線性代數/維度

在上一小節中，我們定義了向量空間的基底，我們看到一個空間可以有多個不同的基底。例如，根據基底的定義，我們看到了 $\mathbb {R} ^{2}$ 的三個不同的基底。因此，我們不能談論一個向量空間的“基底”。誠然，一些向量空間的基底比其他基底更自然，例如，$\mathbb {R} ^{2}$ 的基底 ${\mathcal {E}}_{2}$ 或 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基底 ${\mathcal {E}}_{3}$ 或 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的基底 $\langle 1,x,x^{2}\rangle$。但是，例如在空間 $\{a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,{\big |}\,2a_{2}-a_{0}=a_{1}\}$ 中，沒有一個特別的基底最自然地顯現出來。一般來說，我們不能將任何一個最能描述該空間的單一基底與空間相關聯。

但是，我們可以找到一些關於基底的東西，它與空間唯一相關。本小節表明，任何兩個空間的基底都具有相同數量的元素。因此，我們可以將一個數字與每個空間相關聯，即任何一個基底中的向量數量。

這讓我們回到了我們考慮“最小生成集”一詞的兩種含義時的情況。在那個時候，我們將“最小”定義為線性無關，但我們注意到，對該術語的另一個合理的解釋是，當一個生成集具有與具有相同生成空間的任何集合的最少元素數量時，它就是“最小”的。在本小節的最後，在我們證明了所有基底都具有相同數量的元素之後，我們將證明“最小”的兩種含義是等價的。

在我們開始之前，我們首先將注意力限制在至少有一個基底只有有限多個成員的空間上。

定義 2.1

如果一個向量空間有一個基底只有有限多個向量，則稱該向量空間是 **有限維** 的。

（堅持使用有限維空間的一個原因是，這樣，相對於一個基底的向量表示就是一個有限高度的向量，因此可以很容易地寫出來。）從現在開始，我們只研究有限維向量空間。我們將使用“向量空間”一詞來表示“有限維向量空間”。其他空間很有趣也很重要，但它們超出了我們的範圍。

為了證明主要定理，我們將使用一個技術結果。

引理 2.2（交換引理）

假設$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是向量空間的基，並且對於向量 ${\vec {v}}$，關係式 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 有 $c_{i}\neq 0$。然後交換 ${\vec {\beta }}_{i}$ 為 ${\vec {v}}$ 會產生另一個空間的基。

證明

將交換的結果稱為 ${\hat {B}}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i-1},{\vec {v}},{\vec {\beta }}_{i+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$.

我們首先證明 ${\hat {B}}$ 是線性無關的。 ${\hat {B}}$ 成員之間的任何關係式 $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {v}}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$，在將 ${\vec {v}}$ 代入後，

$d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}\cdot (c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}{\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}\qquad \qquad (*)$

給出了 $B$ 中成員之間的線性關係。基 $B$ 是線性無關的，所以 ${\vec {\beta }}_{i}$ 的係數 $d_{i}c_{i}$ 為零。因為假設 $c_{i}$ 不為零，所以 $d_{i}=0$。在上面的方程 $(*)$ 中使用此結果，表明所有其他 $d$ 也為零。因此 ${\hat {B}}$ 是線性無關的。

We finish by showing that ${\hat {B}}$ has the same span as $B$. Half of this argument, that $[{\hat {B}}]\subseteq [B]$, is easy; any member $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {v}}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ of $[{\hat {B}}]$ can be written $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}\cdot (c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$, which is a linear combination of linear combinations of members of $B$, and hence is in $[B]$. For the $[B]\subseteq [{\hat {B}}]$ half of the argument, recall that when ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ with $c_{i}\neq 0$, then the equation can be rearranged to ${\vec {\beta }}_{i}=(-c_{1}/c_{i}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(1/c_{i}){\vec {v}}+\dots +(-c_{n}/c_{i}){\vec {\beta }}_{n}$. Now, consider any member $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {\beta }}_{i}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ of $[B]$, substitute for ${\vec {\beta }}_{i}$ its expression as a linear combination of the members of ${\hat {B}}$, and recognize (as in the first half of this argument) that the result is a linear combination of linear combinations, of members of ${\hat {B}}$, and hence is in $[{\hat {B}}]$.

