線性代數/同構的定義和示例/解答

解答

建議所有讀者進行此練習。

問題 1

使用示例 1.4 作為模型，驗證在定義之前給出的兩個對應關係是同構的。

1. 示例 1.1
2. 示例 1.2

答案

1. 將對映稱為$f$.

   ${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

   它是單射的，因為如果$f$ 將域中的兩個成員對映到相同的像，也就是說，如果$f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}\right)$，那麼$f$ 的定義給出

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$

   並且由於列向量只有在它們具有相同的分量時才相等，因此我們有 $a=c$ 並且 $b=d$。因此，如果$f$ 將域中的兩個行向量對映到相同的列向量，那麼這兩個行向量是相等的：${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}$。為了表明$f$ 是滿射的，我們必須表明陪域中的任何成員$\mathbb {R} ^{2}$ 都是 $f$ 下某個行向量的像。這很簡單；

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

   是$f\left({\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}\right)$。加法保持性的計算如下。

   $f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}a+c&b+d\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}a+c\\b+d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}=f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)+f\left({\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}\right)$

   標量乘法保持性的計算類似。

   $f\left(r\cdot {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}ra&rb\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}ra\\rb\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=r\cdot f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)$

2. 用$f$表示例子 1.2中的對映。為了證明它是單射，假設$f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=f(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})$。根據函式的定義，

   ${\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

   因此 $a_{0}=b_{0}$ 和 $a_{1}=b_{1}$ 和 $a_{2}=b_{2}$。因此 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$，因此 $f$ 是一一對映的。函式 $f$ 是滿射的，因為存在一個多項式被對映到

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

   由 $f$，即 $a+bx+cx^{2}$。至於結構，這表明 $f$ 保持加法

   ${\begin{array}{rl}f\left(\,(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})\,\right)&=f\left(\,(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}\,\right)\\&={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\\&=f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+f(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})\end{array}}$

   這表明

   ${\begin{array}{rl}f(\,r(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})\,)&=f(\,(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}\,)\\&={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\,f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})\end{array}}$

   它保持了標量乘法。

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問題 2

對於對映 $f:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由以下給出

$a+bx{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a-b\\b\end{pmatrix}}$

找到域中這些元素的影像。

1. $3-2x$
2. $2+2x$
3. $x$

證明該對映是同構。

答案

這些是影像。

1. ${\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

為了證明 $f$ 是單射，假設它將兩個線性多項式對映到相同的影像 $f(a_{1}+b_{1}x)=f(a_{2}+b_{2}x)$。然後

${\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}-b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

因此，由於列向量僅在其分量相等時才相等，$b_{1}=b_{2}$ 且 $a_{1}=a_{2}$。這表明兩個線性多項式相等，因此 $f$ 是單射。

為了證明 $f$ 是滿射，請注意，陪域中的這個成員

${\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}$

是定義域中這個成員的像 $(s+t)+tx$。

為了驗證 $f$ 保持結構，我們可以使用 引理 1.9 的第 2 項。

${\begin{array}{rl}f\left(c_{1}\cdot (a_{1}+b_{1}x)+c_{2}\cdot (a_{2}+b_{2}x)\right)&=f\left((c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2})+(c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2})x\right)\\&={\begin{pmatrix}(c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2})-(c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2})\\c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}-b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot f(a_{1}+b_{1}x)+c_{2}\cdot f(a_{2}+b_{2}x)\end{array}}$

問題 3

證明來自 示例 1.5 的自然對映 $f_{1}$ 是一個同構。

答案

為了驗證它是單射的，假設 $f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{1}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$。然後 $c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}=d_{1}+d_{2}x+d_{3}x^{2}$，根據 $f_{1}$ 的定義。 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中的成員只有當它們的係數相同時才相等，因此這意味著 $c_{1}=d_{1}$ 且 $c_{2}=d_{2}$ 且 $c_{3}=d_{3}$。因此 $f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{1}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ 意味著 $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$，因此 $f_{1}$ 是單射的。

為了驗證它是滿射的，考慮餘域 $a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}$ 中的任意成員，並觀察到它實際上是定義域中的一個成員的像，即它是 $f_{1}(a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z)$。（例如，$0+3x+6x^{2}=f_{1}(0x+3y+6z)$。）

驗證 $f_{1}$ 保持加法的計算如下。

${\begin{array}{rl}f_{1}\left(\,(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\,\right)&=f_{1}\left(\,(c_{1}+d_{1})x+(c_{2}+d_{2})y+(c_{3}+d_{3})z\,\right)\\&=(c_{1}+d_{1})+(c_{2}+d_{2})x+(c_{3}+d_{3})x^{2}\\&=(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2})+(d_{1}+d_{2}x+d_{3}x^{2})\\&=f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+f_{1}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\end{array}}$

檢查 $f_{1}$ 是否保留了標量乘法，如下所示。

${\begin{array}{rl}f_{1}(\,r\cdot (c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\,)&=f_{1}(\,(rc_{1})x+(rc_{2})y+(rc_{3})z\,)\\&=(rc_{1})+(rc_{2})x+(rc_{3})x^{2}\\&=r\cdot (c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2})\\&=r\cdot f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\end{array}}$

