線性代數/主題：量綱分析/解題

解題

問題 1

考慮一個以初始速度 $v_{0}$ 發射的彈丸，發射角度為 $\theta$ 。對這種運動的調查可能從這些是相關量的猜想開始。（de Mestre 1990）

量	量綱公式
水平位置 $x$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
垂直位置 $y$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
初始速度 $v_{0}$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
發射角度 $\theta$	$L^{0}M^{0}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
時間 $t$	$L^{0}M^{0}T^{1}$

證明 $\{gt/v_{0},gx/v_{0}^{2},gy/v_{0}^{2},\theta \}$ 是一組完整的無量綱積。（提示。這可以透過在出現的線性系統中找到適當的自由變數來完成，但有一個使用基性質的捷徑。）
以下兩個運動方程是關於拋射體的熟悉方程： $x=v_{0}\cos(\theta )t$ 和 $y=v_{0}\sin(\theta )t-(g/2)t^{2}$ 。請將每個方程改寫為前一項的無量綱乘積之間的關係。

答案

這個關係
$(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{1}M^{0}T^{-1})^{p_{3}}(L^{0}M^{0}T^{0})^{p_{4}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{5}}(L^{0}M^{0}T^{1})^{p_{6}}=L^{0}M^{0}T^{0}$
導致這個線性系統
${\begin{array}{*{6}{rc}r}p_{1}&+&p_{2}&+&p_{3}&\ &\ &+&p_{5}&&&=&0\\&&&&&&&&&&0&=&0\\&&&&-p_{3}&&&-&2p_{5}&+&p_{6}&=&0\end{array}}$
（注意， $p_{4}$ 沒有限制）。自然引數化使用自由變數得到 $p_{3}=-2p_{5}+p_{6}$ 和 $p_{1}=-p_{2}+p_{5}-p_{6}$ 。由此得到的解集的描述
$\{{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\\p_{6}\end{pmatrix}}=p_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+p_{4}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+p_{5}{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+p_{6}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p_{2},p_{4},p_{5},p_{6}\in \mathbb {R} \}$
給出 $\{y/x,\theta ,xt/{v_{0}}^{2},v_{0}t/x\}$ 作為一個無量綱乘積的完整集合（回想一下，在這個上下文中“完整”並不意味著沒有其他無量綱乘積；它僅僅意味著該集合是一個基底）。然而，這不是問題中要求的無量綱乘積集合。有兩種方法可以繼續。第一個是修改引數的選擇，希望能找到合適的集合。為此，我們可以反過來進行上一段。將給定的無量綱乘積 $gt/v_{0}$ , $gx/v_{0}^{2}$ , $gy/v_{0}^{2}$ , 和 $\theta$ 轉換為向量，給出以下描述（注意引數所在位置的 *?*）。
$\{{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\\p_{6}\end{pmatrix}}={\underline {\ {\textit {?}}\ }}{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\underline {\ {\textit {?}}\ }}{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+{\underline {\ {\textit {?}}\ }}{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+p_{4}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p_{2},p_{4},p_{5},p_{6}\in \mathbb {R} \}$
已經將 $p_{4}$ 放置到位。檢查行發現，我們也可以將 $p_{6}$ ， $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 放置到位。第二種方法，遵循提示，是注意到給定集合在四維向量空間中大小為四，因此我們只需要證明它是線性無關的。透過檢查，透過考慮向量的第六個、第一個、第二個和第四個分量，很容易做到這一點。
第一個方程可以改寫為
${\frac {gx}{{v_{0}}^{2}}}={\frac {gt}{v_{0}}}\cos \theta$
因此，白金漢函式為 $f_{1}(\Pi _{1},\Pi _{2},\Pi _{3},\Pi _{4})=\Pi _{2}-\Pi _{1}\cos(\Pi _{4})$ 。第二個方程可以改寫為
${\frac {gy}{{v_{0}}^{2}}}={\frac {gt}{v_{0}}}\sin \theta -{\frac {1}{2}}\left({\frac {gt}{v_{0}}}\right)^{2}$
這裡白金漢函式為 $f_{2}(\Pi _{1},\Pi _{2},\Pi _{3},\Pi _{4})=\Pi _{3}-\Pi _{1}\sin(\Pi _{4})+(1/2){\Pi _{1}}^{2}$ 。

