線性代數/主題：量綱分析

線性代數
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正如俗話所說，“你不能把蘋果和橙子加在一起”。它反映了我們在應用中，量具有單位，並且跟蹤這些單位是值得的。每個人都做過這樣的計算，使用單位作為檢查。

60\,{\frac {\text{sec}}{\text{min}}}\cdot 60\,{\frac {\text{min}}{\text{hr}}}\cdot 24\,{\frac {\text{hr}}{\text{day}}}\cdot 365\,{\frac {\text{day}}{\text{year}}}=31\,536\,000\,{\frac {\text{sec}}{\text{year}}}

然而，包含單位的概念可以超越簿記。它可以用來推斷物理量之間可能存在的關係。

首先，考慮物理方程： ${\text{distance}}=16\cdot ({\text{time}})^{2}$ 。如果距離以英尺為單位，時間以秒為單位，那麼這個關於落體的語句是正確的。但是，它在其他單位制中並不正確；例如，它在米-秒制中不正確。我們可以透過使 $16$ 成為一個量綱常數來解決這個問題。

{\text{dist}}=16\,{\frac {\text{ft}}{{\text{sec}}^{2}}}\cdot ({\text{time}})^{2}

例如，上述方程在碼-秒制中成立。

{\text{distance in yards}}=16\,{\frac {(1/3)\,{\text{yd}}}{{\text{sec}}^{2}}}\cdot ({\text{time in sec}})^{2}={\frac {16}{3}}\,{\frac {\text{yd}}{{\text{sec}}^{2}}}\cdot ({\text{time in sec}})^{2}

因此，我們的第一點是，透過“包含單位”，我們的意思是我們將注意力限制在使用量綱常數的方程上。

透過使用量綱常數，我們可以對單位含糊其辭，只說所有量都是用長度單位 $L$ 、質量 $M$ 和時間 $T$ 的組合來測量。我們將把這三個稱為量綱（這三個是我們在這個主題中需要的唯一三個量綱）。例如，速度可以用 ${\text{feet}}/{\text{second}}$ 或 ${\text{fathoms}}/{\text{hour}}$ 來測量，但在所有情況下，它都涉及到長度單位除以時間單位，所以速度的量綱公式是 $L/T$ 。類似地，密度的量綱公式是 $M/L^{3}$ 。我們更喜歡使用負指數而不是分數線，並且我們將在量綱中包含一個零指數，也就是說，我們將把速度的量綱公式寫成 $L^{1}M^{0}T^{-1}$ ，密度的量綱公式寫成 $L^{-3}M^{1}T^{0}$ 。

在這個語境中，“你不能把蘋果加到橘子上”就變成了要檢查方程式所有項是否具有相同量綱公式的建議。例如，以下這個自由落體方程式： $d-gt^{2}=0$ 。 $d$ 項的量綱公式是 $L^{1}M^{0}T^{0}$ 。對於另一項， $g$ 的量綱公式是 $L^{1}M^{0}T^{-2}$ （ $g$ 是上面給出的量綱常數 $16\,{\text{ft}}/{\text{sec}}^{2}$ ），而 $t$ 的量綱公式是 $L^{0}M^{0}T^{1}$ ，所以整個 $gt^{2}$ 項的量綱公式是 $L^{1}M^{0}T^{-2}(L^{0}M^{0}T^{1})^{2}=L^{1}M^{0}T^{0}$ 。因此，這兩個項具有相同的量綱公式。具有這種性質的方程式稱為 **量綱齊次** 方程式。

