線性代數/維度/解

解

除非另有說明，假設所有空間都是有限維的。

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問題 1

找到${\mathcal {P}}_{2}$的一個基，以及它的維度。

答案

一個基是$\langle 1,x,x^{2}\rangle$，因此維度是三。

問題 2

找到這個方程組解集的一個基，以及它的維度。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

答案

解集是

$\{{\begin{pmatrix}4x_{2}-3x_{3}+x_{4}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb {R} \}$

因此一個自然基是

$\langle {\begin{pmatrix}4\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

（檢查線性無關很容易）。因此維度是三。

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問題 3

找到${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$的一個基，以及它的維度，$2\!\times \!2$矩陣的向量空間。

答案

對於這個空間

$\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}=\{a\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+\dots +d\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

這是一個自然基。

$\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

維度是四。

問題 4

求矩陣向量空間的維度

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

滿足以下條件。

1. $a,b,c,d\in \mathbb {R}$
2. $a-b+2c=0$ 以及 $d\in \mathbb {R}$
3. $a+b+c=0$，$a+b-c=0$ 以及 $d\in \mathbb {R}$

答案

1. 與前面的練習一樣，空間 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 中的矩陣沒有限制，有這個基

   $\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

   因此維度是四。
2. 對於這個空間

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a=b-2c{\text{ and }}d\in \mathbb {R} \}=\{b\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

   這是一個自然基。

   $\langle {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

   維數為三。
3. 將高斯方法應用於二元一次方程組，得出 $c=0$ 以及 $a=-b$。因此，我們有以下描述

   $\{{\begin{pmatrix}-b&b\\0&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,d\in \mathbb {R} \}=\{b\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,d\in \mathbb {R} \}$

   因此，這是一個自然基。

   $\langle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

   維數為二。

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問題 5

求出每個空間的維數。

1. 使得 $p(7)=0$ 的三次多項式 $p(x)$ 的空間
2. 使得 $p(7)=0$ 以及 $p(5)=0$ 的三次多項式 $p(x)$ 的空間
3. 滿足以下條件的三次多項式$p(x)$ 的空間：$p(7)=0$，$p(5)=0$ 和 $p(3)=0$
4. 滿足以下條件的三次多項式$p(x)$ 的空間：$p(7)=0$，$p(5)=0$，$p(3)=0$ 和 $p(1)=0$

答案

這些空間的基在之前小節的答案集中給出。

1. 一個基是$\langle -7+x,-49+x^{2},-343+x^{3}\rangle$。維度為3。
2. 一個基是$\langle 35-12x+x^{2},420-109x+x^{3}\rangle$，因此維度為2。
3. 一個基是$\{-105+71x-15x^{2}+x^{3}\}$。維度為1。
4. 這是${\mathcal {P}}_{3}$ 的平凡子空間，因此基為空。維度為0。

問題 6

集合$\{\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\cos 2\theta ,\sin 2\theta \}$ 的生成空間的維度是多少？該生成空間是所有一個實變數的實值函式空間的子空間。

答案

首先回顧一下 $\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta$，因此從該集合中刪除 $\cos 2\theta$ 並不會改變其生成空間。剩餘的集合 $\{\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\sin 2\theta \}$ 是線性無關的（考慮關係式 $c_{1}\cos ^{2}\theta +c_{2}\sin ^{2}\theta +c_{3}\sin 2\theta =Z(\theta )$，其中 $Z$ 是零函式，然後取 $\theta =0$，$\theta =\pi /4$ 和 $\theta =\pi /2$ 得出每個 $c$ 都為零）。因此它是其生成空間的一組基。這表明該生成空間是一個三維向量空間。

問題 7

求 $\mathbb {C} ^{47}$ 的維數，它是 $47$ 元複數的有序陣列的向量空間。

答案

這兒有一組基

$\langle (1+0i,0+0i,\dots ,0+0i),\,(0+1i,0+0i,\dots ,0+0i),(0+0i,1+0i,\dots ,0+0i),\ldots \rangle$

因此維數為 $2\cdot 47=94$。

問題 8

向量空間 ${\mathcal {M}}_{3\!\times \!5}$ 的維數是多少，它是 $3\!\times \!5$ 矩陣的向量空間？

答案

一組基是

$\langle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\rangle$

因此，該空間的維數為 $3\cdot 5=15$.

