線性代數/基底

定義 1.1

向量空間的基底是指一個線性無關的向量序列，它可以生成整個空間。

我們用尖括號 $\langle {\vec {\beta _{1}}},{\vec {\beta _{2}}},\dots \rangle$ 來表示這個集合是一個序列 - 元素的順序很重要。（例如，在定義 1.13中，我們需要基底是有序的。）

示例 1.2

這是一個對於 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基底。

$\langle {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

它是線性無關的

$c_{1}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&1c_{2}&=&0\\4c_{1}&+&1c_{2}&=&0\end{array}}\quad \implies \quad c_{1}=c_{2}=0$

並且它可以生成 $\mathbb {R} ^{2}$。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&1c_{2}&=&x\\4c_{1}&+&1c_{2}&=&y\end{array}}\quad \implies \quad c_{2}=2x-y{\text{ and }}c_{1}={\frac {y-x}{2}}$

示例 1.3

這是一個對於 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基底。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\rangle$

它與前面的不同，因為向量順序不同。驗證它是否為基底與前面的例子相同。

示例 1.4

空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 有許多基。另一個是這個。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

驗證很簡單。

定義 1.5

對於任何 $\mathbb {R} ^{n}$ ，

${\mathcal {E}}_{n}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\dots ,\,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\rangle$

是標準（或自然）基。我們用 ${\vec {e_{1}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ 表示這些向量。

(微積分書將 $\mathbb {R} ^{2}$ 的標準基向量稱為 ${\vec {\imath }}$ 和 ${\vec {\jmath }}$，而不是 ${\vec {e}}_{1}$ 和 ${\vec {e}}_{2}$，它們將 $\mathbb {R} ^{3}$ 的標準基向量稱為 ${\vec {\imath }}$，${\vec {\jmath }}$ 和 ${\vec {k}}$，而不是 ${\vec {e}}_{1}$，${\vec {e}}_{2}$ 和 ${\vec {e}}_{3}$。）請注意，符號 "${\vec {e}}_{1}$" 在討論 $\mathbb {R} ^{3}$ 時與討論 $\mathbb {R} ^{2}$ 時意義不同。

例 1.6

考慮實變數 $\theta$ 的函式空間 $\{a\cdot \cos \theta +b\cdot \sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$。

$\langle 1\cdot \cos \theta +0\cdot \sin \theta ,0\cdot \cos \theta +1\cdot \sin \theta \rangle =\langle \cos \theta ,\sin \theta \rangle$

另一個基是 $\langle \cos \theta -\sin \theta ,2\cos \theta +3\sin \theta \rangle$。驗證這兩個是基是 問題 7。

示例 1.7

三次多項式向量空間的自然基是 ${\mathcal {P}}_{3}$ 是 $\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。這個空間的另外兩個基是 $\langle x^{3},3x^{2},6x,6\rangle$ 和 $\langle 1,1+x,1+x+x^{2},1+x+x^{2}+x^{3}\rangle$。檢查它們是否線性無關並跨越空間很容易。

示例 1.8

平凡空間 $\{{\vec {0}}\}$ 只有一個基，空基 $\langle \rangle$。

示例 1.9

有限度多項式空間有一個無限多個元素的基 $\langle 1,x,x^{2},\ldots \rangle$。

示例 1.10

我們之前已經見過基。在第一章中，我們描述了諸如以下齊次系統的解集

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&&&-&w&=&0\\&&&&z&+&w&=&0\end{array}}$

透過引數化。

$\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}$

也就是說，我們將解向量空間描述為一個二元集的跨度。我們可以很容易地驗證這個二向量集也是線性無關的。因此，解集是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的子空間，具有一個二元基。

示例 1.11

引數化有助於找到其他向量空間的基，而不僅僅是齊次系統的解集。要找到 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的這個子空間的基

$\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b-2c=0\}$

我們將條件改寫為 $a=-b+2c$.

$\{{\begin{pmatrix}-b+2c&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

因此，這是一個很好的基底候選。

$\langle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}}\rangle$

以上證明表明它張成該空間。證明它線性無關是例行公事。

再考慮 例 1.2。它涉及兩個驗證。

首先，為了檢查該集合是否線性無關，我們考察該集合成員的線性組合，其總和為零向量 $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}={\binom {0}{0}}$. resulting calculation shows that such a combination is unique, that $c_{1}$ must be $0$ and $c_{2}$ must be $0$.

