線性代數/基變換

向量或對映的表示形式，會隨著基的不同而變化。例如，對於 ${\mathcal {E}}_{2}$ 和

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

這兩個基對 $\mathbb {R} ^{2}$，向量 ${\vec {e}}_{1}$ 具有兩種不同的表示形式。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}$

類似地，對於 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 和 ${\mathcal {E}}_{2},B$，恆等對映具有兩種不同的表示形式。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$

從我們的觀點來看，我們的研究物件是向量和對映，透過固定基，我們為這些物件採用了一種標記或命名的方案，這對於計算來說很方便。我們現在將看到如何在這些名稱之間進行轉換——我們將確切地看到表示形式如何隨著基的變化而變化。