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問題 4

判斷每個對映是否為同構（如果它是同構，則證明它；如果不是，則說明它不滿足的條件）。

1. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由以下給出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto ad-bc$

2. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R} ^{4}$ 由以下給出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a+b+c+d\\a+b+c\\a+b\\a\end{pmatrix}}$

3. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 給出的

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a)x^{2}+ax^{3}$

4. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 給出的

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a+1)x^{2}+ax^{3}$

答案

1. 不；該對映不是一對一的。 特別地，全零矩陣與全一矩陣對映到相同的像。
2. 是的，這是一個同構。 它是單射的

   ${\text{if }}f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}}){\text{ then }}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}+d_{1}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}\\a_{1}+b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}+b_{2}+c_{2}+d_{2}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}\\a_{2}+b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

   表明 $a_{1}=a_{2}$，並且 $b_{1}=b_{2}$，並且 $c_{1}=c_{2}$，並且 $d_{1}=d_{2}$。 它是滿射的，因為這表明

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}=f({\begin{pmatrix}w&z-w\\y-z&x-y\end{pmatrix}})$

   任何一個四維向量都是一個 $2\!\times \!2$ 矩陣的像。最後，它保持組合

   ${\begin{array}{rl}f(\,r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}}\,)&=f({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+\dots +r_{2}d_{2}\\r_{1}a_{1}+\dots +r_{2}c_{2}\\r_{1}a_{1}+\dots +r_{2}b_{2}\\r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}+\dots +d_{1}\\a_{1}+\dots +c_{1}\\a_{1}+b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}+\dots +d_{2}\\a_{2}+\dots +c_{2}\\a_{2}+b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

   因此， 引理 1.9 的第 2 條表明它保持結構。
3. 是的，它是一個同構。為了證明它是單射的，我們假設域中的兩個成員在 $f$ 下有相同的像。

   $f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})$

   根據 $f$ 的定義，我們得到 $c_{1}+(d_{1}+c_{1})x+(b_{1}+a_{1})x^{2}+a_{1}x^{3}=c_{2}+(d_{2}+c_{2})x+(b_{2}+a_{2})x^{2}+a_{2}x^{3}$，然後，由於多項式只有在係數相等時才相等，因此得到一組線性方程

   ${\begin{array}{rl}c_{1}&=c_{2}\\d_{1}+c_{1}&=d_{2}+c_{2}\\b_{1}+a_{1}&=b_{2}+a_{2}\\a_{1}&=a_{2}\end{array}}$

   該方程組只有一個解 $a_{1}=a_{2}$，$b_{1}=b_{2}$，$c_{1}=c_{2}$ 以及 $d_{1}=d_{2}$。為了表明 $f$ 是滿射，我們注意到 $p+qx+rx^{2}+sx^{3}$ 是該矩陣在 $f$ 下的像。

   ${\begin{pmatrix}s&r-s\\p&q-p\end{pmatrix}}$

   我們可以透過使用引理 1.9 的第 2 條來檢查$f$ 是否保留結構。

   ${\begin{array}{rl}f(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})&=f({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{array}{rl}&(r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2})+(r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}+r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2})x\\&\,\quad +(r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}+r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})x^{2}+(r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})x^{3}\end{array}}\\&={\begin{array}{rl}&r_{1}\cdot \left(c_{1}+(d_{1}+c_{1})x+(b_{1}+a_{1})x^{2}+a_{1}x^{3}\right)\\&\,\quad +r_{2}\cdot \left(c_{2}+(d_{2}+c_{2})x+(b_{2}+a_{2})x^{2}+a_{2}x^{3}\right)\end{array}}\\&=r_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

4. 不，這個對映不保留結構。例如，它不會將零矩陣對映到零多項式。

問題 5

證明對映 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 由$f(x)=x^{3}$ 給出，是一對一的且滿射。它是一個同構嗎？

答案

該對映是一對一的且滿射，因為存在逆對映（即，$f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}$）。然而，它不是同構。例如，$f(1)+f(1)\neq f(1+1)$.

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問題 6

參考 示例 1.1。給出另外兩個同構（當然，需要驗證它們是否滿足同構定義中的條件）。

答案

許多對映都是可能的。這裡給出兩個。

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2a\\b\end{pmatrix}}$

驗證是上面其他驗證的直接推廣。

問題 7

參考 示例 1.2。給出另外兩個同構（並驗證它們是否滿足條件）。

答案

這裡給出兩個。

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{0}\\a_{2}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{0}+a_{1}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

驗證是直接的（對於第二個對映，為了證明它是滿射，注意

${\begin{pmatrix}s\\t\\u\end{pmatrix}}$

是 $(s-t)+tx+ux^{2}$的像）。

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問題 8

證明，儘管 $\mathbb {R} ^{2}$本身不是 $\mathbb {R} ^{3}$的子空間，但它與 $\mathbb {R} ^{3}$的 $xy$-平面子空間同構。

答案

空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間，因為它不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子集。 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的二維向量不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的成員。

自然同構 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$（稱為注入對映）如下。

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\iota }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

