線性代數/向量表示的改變/解答

解答

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問題1

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，其中

D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}\rangle

求從 $D$ 到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 以及從 ${\mathcal {E}}_{2}$ 到 $D$ 的基變換矩陣。將這兩個矩陣相乘。

答案

為了將矩陣從基 $D$ 變換到基 ${\mathcal {E}}_{2}$ ，我們需要滿足 ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}({\vec {\delta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})$ 以及 ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}({\vec {\delta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})$ 。當然，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，關於標準基的向量表示非常簡單。

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})={\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}

將這兩個向量拼接起來作為基變換矩陣的列，得到以下結果。

{\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&-2\\1&4\end{pmatrix}}

另一個方向上的基變換矩陣可以透過計算 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{1})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{2})$ （這個過程是常規的），或者可以透過取上面矩陣的逆來找到。由於 $2\!\times \!2$ 矩陣的逆的公式，這很容易。

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},D}({\mbox{id}})={\frac {1}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}4&2\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4/10&2/10\\-1/10&2/10\end{pmatrix}}

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問題 2

找到 $B,D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 的基變換矩陣。

$B={\mathcal {E}}_{2}$ ， $D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$
$B={\mathcal {E}}_{2}$ ， $D=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$ ， $D={\mathcal {E}}_{2}$
$B=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle$ , $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\rangle$

答案

在每種情況下，列向量 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{2})$ 連線起來構成基變換矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ 。

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-1/2\\-1&1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$

問題 3

對於問題 2中的基，求另一個方向的基變換矩陣，從 $D$ 到 $B$ 。

答案

一種方法是找到 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\delta }}_{1})$ 和 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\delta }}_{2})$ ，然後將它們連線到所需基變換矩陣的列中。另一種方法是找到回答問題 2的矩陣的逆。

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-1/2\\-1&1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

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問題 4

找到每個 $B,D\subseteq {\mathcal {P}}_{2}$ 的基變換矩陣。

$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle x^{2},1,x\rangle$
$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$
$B=\langle 2,2x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1+x^{2},1-x^{2},x+x^{2}\rangle$

答案

列向量表示 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})$ ， ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{2})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{3}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{3})$ 構成了基變換矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ 。

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1&1/2\\1&1&-1/2\\0&2&0\end{pmatrix}}$

例如，對於第一個矩陣的第一列， $1=0\cdot x^{2}+1\cdot 1+0\cdot x$ 。

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問題 5

判斷每個矩陣是否改變了 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的基。 ${\mathcal {E}}_{2}$ 被改變成了什麼基？

${\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&4\\2&-8\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

答案

當且僅當矩陣是非奇異的，它才會改變基。

該矩陣是非奇異的，因此改變了基。找到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 被改變成的基，意味著找到 $D$ ，使得
${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
根據矩陣如何表示線性對映的定義，我們得到了這個結果。

${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$
其中
$D=\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\rangle$
我們可以求解該方程組
${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=5{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+0{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}$
或者根據（引理 1.4 的證明）直接得出答案。
$D=\langle {\begin{pmatrix}1/5\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1/4\end{pmatrix}}\rangle$
是的，該矩陣是非奇異的，因此可以改變基。為了計算 $D$ ，我們像上面一樣繼續進行，
$D=\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\rangle$
求解
${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}$
並得到以下結果。
$D=\langle {\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\rangle$
否，該矩陣不是基變換矩陣，因為它是非奇異的。
是，該矩陣是基變換矩陣，因為它是非奇異的。改變基後的計算如上。

$D=\langle {\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}\rangle$

問題 6

找到這樣的基，使得該矩陣相對於這些基表示恆等對映。

{\begin{pmatrix}3&1&4\\2&-1&1\\0&0&4\end{pmatrix}}

答案

這個問題有很多不同的解法。一種解決方法是為任何空間構建一個基 $B$ ，然後計算相應的 $D$ （當然，必須是在同一個空間中）。另一種更簡單的方法是將陪域固定為 $\mathbb {R} ^{3}$ ，並將陪域基固定為 ${\mathcal {E}}_{3}$ 。這樣（回想一下，任何向量相對於標準基的表示就是向量本身），我們就得到了這個。

B=\langle {\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}}\rangle \qquad D={\mathcal {E}}_{3}

問題 7

考慮具有基 $\langle \sin(x),\cos(x)\rangle$ 的實值函式向量空間。證明 $\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ 也是該空間的基。找到每個方向上的基變換矩陣。

答案

驗證 $B=\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ 是否為一個基是常規操作。將自然基稱為 $D$ 。為了計算基變換矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ ，我們必須找到 ${\rm {Rep}}_{D}(2\sin(x)+\cos(x))$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}(3\cos(x))$ ，也就是說，我們需要 $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}$ 使得這些等式成立。