量綱公式為 $L^{0}M^{0}T^{0}$ 的量被稱為 **無量綱** 量。例如，我們透過取圓心角所對弧長與半徑的比值來測量角度

它是長度與長度的比值 $L^{1}M^{0}T^{0}/L^{1}M^{0}T^{0}$ ，因此角度的量綱公式是 $L^{0}M^{0}T^{0}$ 。

使用單位不僅僅是記賬，而是將其用於得出結論的經典例子是考慮單擺週期的公式。

p={\text{--some expression involving the length of the string, etc.--}}

週期是以時間為單位的 $L^{0}M^{0}T^{1}$ 。因此，方程另一側的量必須具有以某種方式組合的量綱公式，使得它們的 $L$ 和 $M$ 相互抵消，只剩下一個 $T$ 。下表列出了經驗豐富的研究人員認為可能相關的量。唯一包含 $L$ 的量綱公式是用於弦長和重力加速度的公式。為了使這兩個公式的 $L$ 相互抵消，它們出現在方程式中時必須處於比率中，例如，作為 $(\ell /g)^{2}$ ，或者作為 $\cos(\ell /g)$ ，或者作為 $(\ell /g)^{-1}$ 。因此，週期是 $\ell /g$ 的函式。

這是一個非凡的結果：在進行任何實際的擺動測量之前，我們僅僅透過紙筆分析，就能推匯出這些量之間關係的一些資訊。

要系統地進行量綱分析，我們需要了解兩點（這些論點在 (Bridgman 1931) 的第二章和第四章中進行了論述）。首先，我們將看到，每個關於物理量的方程式都包含一項或多項的求和，其中每一項都具有以下形式

m_{1}^{p_{1}}m_{2}^{p_{2}}\cdots m_{k}^{p_{k}}

對於測量這些量的數字 $m_{1}$ ，...， $m_{k}$ 。

其次，請注意，構造一個量綱齊次的表示式的一個簡單方法是取無量綱量的乘積或新增這些無量綱項。白金漢定理指出，任何關於具有量綱公式的量的完整關係都可以透過代數運算轉化為一種形式，其中存在一個函式 $f$ 使得

f(\Pi _{1},\ldots ,\Pi _{n})=0

對於一組完整的無量綱量 $\{\Pi _{1},\ldots ,\Pi _{n}\}$ 。 (下面的第一個例子描述了什麼是“完整的”無量綱量集。) 我們通常希望用其他量來表示其中一個量，例如 $m_{1}$ ，為此，我們將假設上述等式可以改寫為

m_{1}=m_{2}^{-p_{2}}\cdots m_{k}^{-p_{k}}\cdot {\hat {f}}(\Pi _{2},\ldots ,\Pi _{n})

其中 $\Pi _{1}=m_{1}m_{2}^{p_{2}}\cdots m_{k}^{p_{k}}$ 是無量綱的，而 $\Pi _{2}$ ，..., $\Pi _{n}$ 不包含 $m_{1}$ (與 $f$ 一樣，這裡的 ${\hat {f}}$ 只是一個函式，這次是 $n-1$ 個引數的函式)。因此，為了進行量綱分析，我們應該找出哪些無量綱量是可能的。

例如，再次考慮擺的週期公式。

量	量綱公式
週期 $p$	$L^{0}M^{0}T^{1}$
繩長 $\ell$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
擺錘質量 $m$	$L^{0}M^{1}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
擺動弧度 $\theta$	$L^{0}M^{0}T^{0}$

根據上面提到的第一個事實，我們預計該公式將具有（可能是一些項的總和）形式 $p^{p_{1}}\ell ^{p_{2}}m^{p_{3}}g^{p_{4}}\theta ^{p_{5}}$ 。為了利用第二個事實，找到哪些冪的組合 $p_{1}$ ，...， $p_{5}$ 產生無量綱乘積，請考慮以下方程式。

(L^{0}M^{0}T^{1})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{3}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{4}}(L^{0}M^{0}T^{0})^{p_{5}}=L^{0}M^{0}T^{0}

它對冪給出了三個條件。

{\begin{array}{*{5}{rc}r}&\ &p_{2}&\ &&+&p_{4}&&&=&0\\&&&&p_{3}&&&&&=&0\\p_{1}&&&&&-&2p_{4}&&&=&0\end{array}}