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問題 9

證明該集合是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的一個基。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

（本節的結果可以用來簡化這項任務）

答案

在四維空間中，只有當四個向量的集合能張成該空間時，該集合才是線性無關的。這些向量的形式使得線性無關性很容易證明（觀察第四個分量的方程，然後觀察第三個分量的方程，依此類推）。

問題 10

參考 例 2.9.

1. 為 ${\mathcal {P}}_{2}$ 繪製類似的子空間圖。
2. 為 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 繪製一個。

答案

1. 對於 ${\mathcal {P}}_{2}$，該圖有四層。頂層只有一個三維子空間，即 ${\mathcal {P}}_{2}$ 本身。下一層包含二維子空間（不僅僅是線性多項式；任何二維子空間，例如形式為 $ax^{2}+b$ 的多項式）。再往下是一維子空間。最後，當然，是唯一的零維子空間，即平凡子空間。
2. 對於 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$，該圖有五層，包括四維到零維的子空間。

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問題 11

當 $S$ 是一個集合時，函式 $f:S\to \mathbb {R}$ 在自然運算下構成向量空間：和 $f+g$ 是由 $f+g\,(s)=f(s)+g(s)$ 給出的函式，標量積由 $r\cdot f\,(s)=r\cdot f(s)$ 給出。對於每個域，空間的維度是多少？

1. $S=\{1\}$
2. $S=\{1,2\}$
3. $S=\{1,\ldots ,n\}$

答案

1. 一
2. 二
3. $n$

問題 12

(參見 問題 11。) 證明這是一個無限維空間：在自然運算下，所有函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 的集合。

答案

我們只需要生成一個無限線性無關的集合。一個例子是 $\langle f_{1},f_{2},\ldots \rangle$，其中 $f_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是

$f_{i}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

即在 $x=i$ 處值為 $1$ 的函式。

問題 13

(參見 問題 11。) 函式向量空間的維度是多少 $f:S\to \mathbb {R}$，在自然運算下，其中定義域 $S$ 是空集？

答案

考慮到函式是一個集合，更具體地說，是一組有序對 $(x,f(x))$，那麼唯一具有空定義域的函式是空集。因此，這是一個平凡的向量空間，其維度為零。

問題 14

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何四個向量集都是線性相關的。

答案

應用 推論 2.8。

問題 15

證明集合 $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle \subset \mathbb {R} ^{3}$ 是一個基當且僅當不存在透過原點的平面包含所有三個向量。

答案

一個平面具有形式 $\{{\vec {p}}+t_{1}{\vec {v}}_{1}+t_{2}{\vec {v}}_{2}\,{\big |}\,t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \}$。(第一章也將其稱為 "$2$-平面”，並討論了為什麼這等同於微積分中通常使用的描述，即點集 $(x,y,z)$ 滿足條件 $ax+by+cz=d$)。當平面透過原點時，我們可以取特定向量 ${\vec {p}}$ 為 ${\vec {0}}$。因此，在我們本章中開發的語言中，透過原點的平面是兩個向量集的生成空間。

現在看陳述。斷言三個向量不共面，等同於斷言沒有向量位於另外兩個向量的生成空間中——沒有向量是另外兩個向量的線性組合。這僅僅是斷言三元素集是線性無關的。根據 推論 2.12，這等同於斷言該集合是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基。

問題 16

1. 證明有限維空間的任何子空間都有一個基。
2. 證明有限維空間的任何子空間都是有限維的。

答案

令空間 $V$ 是有限維的。令 $S$ 是 $V$ 的子空間。

1. 空集是 $S$ 的一個線性無關子集。根據 推論 2.10，它可以擴充套件為向量空間 $S$ 的一個基。
2. 子空間 $S$ 的任何基都是超空間 $V$ 中的一個線性無關集合。因此它可以擴充套件為超空間的基，而超空間是有限維的。所以它只有有限多個成員。