此對映是一對一的，因為

$f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\quad {\text{implies}}\quad {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\0\end{pmatrix}}$

進而意味著 $x_{1}=x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$，因此最初的兩個二維向量相等。

因為

${\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}=f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$

此對映映入 $xy$ 平面。

為了表明此對映保持結構，我們將使用 引理 1.9 的第 2 項並證明

$f(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\0\end{pmatrix}}$

$=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\0\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\0\end{pmatrix}}=c_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})$

也就是說它保留了兩個向量的組合。

問題 9

找出 $\mathbb {R} ^{16}$ 和 ${\mathcal {M}}_{4\!\times \!4}$ 之間的兩個同構。

答案

這裡有兩個

${\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{16}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}r_{1}&r_{2}&\ldots \\&\\&&\ldots &r_{16}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{16}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}r_{1}&\\r_{2}&\\\vdots &&&\vdots \\&&&r_{16}\end{pmatrix}}$

驗證每個同構都很容易。

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問題 10

對於什麼 $k$，${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ 與 $\mathbb {R} ^{k}$ 同構？

答案

當 $k$ 是乘積 $k=mn$ 時，這裡有一個同構。

${\begin{pmatrix}r_{1}&r_{2}&\ldots \\&\vdots \\&&\ldots &r_{m\cdot n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{m\cdot n}\end{pmatrix}}$

檢查這個同構很簡單。

問題 11

對於什麼 $k$，${\mathcal {P}}_{k}$ 與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同構？

答案

如果 $n\geq 1$，則 ${\mathcal {P}}_{n-1}\cong \mathbb {R} ^{n}$。（如果我們取 ${\mathcal {P}}_{-1}$ 和 $\mathbb {R} ^{0}$ 作為平凡向量空間，那麼這個關係會擴充套件到更低一維。）它們之間的自然同構是這個。

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n-1}\end{pmatrix}}$

檢查它是一個同構很簡單。

問題 12

證明 示例 1.7 中，從 ${\mathcal {P}}_{5}$ 到 ${\mathcal {P}}_{5}$ 的對映，由 $p(x)\mapsto p(x-1)$ 給出，是向量空間同構。

答案

這是擴充套件的對映。

${\begin{array}{rl}f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5})&={\begin{array}{rl}&a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2}+a_{3}(x-1)^{3}\\&\,\quad +a_{4}(x-1)^{4}+a_{5}(x-1)^{5}\end{array}}\\&={\begin{array}{rl}&a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x^{2}-2x+1)\\&\,\quad +a_{3}(x^{3}-3x^{2}+3x-1)\\&\,\quad +a_{4}(x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1)\\&\,\quad +a_{5}(x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-1)\end{array}}\\&={\begin{array}{rl}&(a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5})\\&\,\quad +(a_{1}-2a_{2}+3a_{3}-4a_{4}+5a_{5})x\\&\,\quad +(a_{2}-3a_{3}+6a_{4}-10a_{5})x^{2}+(a_{3}-4a_{4}+10a_{5})x^{3}\\&\,\quad +(a_{4}-5a_{5})x^{4}+a_{5}x^{5}\end{array}}\end{array}}$

為了最終驗證它是否是同構，我們應用 引理 1.9 的第 2 條，並證明它保留了兩個多項式的線性組合。簡而言之，檢查過程如下。

$f(c\cdot (a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{5}x^{5})+d\cdot (b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{5}x^{5}))$

$=\dots =(ca_{0}-ca_{1}+ca_{2}-ca_{3}+ca_{4}-ca_{5}+db_{0}-db_{1}+db_{2}-db_{3}+db_{4}-db_{5})+\dots +(ca_{5}+db_{5})x^{5}$

$=\dots =c\cdot f(a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{5}x^{5})+d\cdot f(b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{5}x^{5})$

問題 13

為什麼在 引理 1.8 中，必須存在一個 ${\vec {v}}\in V$？也就是說，為什麼 $V$ 不能為空集？

答案

沒有向量空間以空集為其基礎。我們可以取 ${\vec {v}}$ 為零向量。

問題 14

任何兩個平凡空間是否同構？

答案

是的，當兩個空間分別是 $\{{\vec {a}}\}$ 和 $\{{\vec {b}}\}$ 時，將 ${\vec {a}}$ 對映到 ${\vec {b}}$ 的對映顯然是一對一的，並且也是滿射的，並且還保留了其中很少的結構。

問題 15

在 引理 1.9 的證明中，零和項的情況怎麼樣（即，如果 $n$ 為零）？

答案

一個 $n=0$ 個向量的線性組合加起來就是零向量，所以 引理 1.8 表明在這種情況下，這三個語句是等價的。

問題 16

證明任何同構 $f:{\mathcal {P}}_{0}\to \mathbb {R} ^{1}$ 具有形式 $a\mapsto ka$，其中 $k$ 是一個非零實數。