請注意， $p_{3}$ 為 $0$ ，因此擺錘的質量不會影響週期。該系統的 Gauss 消元和引數化給出了以下結果

\{{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1/2\\0\\1/2\\0\end{pmatrix}}p_{1}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}p_{5}\,{\big |}\,p_{1},p_{5}\in \mathbb {R} \}

(為了用其他量表示週期，我們取 $p_{1}$ 作為引數之一)。

以下是線性代數。無量綱量組包含所有滿足上述條件的項 $p^{p_{1}}\ell ^{p_{2}}m^{p_{3}}a^{p_{4}}\theta ^{p_{5}}$ 。在“ $+$ ”運算（將兩個無量綱量相乘）和“ $\cdot$ ”運算（將無量綱量乘以標量）（見練習 5）下，該集合形成一個向量空間。巴克萊定理中的“無量綱量的完整集合”意味著該向量空間的一個基。

我們可以先取 $p_{1}=1$ ， $p_{5}=0$ ，然後取 $p_{1}=0$ ， $p_{5}=1$ 來得到基。對應的無量綱量為 $\Pi _{1}=p\ell ^{-1/2}g^{1/2}$ 和 $\Pi _{2}=\theta$ 。因為集合 $\{\Pi _{1},\Pi _{2}\}$ 是完整的，巴克萊定理指出

p=\ell ^{1/2}g^{-1/2}\cdot {\hat {f}}(\theta )={\sqrt {\ell /g}}\cdot {\hat {f}}(\theta )

其中 ${\hat {f}}$ 是一個我們無法從這個分析中確定的函式（一年級物理教科書將透過其他方法證明，對於小角度，它近似於常數函式 ${\hat {f}}(\theta )=2\pi$ ）。

因此，對具有給定量綱公式的量之間可能關係的分析，已經產生了相當多的資訊：擺的週期不依賴於擺錘的質量，並且它隨擺線長度的平方根而增加。

在下一個例子中，我們嘗試確定在相互引力吸引下繞軌道執行的太空中兩個物體的公轉週期。有經驗的調查人員可以預期這些是相關的量。

量	量綱公式
週期 $p$	$L^{0}M^{0}T^{1}$
平均距離 $r$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
第一個質量 $m_{1}$	$L^{0}M^{1}T^{0}$
第二個質量 $m_{2}$	$L^{0}M^{1}T^{0}$
萬有引力常數 $G$	$L^{3}M^{-1}T^{-2}$

為了得到完整的無量綱乘積集，我們考慮方程

(L^{0}M^{0}T^{1})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{3}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{4}}(L^{3}M^{-1}T^{-2})^{p_{5}}=L^{0}M^{0}T^{0}

這會導致一個系統

{\begin{array}{*{5}{rc}r}&&p_{2}&&&&&+&3p_{5}&=&0\\&&&&p_{3}&+&p_{4}&-&p_{5}&=&0\\p_{1}&&&&&&&-&2p_{5}&=&0\end{array}}

和這個解。

\{{\begin{pmatrix}1\\-3/2\\1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}p_{1}+{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}p_{4}\,{\big |}\,p_{1},p_{4}\in \mathbb {R} \}

如前所述，這裡的線性代數是這些量的無量綱乘積的集合形成了一個向量空間，我們想要為該空間生成一個基，即無量綱乘積的“完整”集合。其中一個集合可以透過設定 $p_{1}=1$ 和 $p_{4}=0$ ，以及設定 $p_{1}=0$ 和 $p_{4}=1$ 得到 $\{\Pi _{1}=pr^{-3/2}m_{1}^{1/2}G^{1/2},\,\Pi _{2}=m_{1}^{-1}m_{2}\}$ 。有了它，白金漢定理說明這些量之間的任何完整關係都可以用這種形式表達。

p=r^{3/2}m_{1}^{-1/2}G^{-1/2}\cdot {\hat {f}}(m_{1}^{-1}m_{2})={\frac {r^{3/2}}{\sqrt {Gm_{1}}}}\cdot {\hat {f}}(m_{2}/m_{1})