問題 17

在 定理 2.3 中，哪裡用到了 $B$ 的有限性？

答案

它確保我們窮盡了所有的 ${\vec {\beta }}$。也就是說，它證明了最後一段的第一句話。

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問題 18

證明如果 $U$ 和 $W$ 都是 $\mathbb {R} ^{5}$ 中的三個維子空間，那麼 $U\cap W$ 是非平凡的。推廣這個結果。

答案

令 $B_{U}$ 是 $U$ 的基，令 $B_{W}$ 是 $W$ 的基。集合 $B_{U}\cup B_{W}$ 是線性相關的，因為它是五維空間 $\mathbb {R} ^{5}$ 的六個元素的子集。因此，$B_{W}$ 中的一些元素在 $B_{U}$ 的生成空間中，因此 $U\cap W$ 不僅僅是平凡空間 $\{{\vec {0}}\,\}$。

推廣：如果 $U,W$ 是維數為 $n$ 的向量空間的子空間，並且如果 $\dim(U)+\dim(W)>n$，那麼它們有一個非平凡的交集。

問題 19

因為一個空間的基是該空間的子集，我們自然會想到“是基”這個屬性與集合運算的關係。

1. 首先考慮基底如何透過“子集”相關聯。假設 $U,W$ 是某個向量空間的子空間，並且 $U\subseteq W$。是否可以存在 $B_{U}$ 作為 $U$ 的基底，和 $B_{W}$ 作為 $W$ 的基底，使得 $B_{U}\subseteq B_{W}$？這些基底必須存在嗎？對於 $U$ 的任何基底 $B_{U}$，是否一定存在 $B_{W}$ 作為 $W$ 的基底，使得 $B_{U}\subseteq B_{W}$？對於 $W$ 的任何基底 $B_{W}$，是否一定存在 $B_{U}$ 作為 $U$ 的基底，使得 $B_{U}\subseteq B_{W}$？對於 $U$ 和 $W$ 的任何基底 $B_{U},B_{W}$，$B_{U}$ 是否一定為 $B_{W}$ 的子集？
2. 基底的交集是基底嗎？對於什麼空間？
3. 基底的並集是基底嗎？對於什麼空間？
4. 補集呢？

(提示： 對 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一些子空間測試任何猜想。)

答案

首先，請注意，一個集合是某個空間的基底，當且僅當它是線性無關的，因為在這種情況下，它是它自身生成空間的基底。

1. 第二段中問題的答案是“是”（意味著第一段中兩個問題的答案都是“是”。 如果 $B_{U}$ 是 $U$ 的基底，則 $B_{U}$ 是 $W$ 的線性無關子集。 應用 推論 2.10 將其擴充套件為 $W$ 的基底。 這就是所需的 $B_{W}$。 第三段中問題的答案是“否”，這意味著第四段問題的答案也是“否”。 以下是一個超空間基底的例子，其中沒有子基底構成子空間的基底：在 $W=\mathbb {R} ^{2}$ 中，考慮標準基底 ${\mathcal {E}}_{2}$。 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的任何子基底都不會構成子空間 $U$ 的基底，該子空間是 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的直線 $y=x$。
2. 它是一個基底（對於其生成空間），因為線性無關集合的交集是線性無關的（交集是每個線性無關集合的子集）。 但是，它不是空間交集的基底。 例如，這些是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基底

   $B_{1}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad B_{2}=\langle {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$

   並且 $\mathbb {R} ^{2}\cap \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}$，但 $B_{1}\cap B_{2}$為空。我們只能說基的交集是空間交集的子集的基。
3. 基的並集不一定是一個基：在 $\mathbb {R} ^{2}$

   $B_{1}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad B_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$

   的並集 $B_{1}\cup B_{2}$不是線性無關的。兩個基的並集是基的充要條件是

   $B_{1}\cup B_{2}{\text{ is linearly independent }}\quad \iff \quad [B_{1}\cap B_{2}]=[B_{1}]\cap [B_{2}]$

   它很容易證明（但可能難以應用）。
4. 基的補集不能是基，因為它包含零向量。

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問題 20

考慮“維度”如何與“子集”相互作用。假設 $U$ 和 $W$ 都是某個向量空間的子空間，並且 $U\subseteq W$.

