線性代數/同構的定義和示例

線性代數
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我們從兩個例子開始，它們暗示了正確的定義。

示例 1.1

考慮上面提到的例子，二維行向量空間和二維列向量空間。它們是“相同的”，因為如果我們將具有相同分量的向量關聯起來，例如：

{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}

那麼這種對應關係保留了運算，例如這種加法

{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&6\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}

以及這種標量乘法。

5\cdot {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad 5\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}}

更一般地，在對應關係下

{\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}

兩種運算都被保留了

{\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}&b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}&a_{1}+b_{1}\end{pmatrix}}\longleftrightarrow {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\end{pmatrix}}

以及

r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}&ra_{1}\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\end{pmatrix}}

（所有變數都是實數）。

示例 1.2

我們可以將另外兩個空間視為“相同”： ${\mathcal {P}}_{2}$ ，二次多項式空間，以及 $\mathbb {R} ^{3}$ 。它們之間存在一個自然的對應關係。

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\qquad \qquad ({\text{e.g., }}1+2x+3x^{2}\,\longleftrightarrow \,{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}})

結構得以保留：對應元素以對應的方式相加

{\begin{array}{r}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\\+\,\,b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\\\hline (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}

標量乘法也對應。

r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}\quad \longleftrightarrow \quad r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}

定義 1.3

兩個向量空間 $V$ 和 $W$ 之間的同構是指一個對映 $f:V\to W$ ，它

是一個對應關係： $f$ 是單射和滿射；^[1]
保留結構： 如果 ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$ 那麼
$f({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=f({\vec {v}}_{1})+f({\vec {v}}_{2})$
並且如果 ${\vec {v}}\in V$ 且 $r\in \mathbb {R}$ 那麼
$f(r{\vec {v}})=r\,f({\vec {v}})$

(我們寫 $V\cong W$ ，讀作“ $V$ 與 $W$ 同構”，當存在這樣的對映時).

(“態射”意味著對映，所以“同構”意味著表達相同性的對映).

例 1.4

向量空間 $G=\{c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta \,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}$ 的 $\theta$ 函式，與向量空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 在這個對映下是同構的。

c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta {\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}

我們將透過定義中的條件來驗證這一點。

我們將首先驗證條件 1，即該對映是空間基礎集合之間的對應關係。

為了證明 $f$ 是單射的，我們必須證明當且僅當 ${\vec {a}}={\vec {b}}$ 時， $f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$ 。如果

f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )=f(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )

那麼，根據 $f$ 的定義，

{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}

由此我們可以得出結論： $a_{1}=b_{1}$ 並且 $a_{2}=b_{2}$ ，因為列向量只有在它們具有相同的分量時才相等。我們證明了 $f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$ 意味著 ${\vec {a}}={\vec {b}}$ ，這表明 $f$ 是單射的。

為了檢查 $f$ 是否滿射，我們必須檢查陪域 $\mathbb {R} ^{2}$ 的任何元素是否都是定義域 $G$ 中某個元素的像。但這是很明顯的——任何

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}

都是 $f$ 下 $x\cos \theta +y\sin \theta \in G$ 的像。

接下來我們將驗證條件 (2)，即 $f$ 保持結構。

這個計算表明 $f$ 保持加法。

f{\bigl (}\,(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )+(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )\,{\bigr )}

{\begin{array}{rl}&=f{\bigl (}\,(a_{1}+b_{1})\cos \theta +(a_{2}+b_{2})\sin \theta \,{\bigr )}\\&={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\\&=f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )+f(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )\end{array}}

類似的計算表明， $f$ 保持標量乘法。

{\begin{array}{rl}f{\bigl (}\,r\cdot (a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )\,{\bigr )}&=f(\,ra_{1}\cos \theta +ra_{2}\sin \theta \,)\\&={\begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot \,f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )\end{array}}

這樣，條件 (1) 和 (2) 都得到了驗證，因此我們知道 $f$ 是一個同構，我們可以說這兩個空間是同構的 $G\cong \mathbb {R} ^{2}$ .