備註。 先前公式的一個重要應用是當 $m_{1}$ 是太陽的質量，而 $m_{2}$ 是行星的質量。由於 $m_{1}$ 比 $m_{2}$ 大得多， ${\hat {f}}$ 的自變數近似為 $0$ ，我們可以想知道當 $m_{2}$ 變化時，公式的這部分是否保持近似恆定。看到這一點的一種方法是這樣的。太陽比行星大得多，以至於相互旋轉近似於太陽中心。如果我們將行星的質量 $m_{2}$ 改變 $x$ 倍（例如，金星的質量是地球質量的 $x=0.815$ 倍），那麼引力會乘以 $x$ ，而作用在 $x$ 倍質量上的 $x$ 倍力，由於 $F=ma$ ，給出相同的加速度，圍繞相同的中心（近似）。因此，軌道將相同，因此週期將相同，因此上述等式的右側也保持不變（近似）。因此， ${\hat {f}}(m_{2}/m_{1})$ 當 $m_{2}$ 變化時，近似恆定。這就是開普勒第三定律：行星週期的平方與其繞太陽執行的平均軌道半徑的立方成正比。

最後的例子是量綱分析最早的明確應用之一。瑞利勳爵考慮了深水波的傳播速度，並建議以下為相關量。

量	量綱公式
波的速度 $v$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
水的密度 $d$	$L^{-3}M^{1}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
波長 $\lambda$	$L^{1}M^{0}T^{0}$

方程式

(L^{1}M^{0}T^{-1})^{p_{1}}(L^{-3}M^{1}T^{0})^{p_{2}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{3}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{4}}=L^{0}M^{0}T^{0}

給出了這個系統

{\begin{array}{*{4}{rc}r}p_{1}&-&3p_{2}&+&p_{3}&+&p_{4}&=&0\\&&p_{2}&&&&&=&0\\-p_{1}&&&-&2p_{3}&&&=&0\end{array}}

並具有此解空間

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}p_{1}\,{\big |}\,p_{1}\in \mathbb {R} \}

(如單擺示例，數量之一 $d$ 最終被發現與關係無關)。存在一個無量綱乘積 $\Pi _{1}=vg^{-1/2}\lambda ^{-1/2}$ ，因此 $v$ 是 ${\sqrt {\lambda g}}$ 乘以一個常數 ( ${\hat {f}}$ 是常數，因為它是不帶引數的函式)。

如上三個例子所示，量綱分析可以幫助我們更深入地表達這些量之間的關係。如需進一步瞭解，可以參考經典著作（Bridgman 1931）——這本簡短的書非常有趣。另一個來源是（Giordano、Wells & Wilde 1987）。關於量綱分析在建模中的地位的描述可以在（Giordano、Jaye & Weir 1986）中找到。

練習

問題 1

考慮一個以初速度 $v_{0}$ 、角度 $\theta$ 發射的彈丸。對該運動的探究可以從假設這些是相關的量開始。（de Mestre 1990）

量	量綱公式
水平位置 $x$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
垂直位置 $y$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
初始速度 $v_{0}$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
發射角 $\theta$	$L^{0}M^{0}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
時間 $t$	$L^{0}M^{0}T^{1}$

證明 $\{gt/v_{0},gx/v_{0}^{2},gy/v_{0}^{2},\theta \}$ 是一組完整的無量綱積。（提示：這可以透過在產生的線性系統中找到合適的自由變數來完成，但是有一個使用基的性質的捷徑。）
以下兩個關於拋射物的運動方程是熟悉的： $x=v_{0}\cos(\theta )t$ 和 $y=v_{0}\sin(\theta )t-(g/2)t^{2}$ 。對每個進行操作，將其改寫為前一項中無量綱積之間的關係。