答案

考慮 ${\mathcal {P}}_{0}$ 的基底 $\langle 1\rangle$，令 $f(1)\in \mathbb {R}$ 為 $k$。對於任何 $a\in {\mathcal {P}}_{0}$ 我們有 $f(a)=f(a\cdot 1)=af(1)=ak$，因此 $f$ 的作用是乘以 $k$。注意 $k\neq 0$，否則對映不是一對一的。（順便說一下，任何這樣的對映 $a\mapsto ka$ 都是同構，很容易檢查）。

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問題 17

這些證明了同構是等價關係。

1. 證明恆等對映 ${\mbox{id}}:V\to V$ 是一個同構。因此，任何向量空間都與其自身同構。
2. 證明如果 $f:V\to W$ 是一個同構，那麼其逆 $f^{-1}:W\to V$ 也是一個同構。因此，如果 $V$ 與 $W$ 同構，那麼 $W$ 也與 $V$ 同構。
3. 證明一個同構的複合還是同構：如果 $f:V\to W$ 是一個同構，而 $g:W\to U$ 也是一個同構，那麼 $g\circ f:V\to U$ 也是一個同構。因此，如果 $V$ 與 $W$ 同構，而 $W$ 與 $U$ 同構，那麼 $V$ 與 $U$ 也同構。

答案

在每個專案中，遵循 引理 1.9 中的第 2 項，我們透過證明它保持域中兩個成員的線性組合來證明對映保持結構。

1. 恆等對映顯然是一對一的和滿射的。對於線性組合，檢查很容易。

   ${\mbox{id}}(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}=c_{1}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{2})$

2. 對應關係的逆也是對應關係（如附錄中所述），因此我們只需要檢查逆是否保持線性組合。假設 ${\vec {w}}_{1}=f({\vec {v}}_{1})$（所以 $f^{-1}({\vec {w}}_{1})={\vec {v}}_{1}$）並假設 ${\vec {w}}_{2}=f({\vec {v}}_{2})$.

   ${\begin{array}{rl}f^{-1}(c_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {w}}_{2})&=f^{-1}{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=f^{-1}(\,f{\bigl (}c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\\&=c_{1}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{1})+c_{2}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{2})\end{array}}$

3. 兩個對應關係的複合是一個對應關係（如附錄中所述），因此我們只需要檢查複合對映是否保持線性組合。

   ${\begin{array}{rl}g\circ f\,{\bigl (}c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{\bigr )}&=g{\bigl (}\,f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=g{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}\cdot g{\bigl (}f({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot g(f({\vec {v}}_{2}){\bigr )}\\&=c_{1}\cdot g\circ f\,({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot g\circ f\,({\vec {v}}_{2})\end{array}}$

問題 18

假設$f:V\to W$ 保持結構。證明$f$ 是單射當且僅當$V$ 中唯一被 $f$ 對映到 ${\vec {0}}_{W}$ 的元素是 ${\vec {0}}_{V}$。

答案

一個方向很容易：根據定義，如果$f$ 是單射，那麼對於任何 ${\vec {w}}\in W$，最多隻有一個 ${\vec {v}}\in V$ 使得 $f({\vec {v}}\,)={\vec {w}}$，因此， 特別地，最多隻有一個 $V$ 中的元素被對映到 ${\vec {0}}_{W}$。對引理 1.8 的證明並沒有用到對映是對應關係這一事實，因此證明了任何結構保持對映 $f$ 將 ${\vec {0}}_{V}$ 對映到 ${\vec {0}}_{W}$。

對於另一個方向，假設$V$中唯一對映到${\vec {0}}_{W}$的成員是${\vec {0}}_{V}$。為了證明$f$是一對一的，假設$f({\vec {v}}_{1})=f({\vec {v}}_{2})$。那麼$f({\vec {v}}_{1})-f({\vec {v}}_{2})={\vec {0}}_{W}$，因此$f({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})={\vec {0}}_{W}$。因此${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}_{V}$，因此${\vec {v}}_{1}={\vec {v}}_{2}$，因此$f$是一對一的。

問題 19

假設$f:V\to W$是一個同構。證明集合$\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k}\}\subseteq V$ 線性相關當且僅當影像集合$\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{k})\}\subseteq W$ 線性相關。

答案

我們將證明更強的東西——同構不僅保留了依賴關係的存在，而且保留了依賴關係的每個例項，也就是說，

${\vec {v}}_{i}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+\cdots +c_{i-1}{\vec {v}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {v}}_{i+1}+\cdots +c_{k}{\vec {v}}_{k}$

$\iff f({\vec {v}}_{i})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\cdots +c_{i-1}f({\vec {v}}_{i-1})+c_{i+1}f({\vec {v}}_{i+1})+\cdots +c_{k}f({\vec {v}}_{k}).$

該語句的$\implies$方向成立，根據引理 1.9的第 3 點。該語句的$\Longleftarrow$方向成立，透過重新分組。

${\begin{array}{rl}f({\vec {v}}_{i})&=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{i-1}f({\vec {v}}_{i-1})+c_{i+1}f({\vec {v}}_{i+1})+\dots +c_{k}f({\vec {v}}_{k})\\&=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {v}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {v}}_{i+1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k})\end{array}}$

並應用$f$是單射的事實，因此對於兩個向量${\vec {v}}_{i}$和$c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {v}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {v}}_{i+1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}$被$f$對映到相同的影像，它們必須相等。