{\begin{array}{rl}x_{1}\cdot \sin(x)+y_{1}\cdot \cos(x)&=2\sin(x)+\cos(x)\\x_{2}\cdot \sin(x)+y_{2}\cdot \cos(x)&=3\cos(x)\end{array}}

顯然，答案是。

{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}

對於另一個方向的基變換矩陣，我們可以透過求解以下方程找到 ${\rm {Rep}}_{B}(\sin(x))$ 和 ${\rm {Rep}}_{B}(\cos(x))$ 。

{\begin{array}{rl}w_{1}\cdot (2\sin(x)+\cos(x))+z_{1}\cdot (3\cos(x))&=\sin(x)\\w_{2}\cdot (2\sin(x)+\cos(x))+z_{2}\cdot (3\cos(x))&=\cos(x)\end{array}}

一種更簡單的方法是找到上面找到的矩陣的逆矩陣。

{\rm {Rep}}_{D,B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}3&0\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2&0\\-1/6&1/3\end{pmatrix}}

問題 8

這個矩陣

{\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

將 $\mathbb {R} ^{2}$ 的標準基對映到哪裡？其他任何基？ *提示：*考慮逆變換。

答案

我們首先取矩陣的逆，即確定目標對映的逆對映是什麼。

{\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}){\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}={\frac {1}{-\cos ^{2}(2\theta )-\sin ^{2}(2\theta )}}\cdot {\begin{pmatrix}-\cos(2\theta )&-\sin(2\theta )\\-\sin(2\theta )&\cos(2\theta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

這比反向表示更容易處理，因為此矩陣是這兩個列向量的串聯

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )\\\sin(2\theta )\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})={\begin{pmatrix}\sin(2\theta )\\-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

並且關於 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的表示是清晰的。

{\vec {\delta }}_{1}={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )\\\sin(2\theta )\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\delta }}_{2}={\begin{pmatrix}\sin(2\theta )\\-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

這幅圖描繪了將 $D$ 變換到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的對映的作用（再次強調，它是這個問題答案中對映的逆）。該直線與 $x$ 軸的夾角為 $\theta$ 。

此對映將向量關於該直線進行反射。由於反射是自身逆運算，因此問題的答案是：原始對映關於過原點且仰角為 $\theta$ 的直線進行反射。（當然，它對任何基都執行此操作。）

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問題 9

關於 $B,B$ 的基變換矩陣是什麼？

答案

適當大小的單位矩陣。

問題 10

證明矩陣改變基當且僅當它是可逆的。

答案

當且僅當矩陣是非奇異的時，兩者都成立。

問題 11

完成引理 1.4的證明。

答案

剩下的需要證明的是，左乘一個化簡矩陣表示從另一個基到 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的變換。

應用行乘法矩陣 $M_{i}(k)$ 將關於基 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,k{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示變換到關於 $B$ 的表示，如這裡所示。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot (k{\vec {\beta }}_{i})+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}\;\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +(kc_{i})\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

應用行交換矩陣 $P_{i,j}$ 將關於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示轉換為關於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示。最後，應用行組合矩陣 $C_{i,j}(k)$ 將關於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}+k{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示轉換為關於 $B$ 的表示。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot ({\vec {\beta }}_{i}+k{\vec {\beta }}_{j})+\dots +c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +(kc_{i}+c_{j})\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

(如同本小節正文中證明部分，行操作的各種條件，例如標量 $k$ 非零，確保這些都是基。)

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習題 12

令 $H$ 為一個 $n\!\times \!n$ 非奇異矩陣。 $H$ 將 $\mathbb {R} ^{n}$ 的哪個基變換為標準基？

答案

將 $H$ 作為基變換矩陣 $H={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{n}}({\mbox{id}})$ ，它的列為

{\begin{pmatrix}h_{1,i}\\\vdots \\h_{n,i}\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{i}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\vec {\beta }}_{i})

並且，由於相對於標準基的表示是透明的，我們有以下結果。

{\begin{pmatrix}h_{1,i}\\\vdots \\h_{n,i}\end{pmatrix}}={\vec {\beta }}_{i}

也就是說，基是**由** $H$ 的列**組成**的那一個。

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問題 13

在**以** ${\mathcal {P}}_{3}$ **為向量空間，且** $B=\langle 1+x,1-x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$ **為其基**，我們有以下表示。
${\rm {Rep}}_{B}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}}_{B}$
找到一個基 $D$ ，使得對於同一個多項式，給出以下不同的表示。
${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}$
說明並證明任何非零向量表示都可以更改為任何其他表示。

