線性代數/向量表示轉換

線性代數
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在將 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 轉換為 ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ 時，底層向量 ${\vec {v}}$ 不會改變。因此，這種轉換是透過空間上的恆等對映來完成的，描述為域空間向量相對於 $B$ 表示，而陪域空間向量相對於 $D$ 表示。

(該圖是垂直的，以便與下一小節中的圖相符。)

定義 1.1

對於基 $B,D\subset V$ ，基變換矩陣是恆等對映 ${\mbox{id}}:V\to V$ 相對於這些基的表示。

{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})&\;\cdots \;&{\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{n})\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)

引理 1.2

對於 $B,D$ 的基變換矩陣，左乘會將相對於 $B$ 的表示轉換為相對於 $D$ 的表示。反之，如果左乘矩陣會改變基 $M\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ ，那麼 $M$ 是基變換矩陣。

證明

對於第一個句子，對於每個 ${\vec {v}}$ ，因為矩陣-向量乘法代表對映的應用， ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\vec {v}})\,)={\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ 。對於第二個句子，關於 $B,D$ 矩陣 $M$ 表示某個線性對映，其作用是 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {v}}$ ，因此它是恆等對映。

例 1.3

對於 $\mathbb {R} ^{2}$ ，這些基是：

B=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle

因為

{\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1/2\\3/2\end{pmatrix}}_{D}\qquad {\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\end{pmatrix}}_{D}

基變換矩陣為：

{\rm {Rep}}_{B,D}({\rm {id)={\begin{pmatrix}-1/2&-1/2\\3/2&1/2\end{pmatrix}}}}

我們可以透過尋找 ${\vec {e}}_{2}$

{\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}

並驗證轉換是否符合預期。

{\begin{pmatrix}-1/2&-1/2\\3/2&1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}

本小節最後，我們認識到基變換矩陣是熟悉的。

引理 1.4

一個矩陣是基變換矩陣當且僅當它是可逆的。

證明

一個方向是，如果左乘一個矩陣可以進行基變換，那麼該矩陣表示一個可逆函式，因為只需將基變換回來就能得到該函式的逆。這樣的矩陣本身是可逆的，因此是非奇異的。

最後，我們將證明任何非奇異矩陣 $M$ 從任何給定的起始基 $B$ 到某個最終基進行基變換。因為矩陣是非奇異的，它將透過高斯-約旦消元化為單位矩陣，所以存在一些初等變換矩陣使得 $R_{r}\cdots R_{1}\cdot M=I$ 。初等矩陣可逆，它們的逆也是初等矩陣，因此，從左邊先乘以 ${R_{r}}^{-1}$ ，然後乘以 ${R_{r-1}}^{-1}$ ，等等，得到 $M$ 作為初等矩陣的乘積 $M={R_{1}}^{-1}\cdots {R_{r}}^{-1}$ 。因此，如果我們證明初等矩陣將給定的基變換為另一個基，那麼我們就可以完成證明，因為這樣 ${R_{r}}^{-1}$ 將 $B$ 變換為某個其他基 $B_{r}$ ，而 ${R_{r-1}}^{-1}$ 將 $B_{r}$ 變換為某個 $B_{r-1}$ ，…，最終效果是 $M$ 將 $B$ 變換為 $B_{1}$ 。我們將透過將三種類型作為單獨的案例來證明關於初等矩陣的這個結論。

應用行乘矩陣

M_{i}(k){\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{i}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\kc_{i}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}

將關於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示形式更改為關於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,(1/k){\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示形式。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +kc_{i}\cdot (1/k){\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

類似地，左乘行交換矩陣 $P_{i,j}$ 會將相對於基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示轉換為相對於基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示，以此方式。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{j}\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

而且，相對於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示透過左乘行組合矩陣 $C_{i,j}(k)$ 轉換為相對於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}-k{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot ({\vec {\beta }}_{i}-k{\vec {\beta }}_{j})+\dots +(kc_{i}+c_{j})\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