例 1.5

設 $V$ 為三個變數 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的線性組合的空間，在自然加法和標量乘法運算下。那麼 $V$ 與 ${\mathcal {P}}_{2}$ ，二次多項式空間，同構。

為了證明這一點，我們將構造一個同構對映。不止一種可能性；例如，這裡有四個。

${\begin{array}{c}c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\end{array}}\quad {\begin{array}{rl}{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}&c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}\\{\stackrel {f_{2}}{\longmapsto }}&c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2}\\{\stackrel {f_{3}}{\longmapsto }}&-c_{1}-c_{2}x-c_{3}x^{2}\\{\stackrel {f_{4}}{\longmapsto }}&c_{1}+(c_{1}+c_{2})x+(c_{1}+c_{3})x^{2}\end{array}}$

第一個對映是最自然的對應關係，因為它只是將係數傳遞過來。然而，我們將在下面驗證第二個對映是一個同構，以強調除了顯而易見的同構之外，還有其他同構（證明 $f_{1}$ 是同構見習題 3）。

為了證明 $f_{2}$ 是單射，我們將證明如果 $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ ，那麼 $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$ 。假設 $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ ，根據 $f_{2}$ 的定義，我們得到 $c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2}=d_{2}+d_{3}x+d_{1}x^{2}$ 。相等的多項式具有相等的係數，因此 $c_{2}=d_{2}$ ， $c_{3}=d_{3}$ 和 $c_{1}=d_{1}$ 。因此， $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ 意味著 $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$ ，因此 $f_{2}$ 是單射。

對映 $f_{2}$ 是滿射，因為陪域中的任意成員 $a+bx+cx^{2}$ 都是定義域中某個成員的像，即它是 $cx+ay+bz$ 的像。例如， $2+3x-4x^{2}$ 是 $f_{2}(-4x+2y+3z)$ .

結構保持的計算與前面的例子類似。此對映保持加法

f_{2}{\bigl (}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z){\bigr )}

{\begin{array}{rl}&=f_{2}{\bigl (}(c_{1}+d_{1})x+(c_{2}+d_{2})y+(c_{3}+d_{3})z{\bigr )}\\&=(c_{2}+d_{2})+(c_{3}+d_{3})x+(c_{1}+d_{1})x^{2}\\&=(c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2})+(d_{2}+d_{3}x+d_{1}x^{2})\\&=f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\end{array}}

和標量乘法。

{\begin{array}{rl}f_{2}{\bigl (}r\cdot (c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z){\bigr )}&=f_{2}(rc_{1}x+rc_{2}y+rc_{3}z)\\&=rc_{2}+rc_{3}x+rc_{1}x^{2}\\&=r\cdot (c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2})\\&=r\cdot \,f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\end{array}}

因此 $f_{2}$ 是一個同構，我們寫成 $V\cong {\mathcal {P}}_{2}$ 。

我們有時會對一個空間與其自身的同構感興趣，稱為**自同構**。恆等對映是一個自同構。以下兩個例子表明還有其他自同構。

示例 1.6

一個**擴張**對映 $d_{s}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，它將所有向量乘以一個非零標量 $s$ ，是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一個自同構。

一個**旋轉**或**轉向對映** $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，它將所有向量旋轉一個角度 $\theta$ ，也是一個自同構。

第三種 $\mathbb {R} ^{2}$ 的自同構是對映 $f_{\ell }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，它將所有向量**翻轉**或**反射**到透過原點的直線 $\ell$ 上。

參見問題 20。

示例 1.7

考慮度數不超過 5 的多項式空間 ${\mathcal {P}}_{5}$ 和對映 $f$ ，它將多項式 $p(x)$ 對映到 $p(x-1)$ 。例如，在這個對映下 $x^{2}\mapsto (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$ 以及 $x^{3}+2x\mapsto (x-1)^{3}+2(x-1)=x^{3}-3x^{2}+5x-3$ 。此對映是此空間的自同構；檢驗結果見問題 12。