建議所有讀者進行此練習。

問題 20

證明來自示例 1.6 的每種對映都是自同構。

1. 以非零標量$s$ 進行的膨脹 $d_{s}$。
2. 繞角度$\theta$ 進行的旋轉 $t_{\theta }$。
3. 關於過原點的直線的反射 $f_{\ell }$。

提示。對於第二項和第三項，極座標很有用。

答案

1. 此對映是一對一的，因為如果$d_{s}({\vec {v}}_{1})=d_{s}({\vec {v}}_{2})$，那麼根據對映的定義，$s\cdot {\vec {v}}_{1}=s\cdot {\vec {v}}_{2}$，因此 ${\vec {v}}_{1}={\vec {v}}_{2}$，因為 $s$ 不為零。此對映是滿射的，因為任何${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{2}$ 都是 ${\vec {v}}=(1/s)\cdot {\vec {w}}$ 的像（同樣，請注意 $s$ 不為零）。（另一種看待此對映為對應關係的方式是觀察到它具有逆對映：$d_{s}$ 的逆對映是 $d_{1/s}$。）最後，請注意此對映保留線性組合

   $d_{s}(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=s(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}s{\vec {v}}_{1}+c_{2}s{\vec {v}}_{2}=c_{1}\cdot d_{s}({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot d_{s}({\vec {v}}_{2})$

   因此，它是一個同構。
2. 與上一項類似，我們可以透過注意到對映 $t_{\theta }$ 具有逆對映 $t_{-\theta }$ 來證明該對映是一個對應關係。對映保持結構是幾何上很容易看到的。例如，將兩個向量相加然後旋轉它們的效果與先旋轉再相加相同。為了進行代數論證，考慮極座標：對映 $t_{\theta }$ 將具有端點 $(r,\phi )$ 的向量對映到具有端點 $(r,\phi +\theta )$ 的向量。然後，熟悉的三角公式 $\cos(\phi +\theta )=\cos \phi \,\cos \theta -\sin \phi \,\sin \theta$ 和 $\sin(\phi +\theta )=\sin \phi \,\cos \theta +\cos \phi \,\sin \theta$ 表明瞭如何在通常的直角座標系中表達對映的作用。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \phi \\r\sin \phi \end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}r\cos(\phi +\theta )\\r\sin(\phi +\theta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{pmatrix}}$

   現在，保持加法的計算是例行的。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2})\cos \theta -(y_{1}+y_{2})\sin \theta \\(x_{1}+x_{2})\sin \theta +(y_{1}+y_{2})\cos \theta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\cos \theta -y_{1}\sin \theta \\x_{1}\sin \theta +y_{1}\cos \theta \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\cos \theta -y_{2}\sin \theta \\x_{2}\sin \theta +y_{2}\cos \theta \end{pmatrix}}$

   對標量乘法的保留計算類似。
3. 該對映是一個對應關係，因為它有逆（即它本身）。與上一項一樣，從幾何上很容易看出反射對映保留結構：先加向量再反射與先反射再加的結果相同，例如。為了代數證明，假設直線 $\ell$ 的斜率為 $k$（斜率為未定義的直線的情況可以作為單獨的、簡單的案例處理）。我們可以按照提示使用極座標：直線 $\ell$ 與 $x$ 軸形成的角度為 $\phi$，$f_{\ell }$ 的作用是將以 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 為端點的向量對映到以 $(r\cos(2\phi -\theta ),r\sin(2\phi -\theta ))$ 為端點的向量。

   

   為了轉換為直角座標，我們將使用一些三角公式，就像我們在上一項中所做的那樣。首先觀察到 $\cos \phi$ 和 $\sin \phi$ 可以從直線的斜率 $k$ 中確定。這張圖

   

   得出 $\cos \phi =1/{\sqrt {1+k^{2}}}$ 以及 $\sin \phi =k/{\sqrt {1+k^{2}}}$。現在，

   ${\begin{array}{rl}\cos(2\phi -\theta )&=\cos(2\phi )\,\cos \theta +\sin(2\phi )\,\sin \theta \\&=\left(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi \right)\,\cos \theta +\left(2\sin \phi \cos \phi \right)\,\sin \theta \\&=\left(({\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}})^{2}-({\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}})^{2}\right)\,\cos \theta +\left(2{\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}\right)\,\sin \theta \\&=\left({\frac {1-k^{2}}{1+k^{2}}}\right)\,\cos \theta +\left({\frac {2k}{1+k^{2}}}\right)\,\sin \theta \end{array}}$

   因此，影像向量的第一部分是。

   $r\cdot \cos(2\phi -\theta )={\frac {1-k^{2}}{1+k^{2}}}\cdot x+{\frac {2k}{1+k^{2}}}\cdot y$

   類似的計算表明，影像向量的第二個部分是。

   $r\cdot \sin(2\phi -\theta )={\frac {2k}{1+k^{2}}}\cdot x-{\frac {1-k^{2}}{1+k^{2}}}\cdot y$

   透過這種對 $f_{\ell }$ 的代數描述，

   
   