1. 證明 $\dim(U)\leq \dim(W)$.
2. 證明維數相等當且僅當 $U=W$.
3. 證明如果它們是無限維的，則前一項不成立。

答案

1. 對於 $U$ 的基是 $W$ 中的線性無關集，因此可以透過 推論 2.10 擴充套件到 $W$ 的基。第二個基至少與第一個基具有相同的成員數。
2. 一個方向是明確的：如果$V=W$，那麼它們具有相同的維數。反過來，設$B_{U}$是$U$的一個基。它是一個$W$的線性無關子集，因此可以擴充套件為$W$的一個基。如果$\dim(U)=\dim(W)$，那麼$W$的這個基不再比$B_{U}$的成員多，因此等於$B_{U}$。由於$U$和$W$具有相同的基，因此它們是相等的。
3. 令$W$為有限度多項式的空間，並令$U$為僅具有偶數次冪項的多項式的子空間$\{a_{0}+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{4}+\dots +a_{n}x^{2n}\,{\big |}\,a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \}$。兩個空間都具有無限維，但$U$是一個真子空間。

? 問題 21

對於任何向量 ${\vec {v}}$ 在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，以及任何數字 $1$，$2$，...，$n$ 的排列 $\sigma$（也就是說，$\sigma$ 是對這些數字進行重新排列以得到新的順序），定義 $\sigma ({\vec {v}})$ 為一個向量，其分量為 $v_{\sigma (1)}$，$v_{\sigma (2)}$，...，以及 $v_{\sigma (n)}$（其中 $\sigma (1)$ 是重新排列中的第一個數字，等等）。現在固定 ${\vec {v}}$ 並令 $V$ 為 $\{\sigma ({\vec {v}})\,{\big |}\,\sigma {\text{ permutes }}1,\ldots ,n\}$ 的生成空間。$V$ 的維數有哪些可能性？（Gilbert, Krusemeyer & Larson 1993，習題 47）

答案

向量 $V$ 的維數可能為 $0$，$1$，$n-1$ 以及 $n$。

為了說明這一點，首先考慮向量 ${\vec {v}}$ 的所有座標都相等的情況。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}z\\z\\\vdots \\z\end{pmatrix}}$

那麼對於任何排列 $\sigma$，都有 $\sigma ({\vec {v}})={\vec {v}}$，因此 $V$ 僅僅是 ${\vec {v}}$ 的線性空間，其維數為 $0$ 或 $1$，取決於 ${\vec {v}}$ 是否為 ${\vec {0}}$。

現在假設 ${\vec {v}}$ 的座標並不全相等；令 $x$ 和 $y$ 為 ${\vec {v}}$ 的座標，且 $x\neq y$ 。那麼我們可以找到置換 $\sigma _{1}$ 和 $\sigma _{2}$ 使得

$\sigma _{1}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}x\\y\\a_{3}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{2}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}y\\x\\a_{3}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

對於某些 $a_{3},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ 。因此，

${\frac {1}{y-x}}{\bigl (}\sigma _{1}({\vec {v}})-\sigma _{2}({\vec {v}}){\bigr )}={\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

位於 $V$ 中。也就是說，${\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1}\in V$，其中 ${\vec {e}}_{1}$、${\vec {e}}_{2}$、…、${\vec {e}}_{n}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的標準基。類似地，${\vec {e}}_{3}-{\vec {e}}_{2}$、…、${\vec {e}}_{n}-{\vec {e}}_{1}$ 都位於 $V$ 中。很容易看出向量 ${\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1}$、${\vec {e}}_{3}-{\vec {e}}_{2}$、…、${\vec {e}}_{n}-{\vec {e}}_{1}$ 是線性無關的（即構成線性無關集），所以 $\dim V\geq n-1$。

最後，我們可以寫出

${\begin{array}{rl}{\vec {v}}&=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +x_{n}{\vec {e}}_{n}\\&=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}){\vec {e}}_{1}+x_{2}({\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1})+\dots +x_{n}({\vec {e}}_{n}-{\vec {e}}_{1})\end{array}}$

這表明如果 $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=0$，則 ${\vec {v}}$ 在 ${\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1}$，…，${\vec {e_{n}}}-{\vec {e}}_{1}$ 的線性組合中（也就是說，在這個向量集的張成空間中）；類似地，每個 $\sigma ({\vec {v}})$ 都將在這個張成空間中，所以 $V$ 將等於這個張成空間，並且 $\dim V=n-1$。另一方面，如果 $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\neq 0$，則上述等式表明 ${\vec {e}}_{1}\in V$，因此 ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\in V$，所以 $V=\mathbb {R} ^{n}$ 並且 $\dim V=n$.

參考文獻

• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (1993), The Wohascum County Problem Book, The Mathematical Association of America.