這種 ${\mathcal {P}}_{5}$ 到自身的同構不僅僅告訴我們空間“相同”，它還讓我們對空間的結構有所瞭解。例如，下面顯示的是拋物線的族，它們是 ${\mathcal {P}}_{5}$ 中的成員的圖形。每個拋物線在 $y=-1$ 處有一個頂點，最左邊的拋物線在 $-2.25$ 和 $-1.75$ 處有零點，下一個拋物線在 $-1.25$ 和 $-0.75$ 處有零點，等等。

從幾何角度看，將任何函式的引數中的 $x$ 替換為 $x-1$ 會將其圖形向右移動一個單位。因此， $f(p_{0})=p_{1}$ ， $f$ 的作用是將所有拋物線向右移動一個單位。請注意，應用 $f$ 之前的影像與應用 $f$ 之後的影像相同，因為雖然每個拋物線都向右移動，但另一個拋物線從左邊進來填補了空缺。這對三次函式等也成立。因此，自同構 $f$ 使我們瞭解到 $P_{5}$ 具有某種水平同質性；這個空間在 $x=1$ 附近看起來與在 $x=0$ 附近一樣。

如本節引言所述，我們接下來將給出一些結果來支援這樣一個論點，即上面給出的同構定義符合我們對向量空間“相同”的直覺。

當然，定義本身就很有說服力：向量空間由兩個部分組成，一個集合和一些結構，而定義只是要求集合對應，結構也對應。上面的例子也具有說服力。特別是，例 1.1 給出了一個兩行向量空間與兩列向量空間之間的同構，它戲劇化地證明了我們對同構空間在所有相關方面都相同的直覺。有時人們會說，當 $V\cong W$ 時，“ $W$ 只是用綠色繪製的 $V$ ”——任何差異都只是表面上的。

如果需要，以下結果將進一步支援該定義，這些結果綜合起來表明，向量空間中所有感興趣的事物在同構下都是對應的。由於我們研究向量空間是為了研究線性組合，“感興趣”意味著“與線性組合相關”。不感興趣的是向量在印刷上的表現方式（或顏色！）。

例如，雖然同構的定義沒有明確說明零向量必須對應，但這卻是該定義的推論。

引理 1.8

同構將零向量對映到零向量。

證明

當 $f:V\to W$ 是一個同構時，固定任何 ${\vec {v}}\in V$ 。那麼 $f({\vec {0}}_{V})=f(0\cdot {\vec {v}})=0\cdot f({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}$ 。

同構的定義要求兩個向量的和對應，標量乘法也對應。我們可以擴充套件這個說法，說所有線性組合都對應。

引理 1.9

對於任何向量空間之間的對映 $f:V\to W$ ，這些語句是等價的。

$f$ 保持結構
$f({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=f({\vec {v}}_{1})+f({\vec {v}}_{2})\quad {\text{and}}\quad f(c{\vec {v}})=c\,f({\vec {v}})$
$f$ 保持兩個向量的線性組合
$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2})$
$f$ 保持任何有限個向量的線性組合
$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v}}_{n})$

證明

由於推論 $3\!\implies \!2$ 和 $2\!\implies \!1$ 很明顯，我們只需要證明 $1\!\implies \!3$ 。假設命題 1。我們將透過對加數 $n$ 的數量進行歸納來證明命題 3。

一個加數的基準情況，即 $f(c{\vec {v}}_{1})=c\,f({\vec {v}}_{1})$ ，被命題 1 的假設所涵蓋。

對於歸納步驟，假設命題 3 在加數為 $k$ 或更少時成立，即，當 $n=1$ ，或 $n=2$ ，...，或 $n=k$ 時。考慮 $k+1$ 個加數的情況。命題 1 的前半部分給出

f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}+c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k})+f(c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})

透過將和在最後的 " $+$ " 處拆開。然後歸納假設讓我們可以拆開 $k$ 項和。

=f(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +f(c_{k}{\vec {v}}_{k})+f(c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})

