線性代數/用矩陣表示線性對映/解答

解答

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問題 1

將矩陣

${\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-1&2\\1&1&0\end{pmatrix}}$

乘以每個向量（或說明“未定義”）。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}1\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 0\\0\cdot 2+(-1)\cdot 1+2\cdot 0\\1\cdot 2+1\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}}$
2. 未定義。
3. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

問題 2

如果可能，執行每個矩陣-向量乘法。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&-1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}2\cdot 4+1\cdot 2\\3\cdot 4-(1/2)\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\11\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$
3. 未定義。

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問題 3

求解此矩陣方程。

${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&3\\1&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\4\\4\end{pmatrix}}$

答案

矩陣與向量的乘法產生一個線性方程組。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&+&z&=&8\\&&y&+&3z&=&4\\x&-&y&+&2z&=&4\end{array}}$

高斯消元法表明 $z=1$，$y=1$，以及 $x=3$。

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問題 4

對於從 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的同態，它傳送

$1\mapsto 1+x,\quad x\mapsto 1+2x,\quad {\text{and}}\quad x^{2}\mapsto x-x^{3}$

$1-3x+2x^{2}$ 到哪裡去了？

答案

這裡有兩種方法可以得到答案。

首先，顯然 $1-3x+2x^{2}=1\cdot 1-3\cdot x+2\cdot x^{2}$，因此我們可以應用組合保持的一般性質得到 $h(1-3x+2x^{2})=h(1\cdot 1-3\cdot x+2\cdot x^{2})=1\cdot h(1)-3\cdot h(x)+2\cdot h(x^{2})=1\cdot (1+x)-3\cdot (1+2x)+2\cdot (x-x^{3})=-2-3x-2x^{3}$。

另一種方法使用本小節中提出的計算方案。因為我們知道空間中這些元素的對映位置，所以我們考慮這個基底 $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle$ 作為定義域的基底。任意地，我們可以取 $D=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$ 作為陪域的基底。有了這些選擇，我們得到

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}_{B,D}$

以及，如

${\rm {Rep}}_{B}(1-3x+2x^{2})={\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}}_{B}$

矩陣-向量乘法計算得出以下結果。

${\rm {Rep}}_{D}(h(1-3x+2x^{2}))={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}-2\\-3\\0\\-2\end{pmatrix}}_{D}$

因此，$h(1-3x+2x^{2})=-2\cdot 1-3\cdot x+0\cdot x^{2}-2\cdot x^{3}=-2-3x-2x^{3}$，如上所示。

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問題 5

假設 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 由以下操作確定。

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

使用標準基底，求

1. 表示該對映的矩陣；
2. $h({\vec {v}})$ 的一般公式。

答案

再次回顧本小節，關於 ${\mathcal {E}}_{i}$，列向量表示自身。

1. 為了表示 $h$ 相對於 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}$，我們取定義域中基向量對應的像，並將它們用陪域的基表示。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}(\,h({\vec {e}}_{1})\,)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}({\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}(\,h({\vec {e}}_{2})\,)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}({\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

   將它們並排排列成矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}}(h)={\begin{pmatrix}2&0\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}$

2. 對於定義域 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何 ${\vec {v}}$，

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}$

   因此

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}2&0\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2v_{1}\\2v_{1}+v_{2}\\-v_{2}\end{pmatrix}}$

   是所需表示。

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問題 6

令 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 為導數變換。

1. 用 $B,B$ 表示 $d/dx$，其中 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。
2. 用 $B,D$ 表示 $d/dx$，其中 $D=\langle 1,2x,3x^{2},4x^{3}\rangle$。

答案

1. 我們必須首先找到域基向量對應的影像，然後用陪域基向量表示該影像。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,1}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x}{dx}})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{2}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{3}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}$

   然後將這些表示連線起來形成表示該對映的矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

2. 按照上一項中的方法，我們將域基向量對映的結果表示出來

   ${\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,1}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x}{dx}})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{2}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{3}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$

   然後將它們並在一起形成矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,D}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

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問題 7

分別用每一對基來表示每個線性對映。

1. $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 關於 $B,B$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$，由

