線性代數/同構

在向量空間定義之後的示例中，我們發展了直覺，即某些空間“與”其他空間“相同”。例如，兩個高的列向量的空間和兩個寬的行向量的空間並不相等，因為它們的元素——列向量和行向量——並不相等，但我們認為這些空間只是在元素的外觀上有所不同。我們現在將使這個想法變得精確。

本節說明了數學研究的一個常見方面。藉助一些例子，我們已經得到了一個想法。接下來，我們將給出正式的定義，然後我們將給出一些結果來支援我們的論點，即該定義捕捉到了這個想法。我們已經看到這種情況發生過，例如在向量空間章節的第一部分。在那裡，線性系統的研究促使我們考慮線上性組合下封閉的集合。我們將這樣的集合定義為向量空間，並隨後提供了一些支援結果。

當然，那個定義不是一個終點，相反，它帶來了新的見解，比如基的概念。在這裡也是，在給出定義並對其進行支援之後，我們將得到兩個驚喜（令人愉快的）。首先，我們會發現這個定義適用於一些意想不到的有趣情況。其次，對定義的研究將帶來新的想法。這樣，我們的研究將積聚動力。