第二個驗證，即集合是否跨越空間，考察了總和為空間中任何成員的線性組合 $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}={\binom {x}{y}}$. 在例 1.2中，我們只注意到得到的計算表明這種組合存在，對於每個$x,y$，都有一個$c_{1},c_{2}$。然而，事實上，計算還表明該組合是唯一的：$c_{1}$必須是$(y-x)/2$，而$c_{2}$必須是$2x-y$.

也就是說，第一個計算是第二個計算的特例。下面的結果表明，對於跨越集合，這在一般情況下成立：總和為零向量的組合是唯一的，當且僅當總和為任何向量的組合是唯一的。

定理 1.12

在任何向量空間中，一個子集是基底，當且僅當空間中的每個向量可以以唯一的方式表示為該子集元素的線性組合。

我們認為，如果組合僅在加數順序或形式為 "$0\cdot {\vec {\beta }}$" 的項的新增或刪除方面有所不同，則這些組合相同。

證明

根據定義，一個序列是基底，當且僅當它的向量同時構成一個跨越集合和一個線性無關集合。一個子集是跨越集合，當且僅當空間中的每個向量都是該子集元素的線性組合，至少有一種方式。

因此，我們只需要證明，一個子集是線性無關的，當且僅當空間中的每個向量都是該子集元素的線性組合，至多有一種方式。考慮將一個向量表示為基底成員的線性組合的兩個表示式。我們可以重新排列這兩個和，如果需要，可以新增一些$0{\vec {\beta }}_{i}$項，以便這兩個和以相同的順序組合相同的${\vec {\beta }}$：${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 和 ${\vec {v}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+d_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。現在

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+d_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

當且僅當

$(c_{1}-d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}-d_{n}){\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$

成立，因此斷言下式中每個係數為零，等同於斷言 $c_{i}=d_{i}$ 對於每個 $i$ 都成立。

定義 1.13

在一個以 $B$ 為基的向量空間中，${\vec {v}}$ 關於 $B$ 的表示 是將 ${\vec {v}}$ 表示為基向量線性組合時所用係數的列向量

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$

其中 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 以及 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。 $c$ 是 ${\vec {v}}$ 相對於 $B$ 的 **座標**。

我們將在涉及多個基底的上下文中進行表示。為了幫助記賬，我們通常會在列向量中新增一個下標 $B$。

示例 1.14

在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中，相對於基底 $B=\langle 1,2x,2x^{2},2x^{3}\rangle$，$x+x^{2}$ 的表示是

${\rm {Rep}}_{B}(x+x^{2})={\begin{pmatrix}0\\1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}_{B}$

（注意，座標是標量，而不是向量）。相對於另一個基底 $D=\langle 1+x,1-x,x+x^{2},x+x^{3}\rangle$，表示是

${\rm {Rep}}_{D}(x+x^{2})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}_{D}$

是不同的。

備註 1.15

使用列向量表示法和術語“座標”既有弊端也有優點。

缺點是，表示看起來像來自$\mathbb {R} ^{n}$的向量，當我們處理的向量空間是$\mathbb {R} ^{n}$時，這可能會令人困惑，尤其是在我們有時省略下標基數的情況下。然後我們必須從上下文中推斷意圖。例如，“在$\mathbb {R} ^{2}$中，其中${\vec {v}}={\binom {3}{2}}$”指的是平面向量，當處於規範位置時，以$(3,2)$結束。為了找到該向量相對於基的座標

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$

我們解

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

得到$c_{1}=3$和$c_{2}=-1/2$。然後我們有這個。

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}3\\-1/2\end{pmatrix}}$

在這裡，雖然我們省略了$B$的子下標，但從上下文中可以清楚地看出右側是一個表示。

這種記號和“座標”一詞的好處是它們將我們熟悉的使用方式推廣到了：在$\mathbb {R} ^{n}$中，並且相對於標準基${\mathcal {E}}_{n}$，從原點開始並以$(v_{1},\dots ,v_{n})$結束的向量具有此表示。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{n}}$

我們將在第三章中主要使用表示。定義出現在這裡是因為每個向量都是基向量以唯一方式的線性組合這一事實是基的關鍵屬性，同時也是為了幫助說明兩點。首先，我們為基元素的順序進行固定，以便按照該順序給出座標。其次，為了計算座標，以及其他目的，我們將注意力限制在具有有限個元素的基的空間。我們將在下一小節看到這一點。