最後，命題 1 的後半部分給出

=c_{1}\,f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{k}\,f({\vec {v}}_{k})+c_{k+1}\,f({\vec {v}}_{k+1})

當應用 $k+1$ 次時。

除了增強對同構定義確實保留了向量空間中感興趣事物的直覺之外，該引理的第二項是一個特別方便的檢查對映是否保留結構的方法。

最後，我們做一個總結。本節內容是對向量空間一章的補充。在那裡，在給出向量空間的定義之後，我們非正式地考察了可能發生的各種情況。在這裡，我們定義了向量空間之間的關係" $\cong$ "，並論證了它將向量空間集合分解為各個情況的正確方式，因為它保留了向量空間中感興趣的特徵——特別是，它保留了線性組合。也就是說，我們現在已經精確地說明了“相同”和“不同”的含義，因此我們已經精確地對向量空間進行了分類。

練習

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

使用示例 1.4 作為模型，驗證定義之前給出的兩種對應關係是同構。

示例 1.1
示例 1.2

建議所有讀者完成此練習。

問題 2

對於對映 $f:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由下式給出

a+bx{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a-b\\b\end{pmatrix}}

找到域中每個元素的像。

$3-2x$
$2+2x$
$x$

證明此對映是同構。

問題 3

證明來自示例 1.5 的自然對映 $f_{1}$ 是同構。

建議所有讀者完成此練習。

問題 4

判斷每個對映是否是同構（如果是同構，則證明它；如果不是，則說明它不滿足的條件）。

$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由下式給出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto ad-bc$
$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R} ^{4}$ 由下式給出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a+b+c+d\\a+b+c\\a+b\\a\end{pmatrix}}$
$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 給定
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a)x^{2}+ax^{3}$
$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 給定
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a+1)x^{2}+ax^{3}$

問題 5

證明對映 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 由 $f(x)=x^{3}$ 給出的是一一對應且滿射。它是一個同構嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 6

參考例 1.1。再生成兩個同構（當然，必須驗證它們滿足同構定義中的條件）。

問題 7

參考例 1.2。再生成兩個同構（並驗證它們滿足條件）。

建議所有讀者完成此練習。

問題 8

證明儘管 $\mathbb {R} ^{2}$ 本身不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間，它與 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 $xy$ 平面子空間同構。

問題 9

找出 $\mathbb {R} ^{16}$ 和 ${\mathcal {M}}_{4\!\times \!4}$ 之間的兩個同構。

建議所有讀者完成此練習。

問題 10

對於什麼 $k$ ， ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ 與 $\mathbb {R} ^{k}$ 同構？

問題 11

對於什麼 $k$ ， ${\mathcal {P}}_{k}$ 與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同構？

問題 12

證明在例 1.7中，從 ${\mathcal {P}}_{5}$ 到 ${\mathcal {P}}_{5}$ 的對映，由 $p(x)\mapsto p(x-1)$ 給出，是一個向量空間同構。

問題 13

為什麼，在引理 1.8中，必須有一個 ${\vec {v}}\in V$ ？也就是說，為什麼 $V$ 必須是非空的？

問題 14

任何兩個平凡空間是否同構？

問題 15

在引理 1.9的證明中，零加數的情況如何（也就是說，如果 $n$ 為零）？

問題 16

證明任何同構 $f:{\mathcal {P}}_{0}\to \mathbb {R} ^{1}$ 都有形式 $a\mapsto ka$ ，其中 $k$ 是一個非零實數。

建議所有讀者完成此練習。

問題 17

這些證明了同構是一個等價關係。

證明恆等對映 ${\mbox{id}}:V\to V$ 是一個同構。因此，任何向量空間都與其自身同構。
證明如果 $f:V\to W$ 是一個同構，那麼它的逆對映 $f^{-1}:W\to V$ 也是一個同構。因此，如果 $V$ 與 $W$ 同構，那麼 $W$ 也與 $V$ 同構。
證明同構的複合仍為同構：如果 $f:V\to W$ 是一個同構，並且 $g:W\to U$ 是一個同構，那麼 $g\circ f:V\to U$ 也是一個同構。因此，如果 $V$ 與 $W$ 同構，並且 $W$ 與 $U$ 同構，那麼 $V$ 也與 $U$ 同構。

