})+h({\vec {n}})$ equals ${\vec {w}}$ , and so any member of the first set is a member of the second. For the $h^{-1}({\vec {w}})\subseteq \{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$ direction, consider ${\vec {u}}\in h^{-1}({\vec {w}})$ . Because $h$ is linear, $h({\vec {u}})=h({\vec {v}})$ implies that $h({\vec {u}}-{\vec {v}})={\vec {0}}$ . We can write ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ as ${\vec {n}}$ , and then we have that ${\vec {u}}\in \{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$ , as desired, because ${\vec {u}}={\vec {v}}+({\vec {u}}-{\vec {v}})$ .
此檢查是例行公事。
這是直接的。
對於線性檢查，簡而言之，其中 $c,d$ 是標量， ${\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 有分量 $x_{1},\dots ,x_{n}$ 和 $y_{1},\dots ,y_{n}$ ，我們有這個。
${\begin{array}{rl}h(c\cdot {\vec {x}}+d\cdot {\vec {y}})&={\begin{pmatrix}a_{1,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{1,n}(cx_{n}+dy_{n})\\\vdots \\a_{m,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{m,n}(cx_{n}+dy_{n})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{1,1}cx_{1}+\dots +a_{1,n}cx_{n}\\\vdots \\a_{m,1}cx_{1}+\dots +a_{m,n}cx_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a_{1,1}dy_{1}+\dots +a_{1,n}dy_{n}\\\vdots \\a_{m,1}dy_{1}+\dots +a_{m,n}dy_{n}\end{pmatrix}}\\&=c\cdot h({\vec {x}})+d\cdot h({\vec {y}})\end{array}}$
適當的結論是 ${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$ .
根據微積分中的法則，導數的每個冪都是線性的。
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x)+g(x))={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)+{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)\quad {\text{and}}\quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}rf(x)=r{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)$
因此，給定的對映是空間的線性變換，因為根據引理 1.16，線性對映的任何線性組合也是線性對映。適當的結論是 ${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$ ，其中相關的齊次微分方程的常數為 $0$ .

問題 20

證明對於任何秩為一的變換 $t:V\to V$ ，透過將該運算元自身複合得到的對映 $t\circ t:V\to V$ 滿足 $t\circ t=r\cdot t$ ，其中 $r$ 為某個實數。

答案

因為 $t$ 的秩為 1， $t$ 的值域是一個一維集合。將 $\langle h({\vec {v}})\rangle$ 作為基（對於一些適當的 ${\vec {v}}$ ），我們有對於每一個 ${\vec {w}}\in V$ ，影像 $h({\vec {w}})\in V$ 是這個基向量的倍數 - 與每個 ${\vec {w}}$ 存在一個標量 $c_{\vec {w}}$ 使得 $t({\vec {w}})=c_{\vec {w}}t({\vec {v}})$ 。將 $t$ 應用於該方程的兩邊，並將 $r$ 設為 $c_{t({\vec {v}})}$

t\circ t({\vec {w}})=t(c_{\vec {w}}\cdot t({\vec {v}}))=c_{\vec {w}}\cdot t\circ t({\vec {v}})=c_{\vec {w}}\cdot c_{t({\vec {v}})}\cdot t({\vec {v}})=c_{\vec {w}}\cdot r\cdot t({\vec {v}})=r\cdot c_{\vec {w}}\cdot t({\vec {v}})=r\cdot t({\vec {w}})

得到我們想要的結果。

問題 21

證明對於任何維數為 $n$ 的空間 $V$ ，**對偶空間**

\mathop {\mathcal {L}} (V,\mathbb {R} )=\{h:V\to \mathbb {R} \,{\big |}\,h{\text{ is linear}}\}

與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同構。通常用 $V^{\ast }$ 表示。由此可知 $V^{\ast }\cong V$ .

答案

在 $V$ 中固定一個基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。我們將證明以下對映

h{\stackrel {\Phi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}h({\vec {\beta }}_{1})\\\vdots \\h({\vec {\beta }}_{n})\end{pmatrix}}

是從 $V^{\ast }$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的同構對映。

為了證明 $\Phi$ 是單射，假設 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 是 $V^{\ast }$ 中的元素，使得 $\Phi (h_{1})=\Phi (h_{2})$ 。則

{\begin{pmatrix}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})\\\vdots \\h_{1}({\vec {\beta }}_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{2}({\vec {\beta }}_{1})\\\vdots \\h_{2}({\vec {\beta }}_{n})\end{pmatrix}}

因此， $h_{1}({\vec {\beta }}_{1})=h_{2}({\vec {\beta }}_{1})$ ，等等。但同態是由其對基的對映決定的，因此 $h_{1}=h_{2}$ ，因此 $\Phi$ 是單射。