定理 2.3

在任何有限維向量空間中，所有基都具有相同數量的元素。

證明

固定一個至少有一個有限基的向量空間。在該空間的所有基中，選擇一個具有最小大小的基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。我們將證明任何其他基 $D={\langle {\vec {\delta }}_{1},{\vec {\delta }}_{2},\ldots \rangle }$ 也具有相同數量的成員，即 $n$。因為 $B$ 具有最小大小，所以 $D$ 不少於 $n$ 個向量。我們將論證它不能超過 $n$ 個向量。

基底 $B$ 跨越了空間，而 ${\vec {\delta }}_{1}$ 屬於該空間，所以 ${\vec {\delta }}_{1}$ 是 $B$ 中元素的非平凡線性組合。根據交換引理，${\vec {\delta }}_{1}$ 可以用 $B$ 中的一個向量進行交換，得到一個新的基底 $B_{1}$，其中一個元素是 ${\vec {\delta }}$，其餘 $n-1$ 個元素都是 ${\vec {\beta }}$。

前一段形成歸納論證的基礎步驟。歸納步驟從一個基礎 $B_{k}$（對於 $1\leq k<n$）開始，其中包含 $k$ 個 $D$ 的成員和 $n-k$ 個 $B$ 的成員。我們知道 $D$ 至少有 $n$ 個成員，因此存在一個 ${\vec {\delta }}_{k+1}$。將它表示為 $B_{k}$ 的元素的線性組合。關鍵點：在該表示中，至少一個非零標量必須與 ${\vec {\beta }}_{i}$ 相關聯，否則該表示將是線性無關集 $D$ 的元素之間的非平凡線性關係。用 ${\vec {\delta }}_{k+1}$ 替換 ${\vec {\beta }}_{i}$，得到一個新的基礎 $B_{k+1}$，它比以前的基礎 $B_{k}$ 多一個 ${\vec {\delta }}$，少一個 ${\vec {\beta }}$。

重複歸納步驟，直到沒有${\vec {\beta }}$剩餘，使得$B_{n}$包含${\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{n}$。現在，$D$不能超過這些$n$個向量，因為任何${\vec {\delta }}_{n+1}$都將在$B_{n}$的生成空間內（因為它是基底），因此將是其他${\vec {\delta }}$的線性組合，這與$D$線性無關相矛盾。

定義 2.4

向量空間的維數是指其任意一個基底中的向量個數。

示例 2.5

任何$\mathbb {R} ^{n}$的基底包含$n$個向量，因為標準基底${\mathcal {E}}_{n}$包含$n$個向量。因此，該定義概括了術語的最常見用法，即$\mathbb {R} ^{n}$是$n$維的。

示例 2.6

最多 $n$ 次的多項式空間 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的維數為 $n+1$。我們可以透過展示任何基底來證明這一點—— $\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 就映入腦海—— 然後計算它的成員數量。

示例 2.7

一個平凡空間是零維的，因為它的基底是空的。

同樣，儘管我們有時會說“有限維”作為提醒，但在本書的其餘部分，所有向量空間都假定為有限維。這一點的一個例子是，在接下來的結果中，“空間”一詞應理解為“有限維向量空間”。

推論 2.8

任何線性無關集的大小都不能大於包含它的空間的維數。

證明

仔細檢查上面的證明會發現，它從未使用過 $D$ 跨越空間，只使用過 $D$ 是線性無關的。

示例 2.9

回想一下上一節的子空間圖，它展示了 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間。每個顯示的子空間都用一個最小跨越集描述，對於這個最小跨越集，我們現在有了“基底”這個術語。整個空間有一個具有三個成員的基底，平面子空間有具有兩個成員的基底，直線子空間有具有一個成員的基底，而平凡子空間有一個具有零個成員的基底。當我們看到該圖時，我們無法證明這些是該空間具有的唯一子空間。我們現在可以證明它。先前的推論證明了 $\mathbb {R} ^{3}$ 的唯一子空間要麼是三維、二維、一維，要麼是零維。因此，該圖顯示了所有子空間。不存在某種介於直線和平面之間的子空間。

推論 2.10

任何線性無關集都可以擴充套件為基底。

證明

如果一個線性無關集不是基底，那麼它一定沒有跨越空間。在其中新增一個不在其跨越範圍內的向量會保持線性無關性。繼續新增，直到生成的集合跨越空間，先前的推論表明這隻需有限步即可完成。