問題 2: 愛因斯坦（Einstein 1911）推測固體的紅外特徵頻率可以透過確定固體普通彈性行為的原子間相同力來確定。相關量是

量	量綱公式
特徵頻率 $\nu$	$L^{0}M^{0}T^{-1}$
壓縮率 $k$	$L^{1}M^{-1}T^{2}$
每立方厘米原子數 $N$	$L^{-3}M^{0}T^{0}$
原子質量 $m$	$L^{0}M^{1}T^{0}$

證明只有一個無量綱積。由此得出結論，在具有這些量綱公式的量之間的任何完整關係中， $k$ 是一個常數乘以 $\nu ^{-2}N^{-1/3}m^{-1}$ 。這個結論在早期量子現象研究中發揮了重要作用。

問題 3

發動機產生的扭矩具有量綱公式 $L^{2}M^{1}T^{-2}$ 。我們可以先猜測它取決於發動機的轉速（量綱公式為 $L^{0}M^{0}T^{-1}$ ），以及排氣量（量綱公式為 $L^{3}M^{0}T^{0}$ ）（Giordano, Wells & Wilde 1987）。

嘗試找到一組完整的無量綱積。會發生什麼問題？
透過新增空氣密度（量綱公式為 $L^{-3}M^{1}T^{0}$ ）來調整猜測。現在找到一組完整的無量綱積。

問題 4

多米諾骨牌的倒塌會形成波浪。我們可以推測波速 $v$ 取決於多米諾骨牌之間的間距 $d$ 、每塊多米諾骨牌的高度 $h$ ，以及重力加速度 $g$ 。 (Tilley)

找到這四個量的量綱公式。
證明 $\{\Pi _{1}=h/d,\Pi _{2}=dg/v^{2}\}$ 是一組完整的無量綱積。
證明如果 $h/d$ 是固定的，那麼傳播速度與 $d$ 的平方根成正比。

問題 5

證明無量綱積在 ${\vec {+}}$ 運算（將兩個這樣的積相乘）和 ${\vec {\cdot }}$ 運算（將該積提升到標量的冪次）下形成向量空間。（向量箭頭是為了防止混淆。）也就是說，證明對於任何特定的齊次系統，這組 $m_{1}$ ，..., $m_{k}$ 的冪的積的集合

\{m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}\,{\big |}\,p_{1},\ldots ,p_{k}{\text{ satisfy the system}}\}

是向量空間，其運算規則為

m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}{\vec {+}}m_{1}^{q_{1}}\dots m_{k}^{q_{k}}=m_{1}^{p_{1}+q_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}+q_{k}}

和

r{\vec {\cdot }}(m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}})=m_{1}^{rp_{1}}\dots m_{k}^{rp_{k}}

(假設所有變數代表實數).

問題 6

關於蘋果和橘子的說法是不正確的。考慮圓的常見公式 $C=2\pi r$ 和 $A=\pi r^{2}$ .

驗證 $C$ 和 $A$ 具有不同的量綱公式。
寫出一個不具有量綱齊次性（即，它加了蘋果和橘子）但對任何圓都成立的等式。
上一題要求寫出一個完整但不具有量綱齊次性的等式。寫出一個具有量綱齊次性但不完整的等式。

(雖然老話不完全正確，但它仍然是一種有用的策略。量綱齊次性通常被用作檢驗模型中使用的等式合理性的方法。關於任何完整等式都可以很容易地變成量綱齊次性的論證，請參見 (Bridgman 1931, Chapter I, especially page 15.)

解答

參考文獻

Bridgman, P. W. (1931), Dimensional Analysis, Yale University Press.
de Mestre, Neville (1990), The Mathematics of Projectiles in sport, Cambridge University Press.
Giordano, R.; Jaye, M.; Weir, M. (1986), "The Use of Dimensional Analysis in Mathematical Modeling", UMAP Modules, COMAP (632).
Giordano, R.; Wells, M.; Wilde, C. (1987), "Dimensional Analysis", UMAP Modules, COMAP (526).
Einstein, A. (1911), "Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern", Annals of Physics, 35: 686.
Tilley, Burt, Private Communication.

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