問題 2: 愛因斯坦（愛因斯坦 1911）推測固體的紅外特徵頻率可以由原子間的相同力決定，這些力也決定了固體的普通彈性行為。相關量為

量	量綱公式
特徵頻率 $\nu$	$L^{0}M^{0}T^{-1}$
壓縮性 $k$	$L^{1}M^{-1}T^{2}$
每立方厘米的原子數 $N$	$L^{-3}M^{0}T^{0}$
原子的質量 $m$	$L^{0}M^{1}T^{0}$

證明只有一個無量綱的乘積。由此得出，在任何關於具有這些量綱公式的量之間的完整關係中， $k$ 是一個常數乘以 $\nu ^{-2}N^{-1/3}m^{-1}$ 。這一結論在早期量子現象的研究中發揮了重要作用。

答案

我們考慮

(L^{0}M^{0}T^{-1})^{p_{1}}(L^{1}M^{-1}T^{2})^{p_{2}}(L^{-3}M^{0}T^{0})^{p_{3}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{4}}=(L^{0}M^{0}T^{0})

這給出了冪之間的關係。

{\begin{array}{*{4}{rc}r}&&p_{2}&-&3p_{3}&&&=&0\\&&-p_{2}&&&+&p_{4}&=&0\\-p_{1}&+&2p_{2}&&&&&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}-p_{1}&+&2p_{2}&&&&&=&0\\&&-p_{2}&&&+&p_{4}&=&0\\&&&\ &-3p_{3}&+&p_{4}&=&0\end{array}}

這是解空間（因為我們希望將 $k$ 表示為其他量的函式， $p_{2}$ 被視為引數）。

\{{\begin{pmatrix}2\\1\\1/3\\1\end{pmatrix}}p_{2}\,{\big |}\,p_{2}\in \mathbb {R} \}

因此， $\Pi _{1}=\nu ^{2}kN^{1/3}m$ 是無量綱組合，我們有 $k$ 等於 $\nu ^{-2}N^{-1/3}m^{-1}$ 乘以一個常數（函式 ${\hat {f}}$ 是常數，因為它沒有引數）。

問題 3

發動機產生的扭矩的量綱公式為 $L^{2}M^{1}T^{-2}$ 。我們首先可以猜測它取決於發動機的轉速（量綱公式為 $L^{0}M^{0}T^{-1}$ ），以及排氣量（量綱公式為 $L^{3}M^{0}T^{0}$ ）（Giordano, Wells & Wilde 1987）。

嘗試找到一組完整的無量綱乘積。問題出在哪裡？
透過新增空氣密度（量綱公式為 $L^{-3}M^{1}T^{0}$ ）調整猜測。現在找到一組完整的無量綱乘積。

答案

設定
$(L^{2}M^{1}T^{-2})^{p_{1}}(L^{0}M^{0}T^{-1})^{p_{2}}(L^{3}M^{0}T^{0})^{p_{3}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$
給出以下結果
${\begin{array}{*{3}{rc}r}2p_{1}&&&+&3p_{3}&=&0\\p_{1}&&&&&=&0\\-2p_{1}&-&p_{2}&&&=&0\end{array}}$
這意味著 $p_{1}=p_{2}=p_{3}=0$ 。也就是說，在具有這些量綱公式的量中，唯一的無量綱乘積是平凡的。
設定
$(L^{2}M^{1}T^{-2})^{p_{1}}(L^{0}M^{0}T^{-1})^{p_{2}}(L^{3}M^{0}T^{0})^{p_{3}}(L^{-3}M^{1}T^{0})^{p_{4}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$
給出以下結果。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}2p_{1}&&&+&3p_{3}&-&3p_{4}&=&0\\p_{1}&&&&&+&p_{4}&=&0\\-2p_{1}&-&p_{2}&&&&&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{array}{*{4}{rc}r}2p_{1}&&&+&3p_{3}&-&3p_{4}&=&0\\&&-p_{2}&+&3p_{3}&-&3p_{4}&=&0\\&\ &&&(-3/2)p_{3}&+&(5/2)p_{4}&=&0\end{array}}$
將 $p_{1}$ 作為引數來表達扭矩，可以得到以下解集描述。
$\{{\begin{pmatrix}1\\-2\\-5/3\\-1\end{pmatrix}}p_{1}\,{\big |}\,p_{1}\in \mathbb {R} \}$
用 $\tau$ 表示扭矩，用 $r$ 表示旋轉速度，用 $V$ 表示空氣體積，用 $d$ 表示空氣密度，我們有 $\Pi _{1}=\tau r^{-2}V^{-5/3}d^{-1}$ ，所以扭矩是 $r^{2}V^{5/3}d$ 乘以一個常數。