推論 2.11

任何跨越集都可以縮減為基底。

證明

將跨越集稱為 $S$。如果 $S$ 是空的，那麼它已經是基底（空間必須是平凡空間）。如果 $S=\{{\vec {0}}\}$，那麼它可以縮減為空基底，從而使其線性無關，而不會改變其跨越範圍。

否則，$S$ 包含一個向量 ${\vec {s}}_{1}$ 且 ${\vec {s}}_{1}\neq {\vec {0}}$，我們可以形成一個基底 $B_{1}=\langle {\vec {s}}_{1}\rangle$。如果 $[B_{1}]=[S]$，那麼我們就完成了。

如果不是，那麼存在一個${\vec {s}}_{2}\in [S]$，使得${\vec {s}}_{2}\not \in [B_{1}]$。令$B_{2}=\langle {\vec {s}}_{1},{\vec {s_{2}}}\rangle$；如果$[B_{2}]=[S]$，那麼我們就完成了。

我們可以重複這個過程，直到跨度相等，這最多需要有限步才能完成。

推論 2.12

在$n$ 維空間中，一組$n$ 個向量線性無關，當且僅當它們跨越整個空間。

證明

首先，我們將證明一個包含$n$ 個向量的子集線性無關，當且僅當它是一個基。 "如果" 顯然是正確的——基是線性無關的。 "僅當" 成立是因為一個線性無關的集合可以擴充套件成一個基，但一個基有$n$ 個元素，所以這個擴充套件實際上就是我們開始的集合。

最後，我們將證明任何包含$n$ 個向量的子集跨越整個空間，當且僅當它是一個基。 再次，"如果" 是顯然的。 "僅當" 成立是因為任何跨越集都可以縮減成一個基，但一個基有$n$ 個元素，因此這個縮減後的集合就是我們開始的集合。

本節的主要結果，即有限維向量空間中所有基都具有相同數量的元素，是本書中最重要的結果，因為正如例 2.9 所示，它描述了向量空間和子空間可能存在的方式。我們將在下一章中看到更多內容。

備註 2.13

無限維向量空間的情況存在爭議。 "任何無限維向量空間都有一個基" 的陳述被證明等價於稱為選擇公理的陳述（參見 (Blass 1984)。數學家在是否將此陳述作為數學基礎的公理存在哲學上的分歧（儘管絕大多數人似乎接受它）。因此，關於無限維向量空間的問題仍然存在爭議。（關於選擇公理的討論可以在 Usenet 群組 sci.math 的常見問題解答列表中找到。另一個容易理解的參考文獻是 (Rucker 1982)。

練習

除非另有說明，否則假設所有空間都是有限維的。

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

找出${\mathcal {P}}_{2}$ 的基和維度。

問題 2

找出此係統的解集的基和維度。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 3

求 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$，即 $2\!\times \!2$ 矩陣的向量空間的基和維數。

問題 4

求矩陣向量空間的維數

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

在每個條件下。

1. $a,b,c,d\in \mathbb {R}$
2. $a-b+2c=0$ 且 $d\in \mathbb {R}$
3. $a+b+c=0$，$a+b-c=0$ 且 $d\in \mathbb {R}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 5

求每個空間的維數。

1. 滿足 $p(7)=0$ 的三次多項式 $p(x)$ 的空間。
2. 滿足 $p(7)=0$ 且 $p(5)=0$ 的三次多項式 $p(x)$ 的空間。
3. 使得 $p(7)=0$，$p(5)=0$，以及 $p(3)=0$ 的三次多項式空間 $p(x)$
4. 使得 $p(7)=0$，$p(5)=0$，$p(3)=0$，以及 $p(1)=0$ 的三次多項式空間 $p(x)$

問題 6

集合 $\{\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\cos 2\theta ,\sin 2\theta \}$ 的生成空間的維數是多少？這個生成空間是所有單變數實值函式空間的子空間。

問題 7

求 $\mathbb {C} ^{47}$ 的維數，即 $47$ 元複數向量空間的維數。

問題 8

求 ${\mathcal {M}}_{3\!\times \!5}$ 的維數，即 $3\!\times \!5$ 矩陣的向量空間的維數。

建議所有讀者完成此練習。

問題 9

證明這是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的一個基。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