練習

建議所有讀者完成本練習。

問題 1

判斷每個是否為 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基。

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
3. $\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle$
4. $\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\rangle$

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問題 2

關於該基表示向量。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$, $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{2}$
2. $x^{2}+x^{3}$, $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2},1+x+x^{2}+x^{3}\rangle \subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}$, ${\mathcal {E}}_{4}\subseteq \mathbb {R} ^{4}$

問題 3

求 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的基，即所有二次多項式空間。任何這樣的基必須包含一個每個次數的多項式嗎？～零次、一次和二次？

問題 4

求此係統的解集的基。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

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問題 5

求 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的基，即 $2\!\times \!2$ 矩陣的空間。

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問題 6

求每個子空間的基。

1. 子空間 $\{a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,{\big |}\,a_{2}-2a_{1}=a_{0}\}$ 的 ${\mathcal {P}}_{2}$
2. 第一和第二個分量加起來為零的三列行向量空間
3. 這個 $2\!\times \!2$ 矩陣的子空間

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c-2b=0\}$

問題 7

檢查示例 1.6。

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問題 8

找出每個集合的生成空間，然後找出該生成空間的基底。

1. $\{1+x,1+2x\}$ in ${\mathcal {P}}_{2}$
2. $\{2-2x,3+4x^{2}\}$ in ${\mathcal {P}}_{2}$

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問題 9

為三次多項式空間${\mathcal {P}}_{3}$的以下子空間找出基底。

1. 三次多項式$p(x)$的子空間，使得$p(7)=0$
2. 多項式$p(x)$的子空間，使得$p(7)=0$ and $p(5)=0$
3. 多項式$p(x)$的子空間，使得$p(7)=0$, $p(5)=0$, and~$p(3)=0$
4. 使得 $p(7)=0$, $p(5)=0$, $p(3)=0$，以及 $p(1)=0$的多項式空間 $p(x)$

問題 10

我們已經看到，一個基底在重新排序後仍然可以保持為基底。它總是保持基底嗎？

問題 11

一個基底可以包含零向量嗎？

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問題 12

設 $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 是一個向量空間的基底。

1. 證明 $\langle c_{1}{\vec {\beta }}_{1},c_{2}{\vec {\beta }}_{2},c_{3}{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 當 $c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0$ 時是一個基底。當至少一個 $c_{i}$ 為 $0$ 時會發生什麼？
2. 證明 $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle$ 是一個基底，其中 ${\vec {\alpha }}_{i}={\vec {\beta }}_{1}+{\vec {\beta }}_{i}$.

問題 13

找到一個向量 ${\vec {v}}$，使得每個向量都成為該空間的基底。

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\vec {v}}\rangle$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$
2. $\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {v}}\rangle$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$
3. $\langle x,1+x^{2},{\vec {v}}\rangle$ 在 ${\mathcal {P}}_{2}$

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問題 14

其中 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是一個基，證明在這個方程式中

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}=c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

每一個 $c_{i}$ 都為零。推廣。

問題 15

一個基包含一個向量空間中的一些向量；它能包含所有的向量嗎？

問題 16

定理 1.12 表明，關於一個基，每一個線性組合都是唯一的。如果一個子集不是一個基，線性組合可能不唯一嗎？如果是這樣，它們必須不唯一嗎？

建議所有讀者完成本練習。

問題 17

如果對所有索引 $i$ 和 $j$，項 $i,j$ 等於項 $j,i$，則方陣為 **對稱** 的。

1. 找到對稱 $2\!\times \!2$ 矩陣的向量空間的基。
2. 找到對稱 $3\!\times \!3$ 矩陣的向量空間的基。
3. 找到對稱 $n\!\times \!n$ 矩陣空間的一組基。

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問題 18

我們可以證明，$\mathbb {R} ^{3}$ 的任何一組基都包含相同數量的向量。

1. 證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 中任何線性無關子集都不包含超過三個向量。
2. 證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 中任何生成子集都不包含少於三個向量。(提示：回顧如何計算一個集合的生成空間，並證明當應用於兩個向量時，這種方法無法得到所有的 $\mathbb {R} ^{3}$。)

問題 19

子空間小節中的一個練習表明，集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

在這些運算下是一個向量空間。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

找到一組基。

解答