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{1}+2a_{2}x+\dots +na_{n}x^{n-1}$

2. $\int :{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n+1}$ 關於 $B_{n},B_{n+1}$，其中 $B_{i}=\langle 1,x,\dots ,x^{i}\rangle$，由下式給出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}x+{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}$

3. $\int _{0}^{1}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 關於 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，由下式給出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+{\frac {a_{1}}{2}}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}$

4. ${\text{eval}}_{3}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 關於 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，由下式給出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot 3+a_{2}\cdot 3^{2}+\dots +a_{n}\cdot 3^{n}$

5. ${\text{slide}}_{-1}:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 關於 $B,B$，其中 $B=\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$，定義如下：

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot (x+1)+\dots +a_{n}\cdot (x+1)^{n}$

答案

對於每個對映，我們必須找到每個域基向量在對映下的像，並使用陪域的基向量表示每個像，最後將這些表示連線起來得到矩陣。

1. 域基向量在對映下的像是

   $1\mapsto 0\quad x\mapsto 1\quad x^{2}\mapsto 2x\quad \ldots$

   這些像可以用陪域的基向量表示如下：

   ${\rm {Rep}}_{B}(0)={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\\ \\\ \end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(1)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\\ \\\ \end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(2x)={\begin{pmatrix}0\\2\\0\\\vdots \\\ \\\ \end{pmatrix}}\quad \ldots \quad {\rm {Rep}}_{B}(nx^{n-1})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\n\\0\end{pmatrix}}$

   矩陣

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&2&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&0&\ldots &n\\0&0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}$

   有 $n+1$ 行和列。
2. 一旦確定了域基向量在這個對映下的像

   $1\mapsto x\quad x\mapsto x^{2}/2\quad x^{2}\mapsto x^{3}/3\quad \ldots$

   然後它們可以根據陪域的基表示

   ${\rm {Rep}}_{B_{n+1}}(x)={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\\ \end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B_{n+1}}(x^{2}/2)={\begin{pmatrix}0\\0\\1/2\\\vdots \\\ \end{pmatrix}}\quad \ldots \quad {\rm {Rep}}_{B_{n+1}}(x^{n+1}/(n+1))={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1/(n+1)\end{pmatrix}}$

   並組合在一起形成矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B_{n},B_{n+1}}(\int )={\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\\0&1/2&\ldots &0&0\\&\vdots \\0&0&\ldots &0&1/(n+1)\end{pmatrix}}$

3. 域基向量的影像為

   $1\mapsto 1\quad x\mapsto 1/2\quad x^{2}\mapsto 1/3\quad \ldots$

   並且它們相對於陪域的基表示為

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(1)=1\quad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(1/2)=1/2\quad \ldots$

   所以矩陣是

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{1}}(\int )={\begin{pmatrix}1&1/2&\cdots &1/n&1/(n+1)\end{pmatrix}}$

   (這是一個 $1\!\times \!(n+1)$ 矩陣)。
4. 這裡，域的基向量影像為

   $1\mapsto 1\quad x\mapsto 3\quad x^{2}\mapsto 9\quad \ldots$

   它們在陪域中表示為

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(1)=1\quad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(3)=3\quad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(9)=9\quad \ldots$

   因此矩陣為

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{1}}(\int _{0}^{1})={\begin{pmatrix}1&3&9&\cdots &3^{n}\end{pmatrix}}$

5. 域中基向量的影像為

   $1\mapsto 1\quad x\mapsto x+1=1+x\quad x^{2}\mapsto (x+1)^{2}=1+2x+x^{2}\quad x^{3}\mapsto (x+1)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\quad \ldots$

   它們表示為

   ${\rm {Rep}}_{B}(1)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(1+x)={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(1+2x+x^{2})={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad \ldots$

   所得矩陣為

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(\int )={\begin{pmatrix}1&1&1&1&\ldots &1\\0&1&2&3&\ldots &{\binom {n}{2}}\\0&0&1&3&\ldots &{\binom {n}{3}}\\&\vdots \\0&0&0&&\ldots &1\end{pmatrix}}$