（本小節的結果可用於簡化此工作。）

問題 10

參考 例 2.9。

1. 為 ${\mathcal {P}}_{2}$ 繪製一個類似的子空間圖。
2. 繪製一個 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$。

建議所有讀者完成此練習。

問題 11

其中 $S$ 是一個集合，函式 $f:S\to \mathbb {R}$ 在自然運算下形成一個向量空間：和 $f+g$ 是由 $(f+g)\,(s)=f(s)+g(s)$ 給出的函式，而標量積由 $(r\cdot f)\,(s)=r\cdot f(s)$ 給出。對於每個域，所得空間的維數是多少？

1. $S=\{1\}$
2. $S=\{1,2\}$
3. $S=\{1,\ldots ,n\}$

問題 12

（參見 問題 11。）證明這是一個無限維空間：所有函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在自然運算下的集合。

問題 13

（參見 問題 11。）當域 $S$ 為空集時，在自然運算下，函式 $f:S\to \mathbb {R}$ 的向量空間的維數是多少？

問題 14

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任意四個向量線性相關。

問題 15

證明集合 $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle \subset \mathbb {R} ^{3}$ 是一個基當且僅當不存在透過原點的平面包含所有三個向量。

問題 16

1. 證明有限維空間的任何子空間都有一個基。
2. 證明有限維空間的任何子空間都是有限維的。

問題 17

在 定理 2.3 中，$B$ 的有限性在哪裡使用？

建議所有讀者完成此練習。

問題 18

證明如果 $U$ 和 $W$ 都是 $\mathbb {R} ^{5}$ 的三維子空間，那麼 $U\cap W$ 不是平凡的。推廣一下。

問題 19

因為空間的基是該空間的子集，所以我們自然地會想到“是基”這個性質如何與集合運算相互作用。

1. 首先考慮如何用“子集”關係來聯絡基。假設$U,W$ 是某個向量空間的子空間，並且$U\subseteq W$。是否存在$B_{U}$ 是$U$ 的基，而$B_{W}$ 是$W$ 的基，使得$B_{U}\subseteq B_{W}$？這樣的基必須存在嗎？對於$U$ 的任意基$B_{U}$，是否必須存在$B_{W}$ 是$W$ 的基，使得$B_{U}\subseteq B_{W}$？對於$W$ 的任意基$B_{W}$，是否必須存在$B_{U}$ 是$U$ 的基，使得$B_{U}\subseteq B_{W}$？對於$U$ 和$W$ 的任意基$B_{U},B_{W}$，是否必須有$B_{U}$ 是$B_{W}$ 的子集？
2. 基的交集是否也是基？如果是，是哪個空間的基？
3. 基的並集是否也是基？如果是，是哪個空間的基？
4. 補集呢？

（提示：用$\mathbb {R} ^{3}$ 的一些子空間來檢驗你的猜想。）

建議所有讀者完成此練習。

問題 20

考慮“維數”如何與“子集”相互作用。假設 $U$ 和 $W$ 都是某個向量空間的子空間，並且 $U\subseteq W$.

1. 證明 $\dim(U)\leq \dim(W)$.
2. 證明維數相等當且僅當 $U=W$.
3. 證明如果它們是無限維的，則前面一項不成立。

? 問題 21

對於任何向量 ${\vec {v}}$ 在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，以及任何對數字 $1$，$2$，…，$n$ 的排列 $\sigma$（也就是說，$\sigma$ 是這些數字以新順序排列的重排），定義 $\sigma ({\vec {v}})$ 為一個向量，其分量為 $v_{\sigma (1)}$，$v_{\sigma (2)}$，…，以及 $v_{\sigma (n)}$（其中 $\sigma (1)$ 是重新排列中的第一個數字，等等）。現在固定 ${\vec {v}}$ 並令 $V$ 為 $\{\sigma ({\vec {v}})\,{\big |}\,\sigma {\text{ permutes }}1,\ldots ,n\}$ 的生成空間。$V$ 的維數可能是什麼？ (Gilbert, Krusemeyer & Larson 1993，問題 47)

解答

參考

• Blass, A. (1984), "存在基意味著選擇公理", in Baumgartner, J. E. (ed.), 公理集合論, 普羅維登斯 RI: 美國數學學會, pp. 31–33.
• Rucker, Rudy (1982), 無窮與心靈, Birkhauser.
• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (1993), 沃哈斯庫姆縣問題集, 美國數學協會.