(reduction matrix 的定義規定 $i\neq k$ 且 $k\neq 0$ ，因此最後一個是基底）。

推論 1.5

當且僅當矩陣關於一對基底表示恆等對映時，該矩陣為非奇異矩陣。

在下一小節中，我們將看到如何轉換對映的表示，即如何將 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 轉換為 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ 。上述推論是這種情況的特例，其中定義域和值域是同一個空間，對映是恆等對映。

練習

推薦所有讀者練習這道題。

問題 1

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，其中

D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}\rangle

找到從 $D$ 到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的基底變換矩陣，以及從 ${\mathcal {E}}_{2}$ 到 $D$ 的基底變換矩陣。將這兩個矩陣相乘。

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問題 2

找到 $B,D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 的基變換矩陣。

$B={\mathcal {E}}_{2}$ , $D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$
$B={\mathcal {E}}_{2}$ , $D=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$ , $D={\mathcal {E}}_{2}$
$B=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle$ , $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\rangle$

問題 3

對於問題 2 中的基，找到另一個方向的基變換矩陣，從 $D$ 到 $B$ 。

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問題 4

找到每個 $B,D\subseteq {\mathcal {P}}_{2}$ 的基變換矩陣。

$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle x^{2},1,x\rangle$
$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$
$B=\langle 2,2x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1+x^{2},1-x^{2},x+x^{2}\rangle$

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問題 5

判斷每個改變是否基於 $\mathbb {R} ^{2}$ 。 ${\mathcal {E}}_{2}$ 被改變到了哪個基底？

${\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&4\\2&-8\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

問題 6

找到這樣的基底，使得該矩陣關於這些基底表示為單位對映。

{\begin{pmatrix}3&1&4\\2&-1&1\\0&0&4\end{pmatrix}}

問題 7

考慮具有基底 $\langle \sin(x),\cos(x)\rangle$ 的實值函式向量空間。證明 $\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ 也是該空間的基底。找到每個方向的基底變換矩陣。

問題 8

該矩陣

{\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

將 $\mathbb {R} ^{2}$ 的標準基送往哪裡？還有其他基底嗎？提示。考慮逆矩陣。

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問題 9

關於 $B,B$ 的基底變換矩陣是什麼？

問題 10

證明矩陣改變基底當且僅當它可逆。

問題 11

完成引理 1.4 的證明。

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問題 12

令 $H$ 是一個 $n\!\times \!n$ 非奇異矩陣。 $H$ 將 $\mathbb {R} ^{n}$ 的哪個基底改變到了標準基底？

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問題 13

在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中，基底為 $B=\langle 1+x,1-x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$ ，我們有以下表示形式。
${\rm {Rep}}_{B}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}}_{B}$
找到一個基底 $D$ ，使得對同一個多項式有不同的表示形式。
${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}$
說明並證明任何非零向量表示都可以改變成任何其他表示形式。

提示： 引理 1.4 的證明是構造性的——它不僅說明了基底的改變，還展示了它們是如何改變的。

問題 14

設 $V,W$ 是向量空間，設 $B,{\hat {B}}$ 是 $V$ 的基底， $D,{\hat {D}}$ 是 $W$ 的基底。其中 $h:V\to W$ 是線性變換，求 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 與 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ 之間的公式。

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問題 15

證明一個 $n\!\times \!n$ 變換基矩陣的列向量構成 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一個基。所有基都能以這種方式出現嗎？也就是說，來自任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 基的向量都能構成一個變換基矩陣的列向量嗎？

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問題 16

找到一個具有此效果的矩陣。

{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}

也就是說，找到一個 $M$ ，使其左乘起始向量得到目標向量。是否存在一個矩陣能夠同時實現這兩個效果？

${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

給出是否存在矩陣使得 ${\vec {v}}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1}$ 且 ${\vec {v}}_{2}\mapsto {\vec {w}}_{2}$ 的必要充分條件。

解答

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