   是帕斯卡三角形（回想一下 ${\binom {n}{r}}$ 是從大小為 $n$ 的集合中選擇 $r$ 件物品的方法數量，無序且無重複）。

問題 8

相對於 $B,B$ 表示任何非平凡空間上的恆等對映，其中 $B$ 是任何基。

答案

當空間為 $n$ 維時，

${\rm {Rep}}_{B,B}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1&0\ldots &0\\0&1\ldots &0\\&\vdots \\0&0\ldots &1\end{pmatrix}}_{B,B}$

是 $n\!\times \!n$ 單位矩陣。

問題 9

相對於自然基，表示 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 空間上的轉置變換，該空間由 $2\!\times \!2$ 矩陣組成。

答案

將此作為自然基

$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3},{\vec {\beta }}_{4}\rangle =\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

轉置對映以這種方式作用

${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{1}\quad {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\quad {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\quad {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$

因此，將對映在陪域的基底上表示，並將這些列向量並在一起，得到以下結果。

${\rm {Rep}}_{B,B}({\text{trans}})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}_{B,B}$

問題 10

假設 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3},{\vec {\beta }}_{4}\rangle$ 是向量空間的基底。用 $B,B$ 表示由以下每個對映確定的變換。

1. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
2. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
3. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$

答案

1. 關於餘域基底，域基底成員的像被表示為

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\beta }}_{2})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {\beta }}_{3})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {\beta }}_{4})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {0}})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   因此，表示該變換的矩陣如下。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

2. ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

問題 11

例 1.8 展示瞭如何用標準基表示平面旋轉變換。用標準基表示以下變換：

1. 縮放對映 $d_{s}$，它將所有向量乘以相同的標量 $s$
2. 反射對映 $f_{\ell }$，它將所有向量反射到經過原點的直線 $\ell$ 上

答案

1. $d_{s}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 的影像如下所示。

   

   該對映對域中標準基向量的影響是

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {d_{s}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {d_{s}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\s\end{pmatrix}}$

   這些影像用陪域的基（同樣是標準基）表示。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}0\\s\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\s\end{pmatrix}}$

   因此，縮放對映的表示如下。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(d_{s})={\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$

2. $f_{\ell }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 的圖片如下。

   

   一些計算（參見 問題 I.1.20）表明當直線斜率為 $k$

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{\ell }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}(1-k^{2})/(1+k^{2})\\2k/(1+k^{2})\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{\ell }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}2k/(1+k^{2})\\-(1-k^{2})/(1+k^{2})\end{pmatrix}}$

   （斜率為無窮大的直線的情況是單獨的，但很簡單），因此表示反射的矩陣為：

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{\ell })={\frac {1}{1+k^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}1-k^{2}&2k\\2k&-(1-k^{2})\end{pmatrix}}$

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問題 12

考慮 $\mathbb {R} ^{2}$ 的線性變換，由以下兩個確定。

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$

1. 用標準基表示該變換。
2. 該變換將該向量對映到哪裡？

   ${\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}$

3. 用這些基表示該變換。

   $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

4. 使用上一項中的 $B$，用 $B,B$ 表示該變換。

答案

將對映稱為 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$。

1. 為了用標準基表示該對映，我們必須找到並表示來自域基的向量 ${\vec {e}}_{1}$ 和 ${\vec {e}}_{2}$ 的影像。給出了 ${\vec {e}}_{1}$ 的影像。找到 ${\vec {e}}_{2}$ 的影像的一種方法是透過觀察——我們可以看到這一點。

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\;{\stackrel {t}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$

   找到 ${\vec {e}}_{2}$ 的影像的更系統的方法是使用給定的資訊來表示變換，然後使用該表示來確定影像。為基採用這個變換，

   $C=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

   給定的資訊表明了這一點。

   ${\rm {Rep}}_{C,{\mathcal {E}}_{2}}(t){\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}}$

   作為

   ${\rm {Rep}}_{C}({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{C}$

   我們有

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}(t({\vec {e}}_{2}))={\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}}_{C,{\mathcal {E}}_{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{C}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}$

   因此，我們知道 $t({\vec {e}}_{2})=3\cdot {\vec {e}}_{1}$（因為，相對於標準基，這個向量由它自己表示）。因此，這是 $t$ 相對於 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 的表示。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)={\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}$