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{\ell }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}(1-k^{2}/1+k^{2})\cdot x+(2k/1+k^{2})\cdot y\\(2k/1+k^{2})\cdot x-(1-k^{2}/1+k^{2})\cdot y\end{pmatrix}}$

   
   檢查它是否保持結構是例行公事。

問題 21

除了恆等對映和位移對映 $p(x)\mapsto p(x-k)$ 之外，構造 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一個自同構。

答案

首先，對映 $p(x)\mapsto p(x+k)$ 不算，因為它只是 $p(x)\mapsto p(x-k)$ 的一種形式。這裡給出一個正確的答案（還有很多其他正確的答案）：$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto a_{2}+a_{0}x+a_{1}x^{2}$。驗證這是一個同構是直接的。

問題 22

1. 證明一個函式 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 是一個自同構，當且僅當它具有以下形式 $x\mapsto kx$，其中 $k\neq 0$。
2. 設 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{1}$ 的一個自同構，使得 $f(3)=7$。求 $f(-2)$。
3. 證明一個函式 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是一個自同構，當且僅當它具有以下形式

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   對於某些 $a,b,c,d\in \mathbb {R}$，其中 $ad-bc\neq 0$。提示： 前面的部分中的一些習題已經證明了

   ${\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}{\text{ is not a multiple of }}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$

   當且僅當 $ad-bc\neq 0$。
4. 令 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一個自同構，且

   $f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

   求

   $f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}).$

答案

1. 對於“當且僅當”的一半，令 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 為一個同構。考慮基 $\langle 1\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{1}$。將 $f(1)$ 記作 $k$。然後對於任何 $x$ 我們有 $f(x)=f(x\cdot 1)=x\cdot f(1)=xk$，因此 $f$ 的作用是乘以 $k$。為了完成這一半，只需要注意到 $k\neq 0$，否則 $f$ 不會是一一對映。對於“如果”的一半，我們只需要檢查當 $k\neq 0$ 時這樣的對映是否為同構。為了檢查它是否是一一對映，假設 $f(x_{1})=f(x_{2})$，使得 $kx_{1}=kx_{2}$，併除以非零因子 $k$ 得出結論 $x_{1}=x_{2}$。為了檢查它是否滿射，注意到任何 $y\in \mathbb {R} ^{1}$ 都是 $x=y/k$ 的像（同樣，$k\neq 0$）。最後，為了檢查這樣的對映是否保持域中兩個成員的組合，我們有以下結果。

   $f(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})=k(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})=c_{1}kx_{1}+c_{2}kx_{2}=c_{1}f(x_{1})+c_{2}f(x_{2})$

2. 根據前一項，$f$的作用是$x\mapsto (7/3)x$。因此$f(-2)=-14/3$。
3. 對於“僅當”部分，假設$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$是一個自同構。考慮$\mathbb {R} ^{2}$的標準基${\mathcal {E}}_{2}$。令

   $f({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad f({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}.$

   那麼$f$對任何向量的作用都由它對這兩個基向量的作用決定。

   $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=f(x\cdot {\vec {e}}_{1}+y\cdot {\vec {e}}_{2})=x\cdot f({\vec {e}}_{1})+y\cdot f({\vec {e}}_{2})=x\cdot {\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+y\cdot {\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   要完成這一半，請注意，如果 $ad-bc=0$，也就是說，如果 $f({\vec {e}}_{2})$ 是 $f({\vec {e}}_{1})$ 的倍數，那麼 $f$ 不是一對一的。對於“如果”，我們必須檢查對映在 $ad-bc\neq 0$ 的條件下是否為同構。結構保持檢查很簡單；我們將在下面證明 $f$ 為對應關係。對於對映是一對一的論證，假設此對映是一對一的。

   $f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\quad {\text{and so}}\quad {\begin{pmatrix}ax_{1}+by_{1}\\cx_{1}+dy_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax_{2}+by_{2}\\cx_{2}+dy_{2}\end{pmatrix}}$

   然後，因為 $ad-bc\neq 0$，得到的系統

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}a(x_{1}-x_{2})&+&b(y_{1}-y_{2})&=&0\\c(x_{1}-x_{2})&+&d(y_{1}-y_{2})&=&0\end{array}}$

   有唯一的解，即平凡解 $x_{1}-x_{2}=0$ 和 $y_{1}-y_{2}=0$（這從提示中可以得出）。該對映是滿射的論證與之密切相關——此係統

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax_{1}&+&by_{1}&=&x\\cx_{1}&+&dy_{1}&=&y\end{array}}$

   對於任何 $x$ 和 $y$ 都存在一個解，當且僅當該集合是

   $\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$

   跨越了 $\mathbb {R} ^{2}$，也就是說，當且僅當該集合是基底（因為它是由 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的兩個元素組成的子集），也就是說，當且僅當 $ad-bc\neq 0$。

4. $f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})-f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}$

問題 23

參見 引理 1.8 和 引理 1.9。找出同構保持的其他兩個特徵。

答案

答案有很多；其中兩個是線性無關性和子空間。

為了證明如果一個集合 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ 是線性無關的，那麼它的像 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{n})\}$ 也是線性無關的，請考慮像集的成員之間的一個線性關係。