為了證明 $\Phi$ 是滿射，考慮

{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

對於 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ 。從 $V$ 到 $\mathbb {R}$ 的此函式 $h$

c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}{\stackrel {h}{\longmapsto }}c_{1}x_{1}+\dots +c_{n}x_{n}

顯然是線性的，並且被 $\Phi$ 對映到 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的給定向量，因此 $\Phi$ 是滿射。

對映 $\Phi$ 還保留結構：其中

{\begin{array}{rl}c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}&{\stackrel {h_{1}}{\longmapsto }}c_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{1}({\vec {\beta }}_{n})\\c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}&{\stackrel {h_{2}}{\longmapsto }}c_{1}h_{2}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{2}({\vec {\beta }}_{n})\end{array}}

我們有

{\begin{array}{rl}(r_{1}h_{1}+r_{2}h_{2})(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})&=c_{1}(r_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})+r_{2}h_{2}({\vec {\beta }}_{1}))+\dots +c_{n}(r_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{n})+r_{2}h_{2}({\vec {\beta }}_{n}))\\&=r_{1}(c_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{1}({\vec {\beta }}_{n}))+r_{2}(c_{1}h_{2}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{2}({\vec {\beta }}_{n}))\end{array}}

所以 $\Phi (r_{1}h_{1}+r_{2}h_{2})=r_{1}\Phi (h_{1})+r_{2}\Phi (h_{2})$ .

問題 22

證明任何線性對映都是秩為 1 的對映的和。

答案

令 $h:V\to W$ 為線性對映，並固定 $V$ 的一個基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。考慮這 $n$ 個從 $V$ 到 $W$ 的對映。

h_{1}({\vec {v}})=c_{1}\cdot h({\vec {\beta }}_{1}),\quad h_{2}({\vec {v}})=c_{2}\cdot h({\vec {\beta }}_{2}),\quad \ldots \quad ,h_{n}({\vec {v}})=c_{n}\cdot h({\vec {\beta }}_{n})

對於任意 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 。很明顯， $h$ 是所有 $h_{i}$ 的和。我們只需要檢查每個 $h_{i}$ 是否是線性對映：令 ${\vec {u}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ ，我們有 $h_{i}(r{\vec {v}}+s{\vec {u}})=rc_{i}+sd_{i}=rh_{i}({\vec {v}})+sh_{i}({\vec {u}})$ .

問題 23

“同態於”是一種等價關係嗎？（提示：難點在於為引號中的短語確定合適的含義。）

答案

答案是肯定的（很明顯）或否定的（幾乎很明顯）。

如果 $V$ "同態於" $W$ 表示存在一個從 $V$ 到（但不必是映上） $W$ 的同態，那麼由於零對映總是存在的，因此每個空間都同態於任何其他空間。

如果 $V$ "同態於" $W$ 表示存在一個從 $V$ 到 $W$ 的映上同態，那麼該關係不是一個等價關係。例如，存在一個從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的映上同態（投影就是一個），但是不存在從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同態（根據推論 2.17），因此該關係不是自反的。^[1]

問題 24

證明線性對映 $t:V\to V$ 的冪的像空間和零空間形成下降

V\supseteq {\mathcal {R}}(t)\supseteq {\mathcal {R}}(t^{2})\supseteq \ldots

和上升

\{{\vec {0}}\}\subseteq {\mathcal {N}}(t)\subseteq {\mathcal {N}}(t^{2})\subseteq \ldots

鏈。同時證明，如果 $k$ 滿足 ${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})$ ，那麼所有後續的值域都是相等的： ${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})\ldots \,$ 。類似地，如果 ${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})$ ，那麼 ${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})={\mathcal {N}}(t^{k+2})=\ldots \,$ 。

答案

它們構成鏈是顯而易見的。對於其餘部分，我們這裡證明 ${\mathcal {R}}(t^{j+1})={\mathcal {R}}(t^{j})$ 意味著 ${\mathcal {R}}(t^{j+2})={\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 。然後歸納法適用。

假設 ${\mathcal {R}}(t^{j+1})={\mathcal {R}}(t^{j})$ 。那麼 $t:{\mathcal {R}}(t^{j+1})\to {\mathcal {R}}(t^{j+2})$ 與 $t:{\mathcal {R}}(t^{j})\to {\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 是同一個對映，具有相同的定義域。因此，它具有相同的範圍： ${\mathcal {R}}(t^{j+2})={\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 。

↑ 關於等價關係的更多資訊在附錄中。

[1] 關於等價關係的更多資訊在附錄中。

[1]