2. 為了使用上一項中開發的矩陣，請注意

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}$

   因此，這是給定向量影像的表示，相對於陪域的基。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}(t({\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}{\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}$

   由於陪域的基是標準基，因此陪域中的向量用它們自身表示，所以我們有這個。

   $t({\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}}$

3. 我們首先找到 $B$ 中每個成員的影像，然後相對於 $D$ 來表示這些影像。對於第一步，我們可以使用之前開發的矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\quad {\text{so}}\quad t({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}}$

   實際上，對於 $B$ 的第二個成員，不需要應用矩陣，因為問題陳述給出了它的影像。

   $t({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

   現在用 $D$ 來表示這些影像是例行公事。

   ${\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}_{D}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1/2\\-1\end{pmatrix}}_{D}$

   因此，矩陣是這個。

   ${\rm {Rep}}_{B,D}(t)={\begin{pmatrix}-1&1/2\\2&-1\end{pmatrix}}_{B,D}$

4. 我們知道前一項中域基元影像。

   $t({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}}\qquad t({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

   我們可以計算這些影像相對於陪域基元的表示。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}_{B}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}_{B}$

   因此，這個是矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}_{B,B}$

問題 13

假設 $h:V\to W$ 是非奇異的，因此根據 定理 II.2.21，對於任何基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle \subset V$，影像 $h(B)=\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是 $W$ 的一個基。

1. 用 $B,h(B)$ 表示對映 $h$。
2. 對於定義域中的一個向量 ${\vec {v}}$，其在 $B$ 中的座標為 $c_{1}$，...，$c_{n}$，用 $h(B)$ 表示 $h({\vec {v}})$。

答案

1. 定義域基向量的像為

   ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto h({\vec {\beta }}_{1})\quad {\vec {\beta }}_{2}\mapsto h({\vec {\beta }}_{2})\quad \ldots \quad {\vec {\beta }}_{n}\mapsto h({\vec {\beta }}_{n})$

   這些像可以用以下方式在陪域的基中表示。

   ${\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {\beta }}_{1})\,)={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {\beta }}_{2})\,)={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad \ldots \quad {\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {\beta }}_{n})\,)={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

   因此，矩陣為單位矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,h(B)}(h)={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&&0\\&&\ddots \\0&0&&1\end{pmatrix}}$

2. 使用上一個專案中的矩陣，表示如下。

   ${\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}_{h(B)}$

問題 14

給出矩陣和 ${\vec {e}}_{i}$（除了第 $i$ 位為 1，其他全為 0 的列向量）的乘積公式。

答案

乘積

${\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,i}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&\ldots &h_{2,i}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&\ldots &h_{m,i}&\ldots &h_{1,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{1,i}\\h_{2,i}\\\vdots \\h_{m,i}\end{pmatrix}}$

給出了矩陣的第 $i$ 列。

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問題 15

對於每個一元實變數函式向量空間，相對於 $B,B$ 表示導數變換。

1. $\{a\cos x+b\sin x\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle \cos x,\sin x\rangle$
2. $\{ae^{x}+be^{2x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle e^{x},e^{2x}\rangle$
3. $\{a+bx+ce^{x}+dxe^{x}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle 1,x,e^{x},xe^{x}\rangle$

答案

1. 域基向量在陪域中的對映分別是 $\cos x{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}-\sin x$ 和 $\sin x{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}\cos x$。以陪域的基（同樣是 $B$）表示並將其連線起來會得到這個矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}_{B,B}$

2. 域基向量在陪域中的對映分別是 $e^{x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}e^{x}$ 和 $e^{2x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}2e^{2x}$。以陪域的基表示並將其連線起來會得到這個矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}_{B,B}$

3. 域基底成員的影像為 $1{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}0$，$x{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}1$，$e^{x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}e^{x}$，以及 $xe^{x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}e^{x}+xe^{x}$。相對於 $B$ 表示這些影像併合並，得到這個矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}_{B,B}$