問題 18

假設 $f:V\to W$ 保持結構。證明 $f$ 是一一對映當且僅當 $V$ 中唯一被 $f$ 對映到 ${\vec {0}}_{W}$ 的元素是 ${\vec {0}}_{V}$ 。

問題 19

假設 $f:V\to W$ 是一個同構。證明集合 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k}\}\subseteq V$ 線性相關當且僅當其像集 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{k})\}\subseteq W$ 線性相關。

建議所有讀者完成此練習。

問題 20

證明例 1.6 中每種對映都是自同構。

以非零標量 $s$ 進行的伸縮變換 $d_{s}$ 。
旋轉 $t_{\theta }$ 角 $\theta$ .
關於過原點的直線的反射 $f_{\ell }$ .

提示：對於第二和第三項，極座標很有用。

問題 21

產生一個 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的自同構，除了恆等對映，以及移位對映 $p(x)\mapsto p(x-k)$ .

問題 22

證明函式 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 是自同構當且僅當它具有以下形式 $x\mapsto kx$ ，其中 $k\neq 0$ .
令 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{1}$ 的一個自同構，使得 $f(3)=7$ 。求 $f(-2)$ .
證明函式 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是自同構當且僅當它具有以下形式
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
其中 $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ ，且 $ad-bc\neq 0$ 。提示：前面小節中的練習表明
${\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}{\text{ is not a multiple of }}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$
當且僅當 $ad-bc\neq 0$ .
令 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一個自同構，並且
$f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$
求
$f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}).$

問題 23

參考引理 1.8 和引理 1.9。找到另外兩個由同構保留的性質。

問題 24

我們證明同構可以根據需要進行調整，也就是說，在某些情況下，給定域中的向量和值域中的向量，我們可以構造一個將這些向量關聯起來的同構。

令 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 是 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一個基底，使得任何 ${\vec {p}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 都有唯一表示形式 ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}$ ，我們用這種方式表示。
${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$
證明 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 操作是從 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的函式（這需要證明對於每個定義域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 都有一個相關的像向量在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，並且，對於每個定義域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 最多有一個相關的像向量）。
證明這個 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 函式是一對一的且滿射。
證明它保留結構。
生成一個從 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同構，符合這些規範。
$x+x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad 1-x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

問題 25

證明一個空間是 $n$ 維的當且僅當它與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同構。提示。固定空間的基 $B$ 並考慮將向量對映到它相對於 $B$ 的表示的對映。

問題 26

（需要可選的“組合子空間”小節。） 令 $U$ 和 $W$ 為向量空間。定義一個新的向量空間，其包含集合 $U\times W=\{({\vec {u}},{\vec {w}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U{\text{ and }}{\vec {w}}\in W\}$ 以及以下運算。

({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\quad {\text{and}}\quad r\cdot ({\vec {u}},{\vec {w}})=(r{\vec {u}},r{\vec {w}})

這是一個向量空間，即 $U$ 和 $W$ 的外直和。

檢查它是否是一個向量空間。
找到外直和 ${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ 的基和維數。
$\dim(U)$ 、 $\dim(W)$ 和 $\dim(U\times W)$ 之間有什麼關係？
假設 $U$ 和 $W$ 是向量空間 $V$ 的子空間，使得 $V=U\oplus W$ （在這種情況下，我們說 $V$ 是 $U$ 和 $W$ 的 **內部直和**）。證明對映 $f:U\times W\to V$ ，由
$({\vec {u}},{\vec {w}}){\stackrel {f}{\longmapsto }}{\vec {u}}+{\vec {w}}$
是一個同構。因此，如果內部直和定義了，則內部直和和外部直和是同構的。

解決方案

腳註

↑ 有關一對一和滿射對映的更多資訊，請參見附錄。

線性代數
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[1] 有關一對一和滿射對映的更多資訊，請參見附錄。

[1]