$0=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v_{n}}})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +f(c_{n}{\vec {v_{n}}})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v_{n}}})$

由於此對映是同構，因此它是單射的。因此 $f$ 只將域中的一個向量對映到範圍中的零向量，即，$c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}$ 等於零向量（當然是在域中）。但是，如果 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ 線性無關，則所有 $c$ 均為零，因此 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{n})\}$ 也線性無關。（注：關於此論證，有一個小點值得一提。在集合中，重複項會合並，也就是說，嚴格地說，這是一個單元素集合：$\{{\vec {v}},{\vec {v}}\}$，因為列出的元素是同一個。但是，請注意上述論證中下標 $n$ 的使用。從域集 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ 到像集 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{n})\}$ 的過程中，沒有合併，因為像集沒有重複項，因為同構 $f$ 是單射的。）

為了證明如果 $f:V\to W$ 是一個同構，並且如果 $U$ 是定義域 $V$ 的一個子空間，那麼影像向量集 $f(U)=\{{\vec {w}}\in W\,{\big |}\,{\vec {w}}=f({\vec {u}}){\text{ for some }}{\vec {u}}\in U\}$ 是 $W$ 的一個子空間，我們只需要證明它在兩個成員的線性組合下是封閉的（它是非空的，因為它包含零向量的影像）。我們有

$c_{1}\cdot f({\vec {u}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {u}}_{2})=f(c_{1}{\vec {u}}_{1})+f(c_{2}{\vec {u}}_{2})=f(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2})$

並且 $c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2}$ 是 $U$ 的一個成員，因為子空間在組合下是封閉的。因此 $f({\vec {u}}_{1})$ 和 $f({\vec {u}}_{2})$ 的組合是 $f(U)$ 的一個成員。

問題 24

我們證明同構可以進行定製，以適應有時，給定定義域和值域中的向量，我們可以產生將這些向量關聯起來的同構。

1. 令 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 為 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一個基，這樣任何 ${\vec {p}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 都有一個唯一的表示形式為 ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}$，我們用這種方式表示。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

   證明 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 操作是一個從 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的函式（這需要證明對於每個定義域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$，都存在一個相關聯的像向量在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，而且對於每個定義域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$，最多隻有一個相關聯的像向量）。
2. 證明這個 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 函式是一對一的和滿射的。
3. 證明它保持結構。
4. 生成一個從 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同構，使其符合這些規範。

   $x+x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad 1-x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. 該關聯

   ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}{\stackrel {{\rm {Rep}}_{B}(\cdot )}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

   是一個函式，如果域中的每個成員 ${\vec {p}}$ 都與陪域中的至少一個成員相關聯，並且如果域中的每個成員 ${\vec {p}}$ 都與陪域中的至多一個成員相關聯。第一個條件成立，因為基 $B$ 張成域——每個 ${\vec {p}}$ 都可以寫成 ${\vec {\beta }}$ 的至少一個線性組合。第二個條件成立，因為基 $B$ 是線性無關的——域中的每個成員 ${\vec {p}}$ 都可以寫成 ${\vec {\beta }}$ 的至多一個線性組合。
2. 對於一對一論證，如果 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\rm {Rep}}_{B}({\vec {q}})$，也就是說，如果 ${\rm {Rep}}_{B}(p_{1}{\vec {\beta }}_{1}+p_{2}{\vec {\beta }}_{2}+p_{3}{\vec {\beta }}_{3})={\rm {Rep}}_{B}(q_{1}{\vec {\beta }}_{1}+q_{2}{\vec {\beta }}_{2}+q_{3}{\vec {\beta }}_{3})$ 那麼

   ${\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}$

   因此， $p_{1}=q_{1}$，$p_{2}=q_{2}$，$p_{3}=q_{3}$，這得出結論 ${\vec {p}}={\vec {q}}$。因此，該對映是一對一的。對於滿射，我們可以注意到

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

   等於 ${\rm {Rep}}_{B}(a{\vec {\beta }}_{1}+b{\vec {\beta }}_{2}+c{\vec {\beta }}_{3})$，因此，陪域 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何成員都是定義域 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中某個成員的像。
3. 此對映遵循加法和標量乘法，因為它遵循定義域中兩個成員的組合（即，我們使用 引理 1.9 中的專案 2）：其中 ${\vec {p}}=p_{1}{\vec {\beta }}_{1}+p_{2}{\vec {\beta }}_{2}+p_{3}{\vec {\beta }}_{3}$ 且 ${\vec {q}}=q_{1}{\vec {\beta }}_{1}+q_{2}{\vec {\beta }}_{2}+q_{3}{\vec {\beta }}_{3}$，我們有以下結果。

   ${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{B}(c\cdot {\vec {p}}+d\cdot {\vec {q}})&={\rm {Rep}}_{B}(\,(cp_{1}+dq_{1}){\vec {\beta }}_{1}+(cp_{2}+dq_{2}){\vec {\beta }}_{2}+(cp_{3}+dq_{3}){\vec {\beta }}_{3}\,)\\&={\begin{pmatrix}cp_{1}+dq_{1}\\cp_{2}+dq_{2}\\cp_{3}+dq_{3}\end{pmatrix}}\\&=c\cdot {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}\\&={\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})+{\rm {Rep}}_{B}({\vec {q}})\end{array}}$

4. 對於 ${\mathcal {P}}_{2}$，可以使用任何基 $B$，其前兩個成員是 $x+x^{2}$ 和 $1-x$，例如 $B=\langle x+x^{2},1-x,1\rangle$.