問題 16

找到每個矩陣所表示的 $\mathbb {R} ^{2}$ 線性變換的範圍。

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0\\3&2\end{pmatrix}}$
3. 形式為 ${\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\end{pmatrix}}$ 的矩陣

答案

1. 它是以這種方式相對於陪域基底表示的陪域向量集。

   $\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

   由於陪域的基是${\mathcal {E}}_{2}$，每個向量都由自身表示，因此此變換的範圍是$x$軸。
2. 它是陪域中以這種方式表示的向量的集合。

   $\{{\begin{pmatrix}0&0\\3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}0\\3x+2y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

   關於${\mathcal {E}}_{2}$，向量代表自身，因此此範圍是$y$軸。
3. 關於${\mathcal {E}}_{2}$表示的向量集合為

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}ax+by\\2ax+2by\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{(ax+by)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

   是直線$y=2x$，只要$a$或$b$不為零，如果兩者都為零，則是僅包含原點的集合。

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問題 17

一個矩陣可以代表兩種不同的線性對映嗎？也就是說，${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$ 可能嗎？

答案

可以，有兩個原因。

首先，這兩個對映$h$和${\hat {h}}$不必具有相同的定義域和陪域。例如，

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

表示一個對映 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，相對於標準基，將

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

同時，它也表示一個對映 ${\hat {h}}:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$，相對於 $\langle 1,x\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{2}$，它以這種方式作用。

$1\mapsto {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad x\mapsto {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

第二個原因是，即使 $h$ 和 ${\hat {h}}$ 的定義域和值域一致，不同的基也會產生不同的對映。一個例子是 $2\!\times \!2$ 單位矩陣

$I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

表示在$\mathbb {R} ^{2}$ 上的恆等對映，相對於${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$。然而，相對於定義域的${\mathcal {E}}_{2}$，但對於陪域則是基$D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$，同一個矩陣$I$表示交換第一個和第二個分量的對映

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$

（即關於直線$y=x$的反射）。

問題 18

證明定理 1.4。

答案

我們模仿例 1.1，只是用字母替換數字。

寫$B$ 作為$\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 和 $D$ 作為$\langle {\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{m}\rangle$。根據對映在基下的表示的定義，假設

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\h_{m,1}&\ldots &h_{m,n}\end{pmatrix}}$

表示 $h({\vec {\beta }}_{i})=h_{i,1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{i,n}{\vec {\delta }}_{n}$。根據向量對基底的表示定義，假設

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$

表示 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。代入得到

${\begin{array}{rl}h({\vec {v}})&=h(c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}\cdot h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}\\&=c_{1}\cdot (h_{1,1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{m,1}{\vec {\delta }}_{m})+\dots +c_{n}\cdot (h_{1,n}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{m,n}{\vec {\delta }}_{m})\\&=(h_{1,1}c_{1}+\dots +h_{1,n}c_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\cdots +(h_{m,1}c_{1}+\dots +h_{m,n}c_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}\end{array}}$

因此 $h({\vec {v}})$ 按要求表示。

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問題 19

示例 1.8 展示瞭如何使用標準基底表示平面中所有向量繞原點旋轉 $\theta$ 角。

1. 將三維空間中的所有向量繞 $\theta$ 角旋轉到 $x$ 軸是一個對 $\mathbb {R} ^{3}$ 的變換。用標準基表示它。將旋轉安排好，以便對於腳位於原點，頭部位於 $(1,0,0)$ 的人來說，運動看起來是順時針方向的。
2. 重複前面的步驟，只是繞 $y$ 軸旋轉。（將人的頭部放在 ${\vec {e}}_{2}$ 上。）
3. 重複上述步驟，繞 $z$ 軸旋轉。
4. 將前面的步驟擴充套件到 $\mathbb {R} ^{4}$。（提示：“繞 $z$ 軸旋轉”可以改寫為“平行於 $xy$ 平面的旋轉”。）

答案

1. 影像如下。

   

   域基中的向量的影像

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

   用陪域基表示（再次，${\mathcal {E}}_{3}$）本身，因此將這些表示並置形成矩陣，得到：

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(r_{\theta })={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

2. 影像與前面的答案類似。域基中的向量的影像

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta \\0\\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\0\\\cos \theta \end{pmatrix}}$