問題 4

多米諾骨牌倒塌會形成波浪。我們可以推測波速 $v$ 取決於多米諾骨牌之間的間距 $d$ ，每張多米諾骨牌的高度 $h$ 以及重力加速度 $g$ 。 (Tilley)

找出這四個量的量綱公式。
證明 $\{\Pi _{1}=h/d,\Pi _{2}=dg/v^{2}\}$ 是一組完整的無量綱量。
證明如果 $h/d$ 是固定的，那麼傳播速度與 $d$ 的平方根成正比。

答案

這些是量綱公式。

量	量綱公式
波速 $v$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
多米諾骨牌之間的間距 $d$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
多米諾骨牌的高度 $h$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$

關係式
$(L^{1}M^{0}T^{-1})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{3}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{4}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$
給出了以下線性方程組。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}p_{1}&+&p_{2}&+&p_{3}&+&p_{4}&=&0\\&&&&&&0&=&0\\-p_{1}&&&&&-&2p_{4}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{4}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}p_{1}&+&p_{2}&+&p_{3}&+&p_{4}&=&0\\&&p_{2}&+&p_{3}&-&p_{4}&=&0\end{array}}$
將 $p_{3}$ 和 $p_{4}$ 作為引數，解集可以這樣描述。
$\{{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}p_{3}+{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}}p_{4}\,{\big |}\,p_{3},p_{4}\in \mathbb {R} \}$
這給出了一個完整的集合 $\{\Pi _{1}=h/d,\Pi _{2}=dg/v^{2}\}$ 。
巴克萊姆定理指出 $v^{2}=dg\cdot {\hat {f}}(h/d)$ ，因此，由於 $g$ 是一個常數，如果 $h/d$ 是固定的，那麼 $v$ 與 ${\sqrt {d\,}}$ 成正比。

問題 5

證明無量綱乘積在 ${\vec {+}}$ 操作（將兩個這樣的乘積相乘）和 ${\vec {\cdot }}$ 操作（將這樣的乘積提升到標量的冪次）下形成一個向量空間。（向量箭頭是為了避免混淆。）也就是說，證明對於任何特定的齊次系統， $m_{1}$ ，...， $m_{k}$ 冪次的這一組乘積

\{m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}\,{\big |}\,p_{1},\ldots ,p_{k}{\text{ satisfy the system}}\}

是一個向量空間。

m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}{\vec {+}}m_{1}^{q_{1}}\dots m_{k}^{q_{k}}=m_{1}^{p_{1}+q_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}+q_{k}}

和

r{\vec {\cdot }}(m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}})=m_{1}^{rp_{1}}\dots m_{k}^{rp_{k}}

(假設所有變量表示實數)。

答案

檢查向量空間定義中的條件是例行公事。

問題 6

關於蘋果和橘子的建議並不正確。考慮圓的常見方程 $C=2\pi r$ 和 $A=\pi r^{2}$ .

檢查 $C$ 和 $A$ 具有不同的量綱公式。
生成一個量綱不齊次（即，它將蘋果和橘子加在一起）但對任何圓都成立的方程。
前一項要求一個完整的但量綱不齊次的方程。生成一個量綱齊次但不完整的方程。

(僅僅因為老話不嚴格正確，並不妨礙它成為一個有用的策略。量綱齊次性通常被用作檢查模型中使用的方程的合理性的方法。關於任何完整方程都可以很容易地被製成量綱齊次的論證，請參見 (Bridgman 1931, 第一章，尤其是第 15 頁)。

答案

周長的量綱公式是 $L$ ，即 $L^{1}M^{0}T^{0}$ 。面積的量綱公式是 $L^{2}$ .
一個是 $C+A=2\pi r+\pi r^{2}$ .
一個例子是這個公式，它將角度所對的弧長與半徑和弧度制下的角度大小聯絡起來： $\ell -r\theta =0$ 。該公式中的兩項都具有量綱公式 $L^{1}$ 。該關係在某些單位制（例如英寸和弧度）中成立，但在所有單位制（例如英寸和度）中都不成立。

參考文獻

Bridgman, P. W. (1931), Dimensional Analysis, Yale University Press.
de Mestre, Neville (1990), The Mathematics of Projectiles in sport, Cambridge University Press.
Giordano, R.; Wells, M.; Wilde, C. (1987), "Dimensional Analysis", UMAP Modules, COMAP (526).
Einstein, A. (1911), Annals of Physics, 35: 686 {{citation}}: Missing or empty |title= (help).
Tilley, Burt, Private Communication.