問題 25

證明一個空間是 $n$ 維的當且僅當它與 $\mathbb {R} ^{n}$ 同構。提示。為空間固定一個基 $B$，並考慮將向量對映到其相對於 $B$ 的表示的對映。

答案

參見下一小節。

問題 26

（需要組合子空間的可選小節。）設 $U$ 和 $W$ 是向量空間。定義一個新的向量空間，它由集合 $U\times W=\{({\vec {u}},{\vec {w}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U{\text{ and }}{\vec {w}}\in W\}$ 以及這些運算組成。

$({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\quad {\text{and}}\quad r\cdot ({\vec {u}},{\vec {w}})=(r{\vec {u}},r{\vec {w}})$

這是一個向量空間，它是 $U$ 和 $W$ 的外直和。

1. 檢查它是否是一個向量空間。
2. 找出外部直和 ${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ 的基底和維數。
3. $\dim(U)$、$\dim(W)$ 和 $\dim(U\times W)$ 之間的關係是什麼？
4. 假設 $U$ 和 $W$ 是向量空間 $V$ 的子空間，使得 $V=U\oplus W$（在這種情況下，我們說 $V$ 是 $U$ 和 $W$ 的**內部直和**）。證明對映 $f:U\times W\to V$ 由以下給出

   $({\vec {u}},{\vec {w}}){\stackrel {f}{\longmapsto }}{\vec {u}}+{\vec {w}}$

   是一個同構。因此，如果定義了內部直和，那麼內部直和和外部直和是同構的。

答案

1. 向量空間定義中的大多數條件都是例行公事。我們這裡概述了該定義第 1 部分的驗證。對於 $U\times W$ 的封閉性，請注意，由於 $U$ 和 $W$ 是封閉的，我們有 ${\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2}\in U$ 以及 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}\in W$，因此 $({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\in U\times W$。 $U\times W$ 中加法的交換律來自 $U$ 和 $W$ 中加法的交換律。

   $({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{2}+{\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{1})=({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})+({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})$

   加法結合律的檢驗類似。零元素為$({\vec {0}}_{U},{\vec {0}}_{W})\in U\times W$，而$({\vec {u}},{\vec {w}})$的加法逆元為$(-{\vec {u}},-{\vec {w}})$。向量空間定義第二部分的檢驗也很直接。
2. 這是一個基底

   $\langle \,(1,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}),(x,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}),(x^{2},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}),(1,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}),(1,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})\,\rangle$

   因為相對於該集合，只有唯一一種方法可以表示${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$的任何成員；這是一個例子。

   $(3+2x+x^{2},{\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}})=3\cdot (1,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})+2\cdot (x,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})+(x^{2},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})+5\cdot (1,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})+4\cdot (1,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})$

   該空間的維數為五。
3. 我們有$\dim(U\times W)=\dim(U)+\dim(W)$，因為這是一個基底。

   $\langle ({\vec {\mu }}_{1},{\vec {0}}_{W}),\dots ,({\vec {\mu }}_{\dim(U)},{\vec {0}}_{W}),({\vec {0}}_{U},{\vec {\omega }}_{1}),\ldots ,({\vec {0}}_{U},{\vec {\omega }}_{\dim(W)})\rangle$

4. 我們知道，如果 $V=U\oplus W$，那麼每個 ${\vec {v}}\in V$ 都可以被寫成 ${\vec {v}}={\vec {u}}+{\vec {w}}$ 的形式，並且這種形式是唯一的。這正是我們需要證明給定函式是同構的關鍵。首先，為了證明 $f$ 是單射的，我們可以證明如果 $f\left(({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})\right)=\left(({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})\right)$，也就是說，如果 ${\vec {u}}_{1}+{\vec {w}}_{1}={\vec {u}}_{2}+{\vec {w}}_{2}$，那麼 ${\vec {u}}_{1}={\vec {u}}_{2}$ 並且 ${\vec {w}}_{1}={\vec {w}}_{2}$。但是“每個 ${\vec {v}}$ 都可以被寫成唯一的形式”正是得出該結論的關鍵。類似地，證明 $f$ 是滿射的，只需要證明“每個 ${\vec {v}}$ 都可以被寫成至少一種形式”。該對映也保留線性組合。

   ${\begin{array}{rl}f(\,c_{1}\cdot ({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+c_{2}\cdot ({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})\,)&=f(\,(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2},c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2})\,)\\&=c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2}+c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}\\&=c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2}+c_{2}{\vec {w}}_{2}\\&=c_{1}\cdot f(\,({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})\,)+c_{2}\cdot f(\,({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})\,)\end{array}}$

   因此，它是一個同構。