   用餘域基底 ${\mathcal {E}}_{3}$ 表示自身，因此這是矩陣。

   ${\begin{pmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}$

3. 對於一個直立的人來說，以垂直的 $z$-軸為參照，$xy$-平面的順時針旋轉是從正 $y$-軸到正 $x$-軸。也就是說，它與 例 1.8 中的方向相反。域基底中向量的影像

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

   用 ${\mathcal {E}}_{3}$ 表示自身，因此矩陣如下。

   ${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

4. ${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0&0\\-\sin \theta &\cos \theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

問題 20（舒爾三角化引理）

1. 令 $U$ 是 $V$ 的一個子空間，並固定基 $B_{U}\subseteq B_{V}$。關於 $B_{U}$ 的 $U$ 中向量的表示和關於 $B_{V}$ 的該向量（視為 $V$ 的一個成員）的表示之間是什麼關係？
2. 對映呢？
3. 固定 $V$ 的一個基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，並觀察到跨度

   $[\{{\vec {0}}\}]=\{{\vec {0}}\}\subset [\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\subset [\{{\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\}]\subset \quad \cdots \quad \subset [B]=V$

   構成一個嚴格遞增的子空間鏈。證明對於任何線性對映 $h:V\to W$，存在一個子空間鏈 $W_{0}=\{{\vec {0}}\}\subseteq W_{1}\subseteq \dots \subseteq W_{m}=W$，使得

   $h([\{{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\}])\subset W_{i}$

   對於每個 $i$。
4. 可以得出結論，對於每個線性對映 $h:V\to W$，都存在基 $B,D$，使得表示 $h$ 的矩陣相對於 $B,D$ 是上三角矩陣（即，每個條目 $h_{i,j}$ 其中 $i>j$ 為零）。
5. 上三角表示是唯一的嗎？

答案

1. 將 $B_{U}$ 寫成 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$，然後將 $B_{V}$ 寫成 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。如果

   ${\rm {Rep}}_{B_{U}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{pmatrix}}\qquad {\text{so that }}{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{k}\cdot {\vec {\beta }}_{k}$

   那麼，

   ${\rm {Rep}}_{B_{V}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

   因為 ${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\beta }}_{k}+0\cdot {\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +0\cdot {\vec {\beta }}_{n}$。
2. 首先，我們需要確定問題的含義。比較 $h:V\to W$ 及其對子空間 ${h}{\mathpunct {\upharpoonright }}_{U}:U\to W$ 的限制。限制的範圍空間是 $W$ 的子空間，因此，為該範圍空間固定一個基底 $D_{h(U)}$，並將其擴充套件為 $W$ 的基底 $D_{V}$。我們希望瞭解這兩個基底之間的關係。

   ${\rm {Rep}}_{B_{V},D_{V}}(h)\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{B_{U},D_{h(U)}}({h}{\mathpunct {\upharpoonright }}_{U})$

   答案直接從前一項得出：如果

   ${\rm {Rep}}_{B_{U},D_{h(U)}}({h}{\mathpunct {\upharpoonright }}_{U})={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,k}\\\vdots &&\vdots \\h_{p,1}&\ldots &h_{p,k}\end{pmatrix}}$

   則擴充套件將以這種方式表示。

   ${\rm {Rep}}_{B_{V},D_{V}}(h)={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,k}&h_{1,k+1}&\ldots &h_{1,n}\\\vdots &&&&&\vdots \\h_{p,1}&\ldots &h_{p,k}&h_{p,k+1}&\ldots &h_{p,n}\\0&\ldots &0&h_{p+1,k+1}&\ldots &h_{p+1,n}\\\vdots &&&&&\vdots \\0&\ldots &0&h_{m,k+1}&\ldots &h_{m,n}\end{pmatrix}}$

3. 將 $W_{i}$ 定義為 $\{h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{i})\}$ 的生成空間。
4. 將第二項的答案應用到第三項。
5. 否。例如，$\pi _{x}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，即對 $x$ 軸的投影，可以用這兩個上三角矩陣來表示

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{C,{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

   其中，$C=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$.