提示。 引理 1.4 的證明是**具有建設性的**——它不僅說明基會發生變化，還展示了它們是如何變化的。

答案

我們可以透過一系列行操作將起始向量表示更改為結束向量表示。證明告訴我們基是如何變化的。我們首先交換相對於 $B$ 的向量表示的第一行和第二行，以獲得相對於新基 $B_{1}$ 的表示。
${\rm {Rep}}_{B_{1}}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}}_{B_{1}}\qquad B_{1}=\langle 1-x,1+x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$
接下來，我們將向量表示的第三行的 $-2$ 倍加到第四行。

${\rm {Rep}}_{B_{3}}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}_{B_{2}}\qquad B_{2}=\langle 1-x,1+x,3x^{2}-x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$
（ $B_{2}$ 的第三個元素是 $B_{1}$ 的第三個元素減去 $-2$ 乘以 $B_{1}$ 的第四個元素的結果。）現在我們可以透過將第三行乘以2來完成。
${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\qquad D=\langle 1-x,1+x,(3x^{2}-x^{3})/2,x^{2}-x^{3}\rangle$
Here are three different approaches to stating such a result. The first is the assertion: where $V$ is a vector space with basis $B$ and ${\vec {v}}\in V$ is nonzero, for any nonzero column vector ${\vec {z}}$ (whose number of components equals the dimension of $V$ ) there is a change of basis matrix $M$ such that $M\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\vec {z}}$ . The second possible statement: for any ( $n$ -dimensional) vector space $V$ and any nonzero vector ${\vec {v}}\in V$ , where ${\vec {z}}_{1},{\vec {z}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ are nonzero, there are bases $B,D\subset V$ such that ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\vec {z}}_{1}$ and ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})={\vec {z}}_{2}$ . The third is: for any nonzero ${\vec {v}}$ member of any vector space (of dimension $n$ ) and any nonzero column vector (with $n$ components) there is a basis such that ${\vec {v}}$ is represented with respect to that basis by that column vector. The first and second statements follow easily from the third. The first follows because the third statement gives a basis $D$ such that ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})={\vec {z}}$ and then ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ is the desired $M$ . The second follows from the third because it is just a doubled application of it. A way to prove the third is as in the answer to the first part of this question. Here is a sketch. Represent ${\vec {v}}$ with respect to any basis $B$ with a column vector ${\vec {z}}_{1}$ . This column vector must have a nonzero component because ${\vec {v}}$ is a nonzero vector. Use that component in a sequence of row operations to convert ${\vec {z}}_{1}$ to ${\vec {z}}$ . (This sketch could be filled out as an induction argument on the dimension of $V$ .)

問題 14

設 $V,W$ 為向量空間，且 $B,{\hat {B}}$ 為 $V$ 的基， $D,{\hat {D}}$ 為 $W$ 的基。其中 $h:V\to W$ 是線性變換，求一個將 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 與 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ 聯絡起來的公式。

答案

這是下一小節的主題。

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問題 15

證明一個 $n\!\times \!n$ 變基矩陣的列構成 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一個基。所有基都以這種方式出現嗎？即，來自 $\mathbb {R} ^{n}$ 任何一個基的向量能否構成一個變基矩陣的列？

答案

變基矩陣是非奇異的，因此其秩等於其列數。因此，其列集是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中大小為 $n$ 的一個線性無關子集，因此它是一個基。後半部分的答案也是“是”；前一句中的所有蘊含關係都反過來（即，前一句中的所有“如果……那麼……”部分都轉換為“當且僅當”部分）。

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問題 16

找到一個具有此效果的矩陣。

{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}

也就是說，找到一個 $M$ ，使其左乘起始向量得到結束向量。是否存在一個矩陣具有這兩個效果？

${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

給出存在一個矩陣使得 ${\vec {v}}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}\mapsto {\vec {w}}_{2}$ 的充要條件。

答案

針對問題的前半部分，存在無限多個這樣的矩陣。其中一個矩陣表示關於 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的 $\mathbb {R} ^{2}$ 的此變換。

{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\-1/3\end{pmatrix}}

指定兩個不同的輸入/輸出對的問題有點棘手。矩陣具有線性作用這一事實排除了某些可能性。

是的，存在這樣的矩陣。這些條件
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
可以求解
${\begin{array}{*{4}{rc}r}a&+&3b&&&&&=&1\\&&&&c&+&3d&=&1\\2a&-&b&&&&&=&-1\\&&&&2c&-&d&=&-1\end{array}}$
得到這個矩陣。
${\begin{pmatrix}-2/7&3/7\\-2/7&3/7\end{pmatrix}}$
不，因為
$2\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\quad {\text{but}}\quad 2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
沒有線性作用可以產生這種效果。
一個充分條件是 $\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}$ 線性無關，但這並不是一個必要條件。一個充要條件是，起始向量之間的任何線性相關性也出現在結束向量之間。也就是說，
$c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}\quad {\text{implies}}\quad c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}={\vec {0}}.$
這個條件的證明是常規的。